1、12018 届高三理科专题（四）立体几何专题姓名： 班别： 学号： 【知识点一：三视图求表面积体积问题】1、 （2017 新课标 I 卷第 7 题）.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）. A. B. C. D.1021462、 （2017 新课标 II 卷第 4 题）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A B 9063C D43、 （2017 年市一模第
2、6 题）如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为 , 则该几何体的俯视图可以是834、 （2016 年市一模第 11 题）（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A） （B）8246826（C ） （D） 145、 （2016 新课标 I 卷第 6 题）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 283，则它的表面积是（ ） （A）17 （B）18 （C）20 （D）2286、(2016 新课标 II 卷第 6 题) 右
3、图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20 （B）24 （C）28 （D）327、(2016 新课标 III 卷第 9 题)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A） 18365 （B） 4185 （C）90 （D）818、 （ 2015 新课标 II 卷第 6 题 ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A B C D1711519. (2015 新课标 I 卷第 11 题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三
4、视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=（ ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）8【知识点二：内接球与外接球的问题】1、 （2017 年市一模第 10 题） 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的3四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 为PABC鳖臑, 平面 , ， , 三棱锥 的四个顶点都在球PABC2PA4C的球面上, 则球 的表面积为（ ） O（A） （B） （C） （D）8120242. （2015 新课标 II 卷第 9 题）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面上的动点，若
5、三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A36 B.64 C.144 D.2563、 （ 2017 新课标 III 卷第 8 题）8.已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）.A B C D34244、 （2016 年市一模第 9 题）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）1（A） （B ） （C） （D）20535565、(2016 新课标 III 卷第 10 题)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V 的球，若 AB BC，
6、AB=6， BC=8， AA1=3， 则 V 的最大值是（ ）（A）4 （B） 92 （C）6 （D） 32 【知识点三：点线面的位置关系】1、(2016 新课标 I 卷第 11 题)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A，a/平面CB1D1， a平面 ABCD=m， 平面 ABA1B1=n，则 m， n 所成角的正弦值为（ ）(A) 32(B) 2 (C) 3 (D)2、(2016 新课标 II 卷第 14 题) 、 是两个平面，m、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 mn，m，n ，那么 .（2）如果 m，n，那么 mn.（3）如果 ，m ，那么 m. （4）如果
7、 mn， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）4【知识点四：设置线面角与面面角的定义作为条件障碍，考察立体几何】1、(2017 新课标 II 卷第 19 题)如图所示，四棱锥 中，侧面 为等边三角PABCDPA形且垂直于底面 ， ， ， 是 的中点.ABCD12o90ED（1 ）证明：直线 平面 ；/EP（2 ）点 在棱 上，且直线 与底面 所成锐角为 ，求二面角MMAB45的余弦值.ABEMDCBAP2、 （ 2016 年广州市一模 19） （本小题满分 12 分）如图，四棱柱 的底面 是菱形， ， 底1ABCDABCDBO1A面
8、， 2（）证明：平面 平面 ；1O1（）若 ，求二面角 的余弦值60BADBC1DA BCDO1A1B1C53、 （阅读）(2016 新课标 I 卷第 18 题)（本小题满分为 12 分）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD，90，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60（I）证明：平面 ABEF EFDC；（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值2、 【答案】试题分析：（I）证明 F平面 DC，结合 FA平面 ，可得平面 平面 F （II）建立空间坐标系，利用向量求解.试题解析：（I）由已知可得 ， E，所以 平面 FD
