1、城市交通某城市有 n（1n50）个街区，某些街区由公共汽车线路相连，如在下图中，街区1，2 有一条公共汽车线路相连，且由街区 1至街区 2的时间为 34分钟。由于街区与街区之间的距离较近，与等车时间相比可忽略不记，所以这个时间为两趟公共汽车的间隔时间，即平均的等车时间。由街区 1至街区 5的最快走法为 1-3-5，总时间为 44分钟。现在市政府为了提高城市交通质量，决定加开 m(1m10)条公共汽车线路。若在某两个街区 a，b 之间加开线路（前提是 a、b 之间必须已有线路） ，则从 a到 b的旅行时间缩小为原来的一半（距离未变，只是等车的时间缩短了一半） 。例如，若在 1，2 之间加开一条线
2、路，则时间变为 17分钟，加开两条线路，时间变为 8.5分钟，以此类推。所有的线路都是环路即无向，即如果由 1至 2的时间变为 17分钟，则由 2至 1的时间也变为 17分钟。求加开某些线路，能使由城市 1至城市 n的时间最少。例如，在上图中，如果 m=2，则改变 1-3，3-5 的线路，总的时间可以减少为 22分钟。输入：第一行为城市数 n与加开线路数 m。第二行至第 n+1行，每行为 n个实数，第 i+1行第 j列表示由城市 i到城市 j的时间。如果时间为 0，则城市 i不可能到城市 j。注意：输入数据中，从城市 1到城市 n至少有一条路线。输出：第一行为由城市 1到城市 n的最小时间 X
3、（保留小数点后两位） 。第二行至第 m+1行为更改的线路。每行由两个整数（x，y）构成。表示将城市 x与城市y之间增加一条线路。分析：城市交通问题的图论模型很简单。如果只考虑从城市 1 到城市 n 的最少时间，那么，这个问题就是一道经典的最短路径问题。因此，这个问题乍看上去，就给人一种熟悉的感觉。而实质呢？问题的“变数”在于市政府的改革措施很奇特（每加一条公共汽车路线，两个街区之间的旅行时间就缩短为原来的一半） ，这就弄得人不知所措。是否是关键路径的问题？显然，这个改革不能分步执行，即它不具有“贪心法”的要求，而如果采用搜索的方法，时间效率会很低。那么该如何解决呢？还是采用 Floyd-War
4、shall 的算法思想。在计算增加 m 条边的最优解（使最短路下降最快）的过程中，我们同样可以发现：1、将道路 a-b 上增加的 m 条边可以分为如下两个问题（如果 k 是最短路上的一点）1. 求 a-k 增加 t 条边；2. 求 k-b 增加 m-t 条边。t 可以取从 0 至 m 的任意值。问题 a-b 增加 m 条边的最优解取决与这两个子问题的最优解。2、在求 m 条边的过程中，始终只与增加 t 条边与增加 m-t 条边的子问题发生联系。以上两个特点即为“无后效性”与“最优子问题” 。所以， “城市交通”问题可采用动态程序设计方法。设vala，b，m 的值为增加 m 条线路后城市 a 到
5、城市 b 的最短路长。其中 vala，b，0的值为原交通图中边城市 a 至城市 b 的最短路，可以直接使用 floyd 算法计算；vala，b，m=minvala，k，t+valk，b，m-t(其中 t 为从 0 到 m 中的一个数，k 为a 到 b 中间的一点 )在两条道路增加的边数确定的条件下，采用 Floyd 算法计算最优解。所以这个问题实质上是一个双重动态程序设计问题。具体算法如下：直接使用 floyd 算法计算 vala，b，0（1an，1bn） ；for g1 to m do 按照新增加的边数 g 划分阶段begin对任一对城市（i，j）来说，(i，j)的边权减半；vali，j，g
6、= (i，j)的边权；for k1 to n do 枚举中间城市for i1 to n do 枚举经由城市 k 的所有城市对（ikj）for j1 to n do beginvali，j，g= ； 计算状态,),mi0tkjvaltkilgt 转移方程vali，j，g=minvali，j ，g ，vali，k，0+valk，j ，g valk，j，g0，valk ，j，0+vali，k，gvali ，k，g0 ；End；forend；for说明：这个问题的 val 数组的初始值与上一个 Floyd 算法不一样，初始值均为maxint。这个算法的时间复杂度为 W(n3*m2)，约为 W(n5)，
7、还是一个多项式级的算法。值得注意的是， 程序还要求可打印出增加的边，由于问题规模大，存储也需要一些技巧，这些小问题的解决请参看程序样例Constbig=1000000； 极大值Typemaps=array150，150 of Real； 地图类型Varmap:maps； 城市交通图Val:array010 of maps； Valki，j加入 k 条边后城市 i 和城市 j的最短路长Way:array010，150，150 ，12 of byte；最优结果记录表。 wayp，i，j存储 ij 的路径上新增 p 条线路的最佳方案。其中中间城市为 wayp，i ，j，2，ik 的路径上新增的线路数
