1、 1 / 4必修五第一章 解三角形1.在ABC 中，AB5，BC 6，AC 8，则ABC 的形状是 ( )A锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 D非钝角三角形解析：最大边 AC 所对角为 B，则 cosB BC BBAC CCBA DCAB解析 由正弦定理 ，sinB .B 为锐角， B 60，则 C90 ，故 CBA. asinA bsinB bsinAa 32答案 C3在 ABC 中，已知 a8，B 60，C75，则 b 等于( )A4 B4 C4 D.2 3 6323解:由 ABC180，可求得 A45，由正弦定理，得 b 4 .asinBsinA 8sin60sin458 322
2、2 6答案 C4 在ABC 中，AB5，BC7，AC 8，则 的值为( )BA BC A5 B 5 C15 D15解析 在ABC 中，由余弦定理得 ：cosB .AB2 BC2 AC22ABBC 25 49 64257 17 | | |cosB57 5. BA BC BA BC 17答案 A5 若三角形三边长之比是 1： ：2，则其所对角之比是( )3A1：2：3 B1 ： ：2 C1： ： D. ： ：23 2 3 2 3解析 设三边长分别为 a， a,2a，设最大角为 A，则 cosA 0 ，A90 .3a2 3a 2 2a 22a3a设最小角为 B， 则 cosB ，B30 ，C60 .
3、 因此三角之比为 1：2：3. 2a 2 3a 2 a222a3a 32答案 A6在 ABC 中，若 a 6，b9，A45，则此三角形有( )A无解 B一解 C两解 D解的个数不确定2 / 4解析 由 ，得 sinB 1.此三角形无解bsinB asinA bsinAa 9 226 3 24答案 A7已知ABC 的外接圆半径为 R，且 2R(sin2Asin 2C)( ab)sinB(其中 a，b 分别为 A，B 的对边) ，那2么角 C 的大小为 ( )A30 B45 C 60 D90解析 根据正弦定理，原式可化为2R ( ab) ， a 2c 2( ab)b，a 2b 2c 2 ab，(a
4、24R2 c24R2) 2 b2R 2 2cosC ，C45. a2 b2 c22ab 22答案 B8在 ABC 中，已知 sin2Asin 2BsinAsinBsin 2C，且满足 ab4，则该三角形的面积为( )A1 B2 C. D.2 3解析 由 2R，又 sin2Asin 2BsinAsinBsin 2C，asinA bsinB csinC可得 a2b 2abc 2.cosC ，C60，sinC .a2 b2 c22ab 12 32S ABC absinC .12 3答案 D9 在ABC 中，A 120 ，AB5，BC7，则 的值为( )sinBsinCA. B. C. D.85 58
5、 53 35解析 由余弦定理，得cosA ，解得 AC3. 由正弦定理 . AB2 AC2 BC22ABAC sinBsinC ACAB 35答案 D10.在三角形 ABC 中，AB5 ，AC3，BC7，则BAC 的大小为( )A. B. C. D.23 56 34 3解析 由余弦定理，得 cosBAC ，BAC .AB2 AC2 BC22ABAC 52 32 72253 12 23答案 A11有一长为 1 km 的斜坡，它的倾斜角为 20，现要将倾斜角改为 10，则坡底要加长( )A0.5 km B1 km C1.5 km D. km32解析 如图，ACABsin20sin20 ，BC AB
6、cos20cos20 ，DC 2cos 210，ACtan10DB DCBC 2cos 210cos201. 答案 B12已知ABC 中，A ，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 ac ，且 A75 ，则 b 为( )6 2A2 B42 C4 2 D. 3 3 6 2解析 在ABC 中，由余弦定理，得 a2b 2c 22bccosA，ac，0b 22bccosA b 22b( )6 23 / 4cos75，而 cos75cos(3045)cos30cos45sin30sin45 ( )，b 22b( 22( 32 12) 14 6 2 6)cos75b 22b( ) ( )b 22b 0，解
7、得 b2，或 b0(舍去) 故选 A. 2 6 214 6 2答案 A13在ABC 中，A 60，C45，b 4，则此三角形的最小边是_解析 由 ABC180 ，得 B75，c 为最小边，由正弦定理，知 c 4( 1) bsinCsinB 4sin45sin75 3答案 4( 1)314在ABC 中，若 b2a ，BA 60，则 A_.解析 由 BA60，得sinBsin(A60) sinA cosA.12 32又由 b2a ，知 sinB2sinA.2sinA sinA cosA.12 32即 sinA cosA.cosA0，32 32tanA .0A180 ，A30. 33答案 3015在
8、ABC 中，A C2B，BC5，且ABC 的面积为 10 ，则 B_，AB_.3解析 由 AC2B 及 ABC 180，得 B60.又 S ABBCsinB，10 AB5sin60，AB8. 12 3 12答案 60 816在ABC 中，已知(bc)：(c a) ：(ab)8：9：10，则 sinA：sinB：sinC_.解析 设Error!可得 a：b：c11：9：7.sinA：sinB ： sinC11：9：7. 答案 11：9：717在非等腰ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a2b(bc) (1)求证：A2B；(2)若 a b，试判断ABC 的形状3解 (1)证
9、明：在ABC 中，a 2b(bc) b 2bc，由余弦定理，得cosB ，a2 c2 b22ac bc c22ac b c2a a2b sinA2sinBsinA2sinBcosBsin2B.则 A2B 或 A2B .若 A2B，又 ABC ，B C. 这与已知相矛盾，故 A2B.(2) a b，由 a2b(bc) ，得 3b2b 2bc，c2b.3又 a2 b24b 2c 2.故ABC 为直角三角形18锐角三角形 ABC 中，边 a，b 是方程 x22 x20 的两根，角 A，B 满足 2sin(AB) 0.求：3 3(1)角 C 的度数；(2)边 c 的长度及ABC 的面积解 (1)由 2
10、sin(AB) 0，得 sin(AB) .332ABC 为锐角三角形，AB120，C60 .(2) a，b 是方程 x22 x20 的两个根，34 / 4ab2 ，ab2.3c 2a 2b 22abcosC (a b) 23ab12 66.c .6SABC absinC 2 .12 12 32 3219.已知ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b ，c，设向量 m(a ，b)，n(sinB，sinA) ，p(b2，a2)(1)若 mn ，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2 ，角 C ，求ABC 的面积 3解 (1)证明：mn，asinAbsinB.由正弦定得知，sinA ，sinB (其中 R 为ABC 外接圆的半径 )，代入上式，得 a b ，ab.故a2R b2R a2R b2RABC 为等腰三角形(2)mp，mp0，a(b2)b(a 2)0，abab.由余弦定理 c2a 2b 22abcosC 得4 (a b)23ab，即(ab) 23ab40.解得 ab4，ab1(舍去)ABC 的面积 S absinC 4sin .12 12 3 3
