1、 常微分方程期末考试试卷(6)学院 _ 班级 _ 学号 _ 姓名 _ 成绩 _一 填空题 （共 30 分，9 小题，10 个空格，每格 3 分） 。1.当_时，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 称为恰当方程，或称全微分方程。2、_称为齐次方程。3、求 =f(x,y)满足 的解等价于求积分方程_的dxy0)(yx连续解。 4、若函数 f(x,y)在区域 G 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件，则方程的解 y= 作为 的函数在它的存在范围内是),(yxfd),(0x0,x_。5、若 为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条)(,.)(321tt件是_。6、方程组 的_
2、称之为 的一个基本解组。xtA)(/ xtA)(/7、若 是常系数线性方程组 的基解矩阵，则 expAt =_。)(tAx/8、满足_的点（ ） ，称为方程组的奇点。*,y9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（共 6 小题，每题 10 分） 。1、求解方程： =dxy3122.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求23dxy1通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程： texxtcos32/ 5、试求方程组 的一个基解矩阵，并计算Ax/ 3421,为
3、其 中 At6、试讨论方程组 （1）的奇点类型，其中 a,b,c 为cydtbyadt,常数，且 ac 0。三、证明题（共一题，满分 10 分） 。试证：如果 满足初始条件 的解，那么 Axt/） 是（)(0t)(t)(0te常微分方程期末考试答案卷一、填空题。 （30 分）1、 xyNyM),(),(2、 )(fdx3、y= +0ydx,4、连续的5、w 0)(,.(),21ttxn6、n 个线性无关解7、 )0(1t8、X(x,y)=0,Y(x,y)=09、为零 稳定中心二、计算题。 （60 分）1、解： (x-y+1)dx-(x+ +3)dy=02yxdx-(ydx+xdy)+dx- d
4、y-3dy=0即 d -d(xy)+dx- -3dy=02x31dy所以 Cy12、解： ，令 z=x+y2)(1yxd则 dz,211zx dxz所以 z+3ln|z+1|=x+ ， ln =x+z+1C3|1C即 yxey23)(3、解： 设 f(x,y)= ,则231y)0(23yf故在 的任何区域上 存在且连续，0f因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然， 是通过点（0，0）的一个解；y又由 解得，|y|=23dx123)(cx所以，通过点（0，0）的一切解为 及0y|y|=是 常 数),()(23cxcx4、解： (1) i21,0322,齐次方程的通解为 x= )
5、snco(ttet(2) 不是特征根，故取i1 teBAxi(代入方程比较系数得 A= ，B=-415于是 tetx)sinco415(通解为 x= +2tcettet)sin4co5(5、解： det( )=AE0543421所以， 5,21设 对应的特征向量为1v由 0104211 vv可 得取 21同 理 取所以， = )(t251vett tte5 tttttt ttAt eeee555 1512312)0(6、解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件，故奇点为原点（0，0）0acb又由 det(A- E)= 得0)(2accba21所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a，c 为实数 不 稳 定 结 点， 稳 定 结 点奇 点 为 奇 结 点奇 点 为 退 化 结 点奇 点 为 鞍 点 （ 不 稳 定 ）不 稳 定 结 点稳 定 结 点奇 点 为 结 点 ,0,0,0cabcaacca三、证明题。 （10 分）证明： 设 的形式为 = （1）)(t)(tCeAt（C 为待定的常向量）则由初始条件得 =)(0teAt0又 =1)(0Ate0t所以，C= =10t0Ate代入（1）得 =)(t)(00tt即命题得证。