8、为 wayp，i，j，1条n，m:integer； 城市数和加开的线路数Procedure init； 初始化过程，输入数据Vari，j:integer；beginReadln(n，m)； 读城市数和加开的线路数new(map)； 为城市交通图申请内存for i1 to n do 读城市交通图beginfor j1 to n do read(mapi，j) ；readln；end；forend；initProcedure main； 应用动态程序设计方法求解Vari，j，k，p，q:integer；R:real；beginR1；fillchar(way，sizeof(way)，0)； 最优结果
9、记录表初始化new(Val0)； 通过 floyd-Warshall 算法计算新增线路前任两个顶点的最短路val0 map；for k1 to n dofor i1 to n doif val0i，k0 thenfor j1 to n doif (Val0k，j0) and (iVal0i，k+Val0k ，j) thenbeginVal0i，j Val0i ，k+Val0k ，j；Way0i，j， 1 0；Way0i，j， 2 k；end；thenfor p1 to m do 按照新增加的线路数 p 划分阶段beginfor i1 to n do 计算每条边在新增第 p 条线路后的距离for
10、 j1 to n domapi，j mapi，j/2；new(valp)； 增加 P 条边后的最优距离列表初始化Valp map；for k1 to n do 枚举中间城市for i1 to n do 枚举经由城市 k 的所有城市对（ikj）if Val0i，k0 thenfor j1 to n doif (Val0k，j0) and (iValqi ，k+Valp-qk，j) thenbegin 若当前分解方案最优，则记下Valpi，j Valqi ，k+Valp-qk ，j；wayp，i ，j，1 q； 存储 ij 的路径上新增 p 条线路的最佳方案。其中中间城市为 wayp，i ，j，2
11、，ik 的路径上新增 wayp，i，j ，1 条线路wayp，i ，j，2 k；end；thenif Valpk，j0 then 若最优方案是城市 k 到城市 j 新增 p 条线if (valpi，j=0) or (Valpi，jVal0i，k+Valpk，j) thenbegin 若加入原线路（i，k）可使得 ij 的路径方案最优，则记下Valpi，j Val0i ， k+Valpk，j；wayp，i ，j，1 0；wayp，i ，j，2 k；end；thenif Valpi，k0 then 若最优方案是城市 i 到城市 k 新增 p 条线if (valpi，j=0) or (Valpi，j
12、Valpi，k+Val0k，j) thenbegin 若加入原线路（k，j）可使得 ij 的路径方案最优，则记下Valpi，j Valpi ， k+Val0k，j；wayp，i ，j，1 p；wayp，i ，j，2 k；End；thenEnd；thenEnd；forEnd；mainProcedure Print； 通过二分法输出结果Procedure Pr(l，r ，k:integer)； 递归输出城市 l 至城市 r 间新增 k 条线路的最佳方案Vari:integer；beginif wayk，l，r，2=0 then 若城市 l 至城市 r 间没有中间城市，则输出 k条（l，r）begi
13、nfor i1 to k do writeln(， ，r)；endthenElse beginpr(l，wayk ，l，r，2 ，wayk ，l，r，1)； 递归输出城市 l 至城市wayk， l，r ，2间新增 wayk，l ，r，1 条线路的最佳方案pr(wayk，l ，r ，2，r ，k-wayk ，l，r ，1)； 递归输出城市wayk， l，r ，2至城市 r 间新增 k-wayk，l ，r ，1条线路的最佳方案 end；elseend；prbeginwriteln(Valm1，n:0:2)； 输出城市 l 至城市 n 的最小时间Pr(1，n，m)； 输出城市 l 至城市 n 间新增 m 条线路的最佳方案end； Print begin 主过程init； 输入数据main； 求解Print； 输出数据End.总结：本题是双重动态程序设计的典型题，很复杂。个人认为，此题可以用求关键路径的方法，先找出一条关键路径，然后对其经过顶点进行排序，由大到小取 m 个。但此思路的正确性未得到验证，有待验证。
