1、离 散 数 学,张 广 泉,网站地址： 参考书： 离散数学 主编：焦占亚 副主编：丁春欣,前 言,离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术的理论基础，又称为计算机数学。 研究的对象是离散量的结构和相互关系。 通过学习离散数学，可以培养和提高我们的抽象思维和逻辑推理能力，为今后继续学习和工作，参加科学研究，打下坚实的数学基础。,主要内容,第一章 命题逻辑 第二章 谓词逻辑 第三章 集 合 第四章 二元关系 第五章 函 数 第六章 图 论,第1章 命题逻辑,数理逻辑是一门采用数学方法去研究抽象思维的规律的应用学科。 数理逻辑的基本内容分为命题逻辑和谓词逻辑两部分。 1.1 命题及联结词
2、 1.5 范式 1.2 命题公式与翻译 1.6 全功能联结词集 1.3 真值表和等价公式 1.7 对偶式与蕴含式 1.4 重言式 1.8 命题逻辑的推理理论,第1章 命题逻辑,研究抽象思维的中心问题是推理，推理就是由一个或几个判断推出一个新判断的思维形式。 判断是对事物有确切的肯定或否定的一种思维形式。 自然语言中能表达判断的语句是陈述句。 这种陈述句具有真值，所谓真值就是语句为真或为假的性质。,1.1命题及联结词,命题：能判断真假的陈述句。命题包含了以下3个要素： 只有陈述句才有可能成为命题，而其它的语句，如：感叹句、祈使句、疑问句等都不是命题。 一个语句虽是陈述句,但不能判断真假不是命题。
3、 虽然要求命题能判断真假，但不要求现在就能确定真假，将来可以确定真假也可以。,1.1命题及联结词,一个命题表达的判断结果称为命题的真值。 命题的真值有“真”和“假”两种，分别用True、T、1(真)和False、F、0(假)来表示。 真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。 任何命题的真值是惟一的。 在命题逻辑中对命题不再细分，因而命题是数理逻辑中最基本的也是最小的研究单位。,1.1命题及联结词,例1.1：判断以下语句是否为命题。若是命题，确定其真值。(1)2是素数。 (2)雪是黑色的。 (3)2+3=5。 (4)明年十月一日是睛天。 (5)3能被2整除。 (6)这朵花多好看呀！
4、(7)明天下午有会吗？ (8)请关上门！ (9) x+y5 。 (10)我正在说谎。,解 该陈述句是命题，而且是真命题。 解 该陈述句是命题，且是假命题。 解 该陈述句是命题，而且是真命题。 解 该陈述句的真值现在不知道，但到明年十月一日就知道了，因而是命题。 解 该陈述句是命题，且是假命题。 解 是感叹句，所以不是命题。 解 是疑问句，所以不是命题。 解 是祈使句，所以不是命题。 解是陈述句，但不是命题，因为真值不确定。 解不是命题(悖论),徽章和涂写,M：颁发一枚勋章，勋章上写着：禁止授勋！M：涂写一个告示：不准涂写！,“悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛
5、盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。,1.1命题及联结词,命题一般用小写英文字母或小写英文字母带下标，称为命题标识符。 如果一个命题不能再分解成更简单的命题，则称该命题为原子命题。 例如 p：12是偶数 如果一个命题不是原子命题，称该命题为复合命题。 例如 p：2或3是素数。,1.1命题及联结词,如果命题标识符表示一个具体、确定的命题，称为命题常元。 例如，下面的p，q都是命题常项。 p：2是素数。q：雪是黑色的 如果命题标识符表示的命题中，某个或某些成分不确定，称该命题标识符为命题变元。命题变元无确定的真值，因而不是命题。 例如，p：xy5 q：小王是大学生。 1101,1.1.2命题联
6、结词,在命题逻辑中，也可以通过命题联结词将原子命题联结起来表示复合命题。 常用的逻辑联结词有五种： 否定联结词、 合取联结词、 析取联结词、 条件联结词 双条件联结词。,【例1.2】否定下列命题。p：王强是一名大学生。p：王强不是一名大学生。q：我们班都是好学生。q,1. 否定联结词,定义1.1.1 设p为命题，则p的否定是一个复合命题，记作：p，读作“非p”或“p的否定”。 否定联结词“”的真值表如右。,2. 合取联结词,定义1.1.2 设p和q均为命题，则p和q的合取是一个复合命题，记作pq，读作“p与q”或“p合取q”。定义为：当且仅当p和q均为T时，pq才为T。联结词“”的真值表如表1
