1、1今天，你扫雷了么？学校：北京大学附属中学 年级：高二 小组：PC 小组 目录前言选题意义-1前言说明-1前言论文摘要-1正文基本玩法简介-2正文游戏策略-2正文数据的收集统计-6正文数学模型的建立-6正文结论-8正文误差分析-9小组成员感受-10相关注解-11参考文献-11第一部分：前言一、选题意义：我们认为，此类游戏有益于开发脑力，是在学习之余的一个放松的有意义的好方法。然而现在的扫雷游戏，只有简单的初级、中级、高级三档，所以我们决定对相同格子不同雷数，以及相同雷数，不同格子数进行多次实验，从而制出一张随格数（雷数）变化时胜率的函数图，这样可以更清楚的知道其难度的变化。二、说明：在本篇论文
2、中，我们会先针对于扫雷游戏的初学者，制定一套战术策略方案，之后对一些经典情况进行分析：比如在一些不确定的情况下对于雷的概率分析。最后对于我们所进行的实验进行数学模型的建立，并根据数学模型为扫雷定义难度。并对扫雷游戏进行一个创新，增加其趣味性及难度。三、论文摘要在本篇论文中，我们针对于扫雷游戏做了相关的胜率研究，在论文中首先对扫雷这款游戏进行了基本说明，之后我们的实验数据以表格的形式呈现在论文中，再根据由数据画出来的图像进行相关胜率分析，这幅图与我们预想中的差异以及误差分析和问题延展都会在论文中呈现。关键词：扫雷 Ming-sweeping 2策略 Tactic胜率 Wining Percent
3、age第二部分：正文一、 基本玩法简介在扫雷游戏界面中，每一个数字的意义是它周围的 8 格方块中所存在的雷数，据此进行相关的推理，来确定雷所在的格子。二、 游戏策略（注明：又有本次数学建模的前提是建立在最优情况下的胜率讨论，及把所有能够通过计算排除的雷全部排除的基础上的胜率，所以在论文开始必须进行相应策略介绍。 ）1、对于几种常见的图形分布要很熟悉，寻找常见的数字组合，这通常会指示地雷的常见组合。例如，在一组未挖开的方块的边上相邻的三个数字 2-3-2 表示这三个数旁边有一排有三个地雷。 2、在所有可以算的都算完的情况下，选择胜的概率最大格子去猜，比如可以推出两个格子中有一颗是，另外三个格子中
4、一颗是，那么一定从三个格子的地方进行猜测，这就是我们的前提条件之一：最优情况几种简单情况的分析1、在右图这种情况中，根据游戏规则，我们可以首先推断出a 和 d 一定是雷，又因为左下角这 9 个方格中中心数字是 2，又已经确定了 a 和 d 都是雷，所以可以推断 b 和 c 一定不是雷。这样，这一区域内的就算是解完了。 2、右图这种情况中，根据规则首先可以推出 c 一定是雷，又因为正中心是数字 2，也就说明了 b 一定也是雷，由此便可以推断出，a 位置一定不是雷。 3、这一情况中，根据规则首先推得 a 是雷，又因为左下角中央数字 2，所以 b 一定是雷，因为 ab 都是雷了，所以 c 不是雷，同
5、理 d 不是雷。因此 e 一定是雷，因为中心数字都是 1，所以 f 不是雷。同理推断 g 一定是雷，于是 h 不是雷。3以上列举的三种情况都是完全可以算出来的，那么以下将展示几种无法算出的，所谓胜率也就由此产生了。1、如图所示，这是某一局扫雷玩到最后的情景，经分析发现 abcd 四个格子中无法确定那两颗是雷，ad 是，或者 cb 是都说得通，这样就只能靠蒙的了，那么这一局胜利的概率就成了 50%2、又如右图这种情况，已有的数字给出的信息都是重复信息，无法确定 ab 中那一刻是雷，这时候赢的概率就是 50%。3、再如这种状况，已知还剩下 2 颗雷，那么经过分析发现在 ac 或是在 bd 都说得通
6、，于是胜率又是 50%。诸如此类的情况不再一一列举，正是因为有了这些个算不出来的情况，才使得我们的胜率统计有了意义，因为随着雷的颗数的增多，这种解不出来的情况也会越来越多，我们最终想要得到的也正是胜率曲线。4由于担心字母不够用，所以换为数字。观察图像可知，11 号为一定无雷。但此时，此图出现了多种可能。所以现在进行具体分析。由于个人喜好问题，从 a 号位开始入手。a 号位为 3，现在其周围已经有 2 个雷，所以 5、6、7 中只有一颗雷。（1） 假设 5 号位有雷（此时胜率为 33.3%）因为 5 有雷，所以 3、4 号位一定无雷，则 2 号位一定有雷，1 号位一定无雷。因为 5 有雷，所以
