1、1高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量线性运算定理 1：设向量 a0，则向量 b 平行于 a 的充要条件是存在唯一的实数 ，使ba1、 线性运算：加减法、数乘； 2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；3、 利用坐标做向量的运算：设 ， ；),(zyxaa ),(zyxbb则 , ； ),( zyxbaba (xa4、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模： ；22zyxr2） 两点间的距离公式： 212121 )()()( zyxBA3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 ,4） 方向余弦： rzryrxcos ,cos ,cos1ss
2、cos2225） 投影： ，其中 为向量 与 的夹角。coPrajuau（二） 数量积，向量积1、 数量积： cosbaba1）22） ba0ba2zyx baba2、 向量积： c大小： ，方向： 符合右手规则sinbacba,1） 02） ba/0bazyxbbkji运算律：反交换律 ba（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念： 0),(:zyxfS2、 旋转曲面：面上曲线 ，yoz ),(:zyfC绕 轴旋转一周： 0),(22zxf绕 轴旋转一周：z ),(22yf3、 柱面：表示母线平行于 轴，准线为 的柱面0),(yxFz0),(zyxF4、 二次曲面31） 椭圆锥面：222zb
3、yax2） 椭球面： 1222czyx旋转椭球面： 222czayx3） 单叶双曲面： 1222czbyx4） 双叶双曲面： 222czyax5） 椭圆抛物面： zbyx226） 双曲抛物面（马鞍面）： zbyax227） 椭圆柱面： 122byax8） 双曲柱面： 22yx9） 抛物柱面： ayx（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程： 0),(,zyxGF42、 参数方程： ，如螺旋线：)()(tzytxbtzaytxsinco3、 空间曲线在坐标面上的投影，消去 ，得到曲线在面 上的投影0),(,zyxGFzxoy0),(zyxH（五） 平面及其方程1、 点法式方程： 0)()()( 0
4、0 zCyBxA法向量： ，过点,Cn ,zx2、 一般式方程： Dzyx截距式方程： 1cba3、 两平面的夹角： ， ，),(11CBAn ),(22CBAn222121cosBA21 02122C21/ 212BA4、 点 到平面 的距离：),(00zyxP 0DzByAx22CBADd（六） 空间直线及其方程51、 一般式方程： 02222 1111 DzCyBxA2、 对称式（点向式）方程： pznymx00方向向量： ，过点),(pns ),(00z3、 参数式方程： ptzytx004、 两直线的夹角： ， ，),(11nms ),(222pnms222121cos ppnm21
5、L0212221/ 212pn5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 2222sin pnmCBA/L0pnm第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数：（1）定义：设 n 维空间内的点集 D 是 R2的一个非空子集，称6映射 f：DR 为定义在 D 上的 n 元函数。当 n2 时，称为多元函数。记为U=f（x 1，x 2，x n） ， （x 1，x 2，x n）D。3、 二次函数的几何意义：由点集 D 所形成的一张曲面。如 z=ax+by+c 的图形为一张平面，而
6、z=x2+y2的图形是旋转抛物线。4、 极限：（1）定义：设二元函数 f(p)=f(x,y)的定义域 D,p0(x0,y0)是 D 的聚点 D,如果存在函数 A 对于任意给定的正数 ,总存在正数 ,使得当点p（x,y）D（p0,）时,都有f(p)-A=f(x,y)-A 成立,那么就称常数 A 为函数 f(x,y)当(x,y)(x 0,y0)时的极限，记作 Ayxfyxy,(lim),(),(0多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：（1）在有界闭区域 D 上的多元连续函数，必定在 D 上有界，且能取得它的最大值和最小值；（2）在有界区域 D 上的多元连续函数必取得
7、介于最大值和最小值之间的任何值。6、 偏导数：设有二元函数 z=f(x,y)，点(x 0,y0)是其定义域 D 内一点。把 y 固定在 y0 而让 x 在 x0 有增量x，相应地函数 z=f(x,y)有增量(称为对 x/y 的偏增量)如果z 与x/y 之比当x0/y0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y)在(x0,y0)处对 x/y 的偏导数记作7xyfyxfyxfx ), (), (lim),( 0000 yfffyy ),(),(li),( 00007、 混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数 fxy(x,y)和 fyx(x,y)在D 内连续，那么在该区域内这两个二姐
8、混合偏导数必相等。8、 方向导数： 其中 为 的方向角。coscosyfxflf,l9、 全微分：如果函数 z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量z=f(x x，y y)-f(x,y)可以表示为z=Ax+B y+o()，其中 A、B 不依赖于 x, y，仅与 x,y有关，当 0，此时称函数 z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，Ax+ By 称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为 ddzzxy（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件 必要条件定义1 2234微分法1） 定义： ux82）