9、C又 平面 ，故平面 平面 DC（II）过 D作 GF，垂足为 ，由（I）知 G平面 以 为坐标原点，的方向为 x轴正方向， F为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 xyz由（I）知 E为二面角 AE的平面角，故 60DFE，则 2F， 3，可得 1,40A， 3,40B， 3,0， ,3由已知， /ABE，所以 /平面 FDC又平面 平面 C，故/CD， 由 ，可得 E平面 F，所以 F为二面角F的平面角， 60从而可得 2,03所以 1,03， ,4， 4， 4,0设 ,xyzn是平面 C的法向量，则 0Cn，即 xzy，所以可取 3,0设 m是平面 D的法向量，则 0Cm，同理可取 ,
10、4则 219cos,n6EDCBA EDCBA故二面角 E -BC A 的余弦值为 219【知识点五：重点考察面面垂直、线面垂直、面面角（含折叠问题） 】1、 (2017 新课标 I 卷第 18 题)（本小题满分 12 分）如图所示，在四棱锥 中，PABCD，且/ABCD90APCDDCBAP(1)证明：平面 平面 ；PAD(2)若 ， ，求二面角 的余弦值.C90PAPBC2、 （2017 年市一模第 19 题） （本小题满分 12 分）如图 1，在直角梯形 中， / ， ， , 点 是 边的ABCDABCDEBC中点, 将 沿 折起，使平面 平面 ，连接 , , , 得到如A图 2 所示的
11、几何体.() 求证： 平面 ；() 若 ，二面角 的平面角的正切值为 ，求二面角16BE的余弦值.图 1 图 27【知识点六：线面平行、线面角、线线角】1、(2016 新课标 III 卷第 19 题)（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，AD BC， AB=AD=AC=3，PA=BC=4 ， M 为线段 AD 上一点，AM=2MD ， N 为 PC 的中点.（I）证明 MN 平面 PAB;（II）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.2、 （2017 新课标 II 卷第 10 题）已知直三棱柱 中， ，1CAC120A， ，则异面直线 与 所成角的
12、余弦值为（）A1C1A B C D325058【知识点一：三视图求表面积体积问题答案】1.解析由三视图可画出立体图，该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 ，246S梯.621S全 梯故选 B.2、B 3、D 4、A5、 【答案】A 由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的 18,即该几何体是 78个球，设球的半径为 R，则3742R8V，解得 2，所以它的表面积是 78的球面面积和三个扇形面积之和,即 22174，故选 A6、 【答案】C 试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为 1246S，圆锥的侧面积为 28S，圆柱的底面面积为 3，故该几何体的表面积为13，故选 C.7、
13、B 试题分析：由三视图知该几何体是一个斜四棱柱，所以该几何体的表面积为 2623541S，故选 B98、 【 答案】D 【解析】由三视图得，在正方体 中，截去四面体1ABCD，如图所示， ，设正方体棱长为 ，则 ，故剩余几何1ABa13126Va体体积为 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ，故选 D3356a 5CBADD1 C1B1A19、B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为 =2214rr=16 + 20 ，解得 r=2，故选 B.254r【知识点二：内接球与外接球的问题答案】1、C2、 【 答案
14、】CBOAC3解析由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径 ，213r则圆柱体体积 .故选B.234Vrh104、D5、 【答案】B 试题分析：要使球的体积 V最大，必须使球的半径 R最大因为 ABC 内切圆的半径为 2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，为 3，此时球的体积为 3349()2R，故选 B【知识点三：点线面的位置关系答案】1、 【答案】A试题分析：如图，设平面 1CBD平面 A= m，平面 1CD平面1AB= n，因为 平面 ，所以 ,n ，则 ,n所成的角等于 ,mn所成的角.过 作 1E ，交 的延长线于点 E,连接 ，则 E为 .连
15、接 1AB，过 B1作 F ，交 1A的延长线于点 1F，则 1B为 .连接 BD，则1,DCB ，则 ,mn所成的角即为 ,AD所成的角，为 60，故 ,mn所成角的正弦值为 32，选 A.2、 【答案】试题分析：对于， ,/mn，则 ,的位置关系无法确定，故错误；对于11,因为 /n，所以过直线 n作平面 与平面 相交于直线 c，则 /n，因为,mcm所 以 所 以，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的命题有.【知识点四：设置线面角与面面角的定义作为条件障碍，考察立体几何】1解析（1）令 中点为 ，联结 ， ， PAFEBFC因