7、6、7 不能有雷，则 8 一定为雷，则 9、10 一定无雷。但是 12、13 号位还不能确定哪里有雷，所以需要猜测。 （此时胜率为 16.7%）14、15、16 号位中只有一颗雷。（1a）假设 14 号位有雷（此时胜率为 5.6%）则 15、16 号位一定无雷。那么 17、18、19 号位中有两颗雷；18、19、20 号位中有两颗雷。（1aa）17、18、20 有雷（此时胜率为 1.8%）（1ab）17、19、20 有雷（此时胜率为 1.8%）（1ac）18、19 有雷（此时胜率为 1.8%）（1b）假设 15 号位有雷（此时胜率为 5.6%）5则 14、16 号位一定无雷。那么 17、18、
8、19 号位中有两颗雷；18、19、20 号位中有两颗雷。（1ba）17、18、20 有雷（此时胜率为 1.8%）（1bb）17、19、20 有雷（此时胜率为 1.8%）（1bc）18、19 有雷（此时胜率为 1.8%）（1c）假设 16 号位有雷（此时胜率为 5.6%）则 14、15 号位一定无雷。那么 17、18、19 号位中有一颗雷；18、19、20 号位中有两颗雷。则可判断 17 号位一定无雷。（1ca）18、20 号位有雷（此时胜率为 2.8%）（1cb）19、20 号位有雷（此时胜率为 2.8%）（2）假设 6 号位有雷（此时胜率为 33.3%）则 5、7、8 一定无雷。由于 5 无
9、雷，所以 3、4 中必有一雷，则 2 不是雷，一必是雷。此处需要猜测 3、4 谁为雷。 （此时胜率为 16.7%）由于 7、8 无雷，则 9 一定有雷，10 一定无雷但是 12、13 号位还不能确定哪里有雷，所以需要猜测。 （此时胜率为 8.3%）14、15、16 号位中只有一颗雷。（2a）假设 14 号位有雷（此时胜率为 2.7%）则 15、16 号位一定无雷。那么 17、18、19 号位中有两颗雷；18、19、20 号位中有两颗雷。（1aa）17、18、20 有雷（此时胜率为 0.9%）（1ab）17、19、20 有雷（此时胜率为 0.9%）（1ac）18、19 有雷（此时胜率为 0.9%
10、）（2b）假设 15 号位有雷（此时胜率为 2.7%）则 14、16 号位一定无雷。那么 17、18、19 号位中有两颗雷；18、19、20 号位中有两颗雷。（2ba）17、18、20 有雷（此时胜率为 0.9%）（2bb）17、19、20 有雷（此时胜率为 0.9%）（2bc）18、19 有雷（此时胜率为 0.9%）（2c）假设 16 号位有雷（此时胜率为 2.7%）则 14、15 号位一定无雷。那么 17、18、19 号位中有一颗雷；18、19、20 号位中有两颗雷。则可判断 17 号位一定无雷。（2ca）18、20 号位有雷（此时胜率为 1.4%）（2cb）19、20 号位有雷（此时胜率
11、为 1.4%）（3）假设 7 号位有雷（此时胜率为 33.3%）则 5、6、8、9 一定无雷。10 号位就一定有雷由于 5 无雷，所以 3、4 中必有一雷，则 2 不是雷，一必是雷。此处需要猜测 3、4 谁为雷。 （此时胜率为 16.7%）但是 12、13 号位还不能确定哪里有雷，所以需要猜测。 （此时胜率为 8.3%）14、15、16 号位中只有一颗雷。6（3a）假设 14 号位有雷（此时胜率为 2.7%）则 15、16 号位一定无雷。那么 17、18、19 号位中有两颗雷；18、19、20 号位中有两颗雷。（3aa）17、18、20 有雷（此时胜率为 0.9%）（3ab）17、19、20
12、有雷（此时胜率为 0.9%）（3ac）18、19 有雷（此时胜率为 0.9%）（3b）假设 15 号位有雷（此时胜率为 2.7%）则 14、16 号位一定无雷。那么 17、18、19 号位中有两颗雷；18、19、20 号位中有两颗雷。（3ba）17、18、20 有雷（此时胜率为 0.9%）（3bb）17、19、20 有雷（此时胜率为 0.9%）（3bc）18、19 有雷（此时胜率为 0.9%）（3c）假设 16 号位有雷（此时胜率为 2.7%）则 14、15 号位一定无雷。那么 17、18、19 号位中有一颗雷；18、19、20 号位中有两颗雷。则可判断 17 号位一定无雷。（3ca）18、2