9、 复合函数求导：链式法则 z若 ，则 (,)(,)(,)zfuvxyvxyvy，zxxzuzv3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数 的极值),(yxfz解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点 ，令0yxff ),(0yx， ， ，),(0xfA),(0yxfB),(0yxfCy 若 ， ，函数有极小值，2CA若 ， ，函数有极大值； 若 ，函数没有极值；02BA 若 ，不定。C2） 条件极值：求函数 在条件 下的极值),(yxfz 0),(yx令： Lagrange 函数),(),(fyxL解方程组 0),(yxx2、 几何应用1） 曲线
10、的切线与法平面9曲线 ，则 上一点 （对应参数为 ）处的)()(:tzytx),(0zyxM0t切线方程为： )()()( 000 tztytx法平面方程为： 0)()()( 00000 ztzytyxtx2） 曲面的切平面与法线曲面 ，则 上一点 处的切平面方程为：),(:zyxF),(0zyxM0)(,(),(,( 0000000 zFzyxFzyx法线方程为： ),(),(),( 000000 zyxyxzzyx 第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义： nk kkDfyxf 10),(limd),( 2、 性质：（6 条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1） 直角坐标，b
11、xayyxD)()(,(211021()(,)dd,)dbxaDfxyfy，dycxyx)()(,(2121()(,)d,)dycDfxyfx2） 极坐标)()(,(2121()(,)dcos,in)dDfxydf（二） 三重积分1、 定义： nk kkvfvzyxf 10),(limd),( 2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标-“先一后二”Dyxz zfvzyxf ),(,21 d),dd),(-“先二后ZDba yxzyfzvzyxf d),(d),(一”2） 柱面坐标11，zyxsinco(,)d(cos,in,)dfxyzvf zz3） 球面坐标cosinicossrzyrx 2(
12、,)d(sinco,sin,cos)indfxyzvfrrrr（三） 应用曲面 的面积：DyxfzS),(),(: yyzxADd)()(122第十二章 无穷级数（一） 常数项级数1、 定义：1）无穷级数： nn uu3211部分和： ，nknuS 3211正项级数： ，1n0n12交错级数： ，1)(nnu02）级数收敛：若 存在，则称级数 收敛，否则称级数 发Snlim1nu1nu散3）绝对收敛： 收敛，则 绝对收敛；1nu1nu条件收敛： 收敛，而 发散，则 条件收敛。1n1n1nu定理：若级数 绝对收敛，则 必定收敛。1nu1nu2、 性质：1） 级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不
13、影响级数的收敛性；2） 级数 与 分别收敛于和 s 与 ， ，则 收敛且，其和1na1nb1)(nnba为 s+3） 在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛；4） 级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。5） 必要条件：级数 收敛即 .1nu0limnu3、 审敛法正项级数： ，1nu0n1） 定义： 存在；Slim2） 收敛 有界；1nun3） 比较审敛法： ， 为正项级数，且1nu1nv ),321( nvun13若 收敛，则 收敛；若 发散，则 发散.1nv1nu1nu1nv4） 比较法的推论： ， 为正项级数，若存在正整数 ，当1nu1n m时， ，而 收
14、敛，则 收敛；若存在正整数 ，当mnnkvu1nv1nu时， ，而 发散，则 发散. n1n1n做题步骤：找比较级数（等比数列，调和数列，p 级数 1/np） ；比较大小；是否收敛。 5） 比较法的极限形式：设 ， 为正项级数，1nu1nv（1）若 ，而 收敛，则 收敛；)0( limllvun 1n1nu（2）若 或 ，而 发散，则 发散.linnvuli 1nv1n6） 比值法： 为正项级数，设 ，则当 时，级数 收1n lunnliml1nu敛；则当 时，级数 发散；当 时，级数 可能收敛也可能发散.l1nu1l1nu7） 根值法： 为正项级数，设 ，则当 时，级数 收1n lunli
15、l1nu敛；则当 时，级数 发散；当 时，级数 可能收敛也可能发散.l1nu1l1nu8） 极限审敛法： 为正项级数，若 或 ，则级1n 0limn nnli数 发散；若存在 ，使得 ，则级数 收1nup )( li llunpn 1nu敛.交错级数：14莱布尼茨审敛法：交错级数： ， 满足：1)(nnu0，且 ，则级数 收敛。),321( 1nun limn1)(nnu任意项级数：绝对收敛，则 收敛。1nu1nu常见典型级数：几何级数： 1 0qaqn发p -级数：p 1发np（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数 ，收敛域，收敛半径，和函数；1)(nxu2、 幂级数：0na收敛半径的求法： ，则收敛半径 na1lim0 ,0 ,1R