16、为 ， 为 ， 中点，所以 为 的中位线，所以 EFDPAD =1/2EFAD又因为 ，所以 90BC又因为 ，所以 ，所以 12A=1/2B=/EFBC所以四边形 为平行四边形，所以 EF又因为 ，所以 平面 .BP面C PA（2）以 中点 为原点，如图建立空间直角坐标系ADO设 ，则 ， ， ， ， ，1C0， ， 01， ， 10B， ， 0C， ， 10D， ， 在底面 上的投影为 ，所以 因为 ，03P， ， MABCDM45MB所以 为等腰直角三角形B因为 为直角三角形， ，所以 OC 3OP60CO设 ， ， 所以 a3a1a31a， ，所以 222610332BM 213OM所
17、以 ， ， ， 2， ， 02M， ， 261A， ， (0)AB， ，设平面 的法向量 ，所以 ，AB1()yz， ，m11602z(02)， ，m， 设平面 的法向量为 ，02D， ， 0， ， ABD2z， ，n所以 (1)， ，n 10cos,5n12所以二面角 的余弦值为 MABD105zyxMMOFPAB C DE2、 （ ）证明：因为 平面 ，1AB平面 ，BD所以 1 分1AO因为 是菱形，C所以 2 分因为 ，1所以 平面 3 分BD1ACO因为 平面 ，所以平面 平面 4 分11（）解法一：因为 平面 ， ，以 为原点， ， ， 方AOBCDOOBC1A向为 ， ， 轴正方
18、向建立如图所示空间直角坐标系5 分xyz因为 ， ，12B60所以 ， ， 6 分D3A211A则 ， ， ， ，,0,C,0,所以 ， 7 分11B11+3OB设平面 的法向量为 ，O,xyzn因为 ， ，1,013zyxA BCDO1A1B1C1DA BCDO1A1B1C1D13所以0,3.xyz令 ，1得 9 分0,n同理可求得平面 的法向量为 10 分1OCB1,0m所以 11 分36cos,42n因为二面角 的平面角为钝角，1B所以二面角 的余弦值为 12 分1OC64解法二：由（）知平面 平面 ，1A1BD连接 与 交于点 ，1A1BD连接 ， ，CO因为 ， ，11/C所以 为平
19、行四边形A因为 ， 分别是 ， 的中点，O11A所以 为平行四边形且 C1OC因为平面 平面 ，11BD过点 作 于 ，则 平面 HH1BD过点 作 于 ，连接 ，则 1KOCKO所以 是二面角 的平面角的补角6 分C1B在 中， 7 分1Rt132H在 中，因为 ，所以 1OCB1A1B221115OABA B CD O1A1B1C1KHO14因为 ， ，1ABCD1/所以 211O因为 ，所以 为直角三角形8 分21CB所以 9 分12365CBK所以 10 分2H所以 11 分6cos4CK所以二面角 的余弦值为 12 分1BO64【知识点五：重点考察面面垂直、线面垂直、面面角（含折叠问
20、题）答案】1、 解析（1）证明：因为 ，所以 ， .90BAPCDPABDC又因为 ，所以 ，又因为 ， 、 平面ABCD PA所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面P（2）取 中点 ， 中点 ，联结 ， ，OEOE因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 . ABCDAB由（1）知， 平面 ，所以 平面 ，PPD又 、 平面 ，所以 ， .PADE又因为 ，所以 ，所以 、 、 两两垂直，OOA所以以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz设 ，所以 ， ， ， ，2PA02D， ， 20B， ， 2P， ， 20C， ，所以 ， ， ， P， ， B， ，15z yx EDCB
21、A设 为平面 的法向量，xyzn,PBC由 ，得 .0PBC20xyz令 ，则 ， ，可得平面 的一个法向量 .1yzxPBC012n,因为 ，所以 ，又知 平面 ， 平面 ，90APDPAADPAD所以 ，又 ，所以 平面 ，B即 是平面 的一个法向量， 02D,所以 .23cosPDn,由图知二面角 为钝角，所以它的余弦值为 .ABC32、 解：() 因为平面 平面 ，平面 平面 ，ABDCB又 ，所以 平面 . 1 分D因为 平面 ，所以 . 2 分又因为折叠前后均有 ， , 3 分所以 平面 . 4 分ABC() 由（）知 平面 ，所以二面角 的平面角为 . 5 分CAD又 平面 ，
22、平面 ，所以 .ABCA依题意 . 6 分6tanD因为 ，所以 . 1设 ，则 .0ABx12x依题意 ，所以 ，即 . 7 分CAB162x解得 ，故 . 8 分2x2,3, 3DCD法 1：如图所示，建立空间直角坐标系 ，则 ,xyz)0(, ，)03(B),6(， ， 2E6,03A所以 ， .,D,3D由（）知平面 的法向量 .9B)0,1(n分设平面 的法向量AE,zyxm16GFEDCBA由 得0,mDEA360,2.xyz令 ，得 ,6x3,y所以 . 10 分),(m所以 . 11 分21|,cosmn由图可知二面角 的平面角为锐角，BADE所以二面角 的余弦值为 . 12分
23、法 2 ：因为 平面 ，C过点 作 / 交 于 ，EFBF则 平面 . AD因为 平面 ，所以 . 9 分过点 作 于 ，连接 ，GGE所以 平面 ，因此 . 所以二面角 的平面角为 . 10 分BAF由平面几何知识求得， ， 261CDEF21BF所以 . G所以 cos = . 11 分21E所以二面角 的余弦值为 . 12BAD分【知识点六：线面平行、线面角、线线角答案】1、 【答案】解：（I）由已知得 23ADM.取 BP的中点 T，连接 N,，由 为 PC中点知 BTN/， 21C. 又 CAD/，故 = ，四边形 为平行四边形，于是 MAT.17因为 AT平面 PB， MN平面 PAB，所以 /MN平面 PAB. （II）取 C的中点 E，连结 .由 C得 E，从而 DE，且5)2(2E.以 A为坐标原点，的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzA.由题意知， )4,0(P， )0,2(M， ),5(C， )2,15(N，,， ,1P， ,A.设 ()xyzn为平面 的一个法向量，则0,PN即240,5zxy可取 (,1)n.于是 |85|cos, 2ANn. 2、答案 C，提示，转化成三个基底表示，或者建立空间直角坐标系。