13、0 号位有雷（此时胜率为 1.4%）（3cb）19、20 号位有雷（此时胜率为 1.4%）所以综上所述，猜测 5 号位有雷时，胜率最大，为 2.8%三.数据的收集与整理收集思路与方法：1、 思路：依照控制变量法的思想，我们从两方面进行了实验：第一方面是在格子定在 16x16 的情况下对雷的颗数进行变换。经过认真研究和讨论，综合推测的胜率以及研究时间等方面的因素，得出以 5 颗雷为一档变换，每种情况分别进行 20到 60 局的实验（对于雷数很少或者雷数很多的情况基本上胜率为 100%或 0%，所以进行的实验比较少。 ）的试验方法，第二方面是在雷的颗数固定在 40 颗的情况下，对格子数进行变换，进
14、行多组实验后，得出数据。2、 收集方法：我们在完成每一组的试验后都会进行截屏，建立我们自己的数据库，在进行完所有试验后，再进行数据统计数据统计与整理一、格子数目确定雷颗数不定时雷数 试验局数 通关局数 失败局数 胜率16X16 10 20 20 0 100.00%716X16 15 20 20 0 100.00%16X16 20 20 20 0 100.00%16X16 25 20 20 0 100.00%16X16 30 50 47 3 94.00%16X16 35 50 43 7 86.00%16X16 40 50 45 5 90.00%16X16 43 50 41 9 82.00%16X
15、16 47 50 35 15 70.00%16X16 50 58 29 29 50.00%16X16 55 46 10 36 21.73%16X16 60 49 7 42 14.29%16X16 65 42 4 38 9.52%16X16 70 29 1 28 3.45%16X16 75 26 0 26 0.00%16X16 80 34 0 34 0.00%16X16 85 34 0 34 0.00%16X16 90 20 0 20 0.00%说明：由于 10、15、20、25 以及 75、80、85、90 颗雷数时的胜率基本为 100.00%或0.00%，所以游戏局数较少。二、雷定格子数不定
16、时雷数 格子数 试验局数 通关局数 失败局数 胜率50 9X9 40 0 40 0.00%50 10X10 40 0 40 0.00%50 11X11 40 0 40 0.00%50 12X12 40 2 38 5.00%50 13X13 50 5 45 10.00%50 14X14 53 10 43 18.87%50 15X15 51 19 27 37.25%50 16X16 51 26 25 50.98%50 17X17 53 34 19 64.15%50 18X18 56 41 15 73.21%50 19X19 54 45 6 83.33%50 20X20 49 45 4 91.84%
17、50 21X21 50 48 2 96.00%50 22X22 37 37 0 100.00%50 23X23 24 24 0 100.00%50 24X24 20 20 0 100.00%50 25X25 20 20 0 100.00%说明：由于格子数为 9X9，10X10 以及 23X23，24X24，25X25 时的胜率基本为 0.00%或100.00%，所以游戏局数就少。8数学模型的建立建立过程：根据我们对扫雷游戏的理解与设想，进行了以上两组平行的实验：1 格子数为定量，雷数为变量，依照不同情况进行多组实验，根据胜负局数算出各自胜率，将数据统计入表中，绘制出胜率-雷数的曲线图。2 雷数
18、为定量，格子数为变量，依照不同情况进行多组实验，根据胜负局数算出各自胜率，将数据统计入表中，绘制出胜率-格子数的曲线图。在经行以上两次统计后，比较两曲线图，从而得出雷数、格子数与胜率的关系。结论91、 在格子数不变的情况下，随着雷数的升高，胜率大体上逐渐呈下降趋势，此下降趋势的特点如下：一、这是一条 S 形曲线，在 30 颗到 60 颗中间产生胜率的陡降现象。二、在 25 颗雷之前胜率的变化率基本为零。三、在 70 颗雷之后胜率的变化率基本为零。2、雷数为 50 颗固定不变的时候，随着格子数的升高，胜率大体上呈上升趋势，次上升趋势的特点与上边下降趋势的特点相同，如下：一、这是一条 S 形曲线，
