1、第 1 页 共 13 页辽宁省实验中学 2013 届高三上学期第二次考试文科数学试卷考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第 2224 题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1已知 aR，i 为虚数单位，若 ，则 a 等于（ ）Riaz3A B C D3132 设集合 ， ，则 （ ）=（ 12|xM032|xNNMR）
2、A.（1，+） B （-，-1） C.-1,1 D.（1,3）3设 p：x-1 或 x1，q：x-2 或 x1，则p 是q 的（ ）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知等比数列 中， ，则前三项的和 的取值范围是（ ）na23SA B C D,62, ,6,60,5右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ） A B C D2134546已知平面向量 ， 的夹角为 60， ，ab)1,3(a， 则 =（ ）1|b|A2 BC D77227.在各项均为正数的数列 中，对任意na都有 成立，若 ，则*,Nnmmn64（ ）9aA. 256 B
3、.510 C.512 D. 10248. 在ABC 中，已知 AB=4，cosB= ，AC 边上的中线 BD= ，则 sinA=（ ） 87234开始i=1， m=0，n=0i4是i=i+1，m=m+1 imn1输出 n结束否第 2 页 共 13 页A. B. C. D. 86381066109、在 R 上的可导函数 ，当 x（0,1）时取得极大值，当cbxaxf 23)(x（1,2）时取得极小值，则 的取值范围是（ ）1bA B C D)21,()4,2()1,2()1,4(10在ABC 中，P 是 BC 边中点，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若，则ABC 的形状是（ ） 0ba
4、CcA.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形 11设 是定义在 R 上的增函数，且对于任意的 x 都有 恒成立。)(xf 0)1()(xff如果实数 m、n 满足不等式组 ，那么 的取值308)26(22mnff 2nm范围是（ ）A B C D)7,3()25,9()49,1( )49,(12、函数 的定义域为 D，若存在闭区间a，bD，使得函数 满足： 在xf xf)(xfa，b内是单调函数； 在a，b上的值域为2a，2b，则称区间a，b为 y=)(xf的“倍值区间” 。下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）)(xf ； ；)0(2)()Rxef ； 1
5、4)2xxf )1,0(8logaaA B C D第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上）。13已知函数 ，若 ，则实数 a 的取值)(,6)1(log20)(32xxf )5(6(2faf范围是 第 3 页 共 13 页14已知 ， 分别是等差数列 ， 的前 n 项和，且 ，则nSTnab )(,241*NnTSn1561830bab15已知 ， ，则 cosin231)tn()2tan(16.已知 x，y，zR，有下列不等式： ； ；)(322 zyxz xy ； | zzyx22其中一定成立的不等式的序号
6、是 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 （本小题满分 12 分）已知向量 与 共线，且有函数 。)2cos,1(xa),2cosin3(yxb )(xfy（I）若 求 的值；)f )（II）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 ，bcCa2os2求函数 的取值范围(Bf18(本小题满分 12 分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与患感冒而就诊的人数，得到如下图资料：日 期 1 月 10日 2 月 10日 3 月 10日
7、 4 月 10日 5 月 10日 6 月 10日昼夜温差 x(C) 10 11 13 12 8 6就诊人数 y(个) 22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归第 4 页 共 13 页方程,再用被选取的 2 组数据进行检验.()求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率()若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 ybxa()若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回
8、归方程是否理想?参考公式:线性回归方程的系数公式为1122(),nni iiii iixyxybabx19 （本小题满分 12 分）已知数列 满足 ，na3,12a )2(34*11 nNann 且（1）证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；n （2）设数列 的前 n 项和为 ，且对一切 ，都有bnS*成立，求 。1221 aann第 5 页 共 13 页20 （本小题满分 12 分）设函数 的图像在点 处的切线的)0,(213)( aRcbxaxf )(,xf斜率为 ，且函数 为偶函数。若函数 满足下列条件：xkkg)(xk；对一切实数 x，不等式 恒成立。0)1( 21(x（1）求
9、函数 的表达式；)(k（2）求证： 。)(2)(1)2(1*Nnk第 6 页 共 13 页21(本小题满分 12 分) 已知函数 ， 是大于零的常数。2(axf（）当 a=1 时，求 的极值；)(f（）若函数 在区间1，2 上单调递增，求实数 a 的取值范围；x（）证明：曲线 上存在一点 P，使得 上总有两点 M,N，且)(fy)(xfy成立。NPM第 7 页 共 13 页请考生从第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲略23 （本小题满分