19、在 14x14 到 19x19 中间产生胜率的陡升现象。二、在 12x12 之前胜率的变化率基本为零。三、在 21x21 之后胜率的变化率基本为零。3、综合分析以上两张图像，发现图像中雷数比格子数基本相同的两个点，它们的胜率也基本相同。由此我们可以为扫雷重新定义难度。4、根据以上图像特点，我们为扫雷重新定义了难度，如下在 16x16 的格子中，根据我们的图像将难度分为 5 档（依照胜率从 0%到 100%，平均分为 5 份） 低级：雷数在 40 颗以下（胜率在 80%到 100%）中低级：雷数在 40 颗到 48 颗之间（胜率在 60%到 80%）中高级：雷数在 48 颗到 53 颗之间（胜率
20、在 40%到 80%）高级：雷数在 53 颗到 55 颗之间（胜率在 20%到 40%之间）超高级：雷数在 55 颗以上（胜率在 0%到 20%之间）低级：在雷数比格子数小于 5/32 时。 （胜率在 80%到 100%）中低级：在雷数比格子数在 5/32 到 3/10 之间时（胜率在 60%到 80%）中高级：在雷数比格子数在 3/10 到 53/256 之间时（胜率在 40%到 80%）高级：在雷数比格子数在 53/256 到 55/256 之间时（胜率在 20%到 40%之间）超高级：在雷数比格子数大于 55/256 以上时（胜率在 0%到 20%之间）我们重新定义了扫雷游戏的难度，目的
21、在于今后可以编写新的扫雷游戏的程序，把上述10比例编入程序，即可实现重新定义。误差的分析1,在格子定雷不定的情况下,我们的数据在 35 颗雷和 40 颗雷的时候出现了一个波动,理论上来说这是一个误差,产生误差的原因有如下几点:一. 我们进行的试验数量太少了,还不足以说明我们想要得到的胜率.因为在同样的格子的情况下,雷的分布情况过于多,而每种情况对应的胜利几率必定是不同的,于是也就导致了误差.并且根据大数法则(注 1),在试验进行的足够多的情况下才可以得到我们想要得理论数值.我们的时间和精力都不够进行那么多次的试验,误差也就在所难免了.二. 个人原因:在试验过程中,一定存在个人失误的情况,比如一
22、时大意没有算出本可以算出的雷.2.在雷定格子不定的情况下,出现波动的原因同上.问 题 延 展1. 我 们 目 前 最 大 的 问 题 就 是 试 验 进 行 的 次 数 不 够 ,针 对 于 这 一 问 题 ,我 们 觉 得 如果 有 可 能 的 话 可 以 编 写 一 个 相 关 程 序 进 行 自 动 扫 雷 ,这 样 就 可 以 将 试 验 误 差 缩小 到 最 小 ,也 更 利 于 进 行 后 续 的 分 析 .2 我 们 所 留 下 的 很 多 数 据 很 有 价 值 ， 其 中 包 含 了 多 样 性 的 概 率 问 题 , 我 们 认 为这 段 时 间 对 于 扫 雷 游 戏 的
23、 研 究 对 我 们 的 数 学 概 率 学 习 很 有 帮 助 ， 所 以 我 们 认 为 可 以 节 选其 中 经 典 ,供 之 后 的 概 率 教 学 使 用 .参考文献：http:/ 1: 大 数 法 则 原 本 是 经 济 学 中 的 概 念 ， 准 确 地 说 是 统 计 学 中 的 概 念 ， 但 至 今 在 学 术上 并 没 有 精 确 的 定 义 。 根 据 英 国 经 济 家 保 罗 西 布 莱 特 的 说 法 ， “大 数 法 则 大 致 是 说 ，相 似 个 体 所 组 成 的 大 型 群 体 的 平 均 行 为 要 比 小 型 群 体 或 群 体 中 的 个 体 行 为 更 加 容 易 预 见 。”大 数 法 则 来 源 于 统 计 数 字 所 表 现 出 来 的 规 律 性 。 本 性 看 似 最 为 变 幻 莫 测 的 事 件 ， 单 独看 待 时 似 乎 是 随 机 的 和 偶 然 的 ， 但 一 旦 涉 及 到 足 够 多 的 次 数 ， 就 能 够 表 现 出 近 似 于 数 学规 律 的 现 象 ， 人 们 凭 此 可 以 作 出 预 见 。 因 此 ， 尽 管 单 一 事 件 没 有 意 义 ， 但 如 果 该 事 件 多次 重 复 ， 实 际 结 果 的 分 布 就 会 呈 现 出 一 定 的 比 率 。 这 就 是 大 数 定 律 。