10、 10 分）选修 44：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度。已知直线 经过点 P（1,1）,倾斜角 。l 6（1）写出直线 的参数方程；（2）设 与圆 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、B 两点的距离之积。l224略第 8 页 共 13 页辽宁省实验中学 2013 届高三上学期第二次考试数学（文科）试卷参考答案一、选择题：BCAAC DCBDA CB二、填空题13、 14、 7841 15、1 16、 ,6-三、解答题17、(本小题满分 12 分)解：（） 与 共线 ab )2cosin3(2cosxxy3 分1)6sin()
11、co1(2sin3xx ，即 6)(f 2x621)6(sin1)3(cos2)3(cs3cos 2 xx分（）已知 bCa2由正弦定理得： CAABsinco2sin2sicosin)i( ， 在 中 . 8 分1A3)6si()(Bf , 10 分3A32065B ,1)sin(21)(f函数 的取值范围为 . 12 分Bf 218、(本小题满分 12 分)解：（1）设抽到相邻两个月的数据为事件 从 6 组数据中选取 2 组数据共有 15 种情,A况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种， 4 分5()3PA（2）由数据求得 ，由公式求得 ，由 ，求得1,24x
12、y187baybx307a关于 的线性回归方程为 9 分30yx（3）当 时， ， 10x50,277y第 9 页 共 13 页当 时， ，所以该小组所得线性回归方程是理想的。126x786,127y分19、(本小题满分 12 分)解：（）由 可得1134nna)(311nna所以数列 是以 2 为首项，3 为公比的等比数列 3 分a故有 1211 )()()(nnn6 分32（） 由 可知1221 nabab当 时, , , n3131S当 时, , 8 分22)(nabn 13nnb1221 3 nnS 1)3(210n设 3x3 nn)(2113(021nnx3n23)1(nnS综上 1
13、2 分N,20、 (本小题满分 12 分)解：（）由已知得： 2()kxfaxbc. 由 1()2gx为偶函数，得 21(gx为偶函数，第 10 页 共 13 页显然有 12b. 2 分又 ()0k，所以 0ac，即 12ac. 又因为 21x对一切实数 x恒成立，即对一切实数 ，不等式 211()0ac恒成立. 显然，当 12a时，不符合题意. 当 时，应满足 10,24().ac注意到 12a ，解得 14a. 所以 ()4kxx. 6 分（）证明：因为221()4nn，所以 214()kn. 要证不等式 1()()kk 成立,即证 2234n . 因为 211()()2n, 所以 22
14、13342nn 12.所以 12()2()nkk 成立. 12 分21、(本小题满分 12 分)第 11 页 共 13 页解：（） 232fxaxax，当 ，2341234131f x令 ，得 12,x，0f在区间 单调递增， 单调递减， 单调递增，()x(,)3(,1)3(1,)于是当 时，有极大值 ；当 时有极小值 (0f-3 分427fx（） ，若函数 在区间 上为单调递增，24fxax()f,2则 在 上恒成立，301,当 ，即 时，由 得 ；1022340fa1a当 ，即 时， ，无解；23aaf当 ，即 时，由 得 22180fa6综上，当函数 在区间 上为单调递增时， 或 -7(
15、)fx, 1a分（） ， ，232faxa2234fxx令 ，得 ，0x12,f在区间 ， ， 上分别单调递增，单调递减，单调递增，(,)3(,a,)于是当 时，有极大值 ；ax34()27f当 时，有极小值 0fa记 , , 的中点 ,34(,)27aA(BAP3(,)27a设 是图象任意一点,由 ，得 ，MxyMN34)xay因为 324()()()()33faxax，4277ay第 12 页 共 13 页OFEDCBA由此可知点 在曲线 上，即满足 的点 在曲线 上N()yfxMPNC所以曲线 上存在一点 ，使得曲线 上总有两点 ，()yfx32,)7a()yfxNM,且 成立 -12P
16、M分请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22、 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲证明：（）连结 AD 因为 AB 为圆的直径，所以ADB=90，又 EFAB，EFA=90则 A、D、E、F 四点共圆(4 分)DEA=DFA 5 分（）由（）知，BDBE=BABF 又ABCAEF AFCB即：ABAF=AEAC (8 分) BEBD-AEAC =BABF-ABAF=AB(BF-AF)=AB 2 10 分23、 （本小题满分 10 分） 选修 44：坐标系与参数方程解：（I）直线的参数方程是是 参 数 ）tyx(;21,3 3 分（II
17、）因为点 A,B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 ,则点 A,B 的坐标分别为12t),21,3(tA)21,3(ttB 5 分圆 化为直角坐标系的方程 4yx 7 分直线 的参数方程代入圆的方程2整理得到l02)13(2tt 因为 和 是方程的解，从而1t212t所以|PA|PB|= |2| 2 10 分24、 （本小题满分 12 分）选修 45：不等式选讲（）证法 1：232()ababa第 13 页 共 13 页323222()()()()abababa，当且仅当 时等号成立. 2()0,ab2证法 2： ，,023222() ()ababba，当且仅当 时等号成立. 5 分2（） ，由（）的结论01,0x函数 ，当且仅当 即 时等号成立，xy)(2(1)x1x12函数 的最小值为 1. 10 分2(1)(0)yx