7、.2所示。,【例1.3】 设 p：2008年将在北京举办奥运会。q：中国是世界四大文明古国之一。则pq：2008年将在北京举办奥运会 并且中国是世界四大文明古国之一。,2. 合取联结词,将下列命题符号化。 (1)李平既聪明又用功。 (2)李平虽然聪明，但不用功。 (3)李平不但聪明，而且用功。 (4)李平不是不聪明，而是不用功。,解 用p表示“李平聪明”， q表示 “李平用功”，则 (1) pq 。 (2) pq 。 (3) pq 。 (4) (p)q,3. 析取联结词,定义1.1.3 设p和q均为命题，则p和q的析取是一个复合命题，记作pq，读作“p或q”或者“p析取q”。定义为：当且仅当p
8、和q均为F时，pq才为F。 联结词“”的真值表如表所示。,(不可兼) (可兼, “”是可兼或),【例1.4】下列两个命题中的“或”， 哪个是可兼或？哪个是不可兼或？我在电视上看这场杂技或在剧场里看这场杂技。灯泡有故障或开关有故障。,【例1.5】 p：小王努力学习。q：小王学习成绩优秀。pq：如果小王努力学习，那么他的学习成绩就优秀。联结词“”与汉语中的“如果，那么”或“若，则”相似，但又是不相同的。,4. 条件联结词,定义1.1.4 设p和q均为命题，其条件命题是个复合命题，记为：pq。读作“如果p，那么q”或“若p，则q”。定义为：当且仅当p为T，q为F时，pq才为F。p称为条件命题pq的前
9、件，q称为条件命题pq的后件。 联结词“”真值表如右。,4. 条件联结词,将下列命题符号化。 (1)只要不下雨，我就骑自行车上班。 (2)只有不下雨，我才骑自行车上班。,解 令p ：天下雨； q ：我骑自行车上班。 (1) pq 只要天不下雨，我一定会骑自行车上班；而我骑自行车上班时，不一定天不下雨。qp 我骑自行车上班时，天一定不下。,4. 条件联结词,将下列命题符号化并指出真值。 (1) 若224 ，则太阳从东方升起。 (2)若224 ，则太阳从东方升起。 (3)若224 ，则太阳从西方升起。 (4)若224 ，则太阳从西方升起。,解 设p：224 ，真值为1；q：太阳从东方升起，真值为1
10、；r：太阳从西方升起，真值为0。 (1) pq 真值为1 。 (2) p q 真值为1 。 (3) pr 真值为0 。 (4) p r 真值为1,【例1.6】设p：张华是三好学生。q：张华德、智、体全优秀。pq：张华是三好学生当且仅当德、智、体全优秀。1103 1104 1105,5. 双条件联结词,定义1.1.5 设p和q均为命题，其复合命题pq称为双条件命题，读作：“p双条件q”或者“p当且仅当q”。定义为：当且仅当p和q的真值相同时，pq为T。 联结词“”的真值表如表1.5所示。,1.2 命题公式,把命题常量、命题变量按照一定的逻辑顺序用命题联结词连接起来就构成了命题演算的合式公式，也叫
11、命题公式。 定义1.2.1 按下列规则构成的符号串称为命题演算的合式公式，也称为命题公式，简称公式。 单个命题变元和常元是合式公式。 如果A是合式公式，那么A是合式公式。 如果A和B是合式公式，那么(AB)、(AB)、(AB)和(AB)是合式公式。 当且仅当有限次地应用了、所得到的符号串是合式公式。命题公式一般的用大写的英文字母A，B，C，表示。,1.2 命题公式,依照这个定义，下列符号串是合式公式： (pq)，(pq)，(p(pq)， (pq)(qr)(st) 下列符号串不是合式公式： (pq)(q)，(pq，(pq)q) 为方便起见，对命题公式约定如下： 最外层括号可以省略。 规定联结词的
12、优先级由高到低依次为 ，。,1.3.1 命题公式的真值表,定义1.3.1 设pl，p2，pn是出现在公式A中的全部命题变元，给pl，p2，pn各指定一个真值，称为对公式A的一个赋值或解释。若指定的赋值使A的真值为T，则称这个赋值为A的成真赋值，若使A的真值为F，则称这个赋值为A的成假赋值。 例如，给公式(pqr)赋值011是指p=0，q=1，r=1，它是该公式的成真赋值；赋值110是指p=1，q=1，r=0，它是该公式的成假赋值。 定义1.3.2 在命题公式A中，对A的每一个赋值，就确定了A的一个真值，把它们汇列成表，称该表为命题公式A的真值表。,1.3 真值表和等价公式,1.3.1 命题公式
13、的真值表,【例1.8】构造命题公式pq的真值表，并求成真赋值和成假赋值。解：命题公式pq的真值表如表所示。00，01，11是成真赋值，10是成假赋值。,1.3.1 命题公式的真值表,【例1.9】构造命题公式(pq)(pq)的真值表，并求成真赋值和成假赋值。解：命题公式(pq)(pq)的真值表如表所示。00， 11是成真赋值，01，10是成假赋值。,1.3.1 命题公式的真值表,求下列命题公式的真值表 (1) p(qr) (2) (p(p q) )q (3) (p q) q,1.3.2 命题公式的等价,定义1.3.3 设A和B是两个命题公式，对A和B的任一赋值，A和B的真值都相同，则称A和B是等
14、价的或逻辑相等的，记为AB。 可以证明，命题公式等价有下面的三条性质： 自反性，即对任意命题公式A， AA 对称性，即对任意命题公式A和B，若AB，则BA 传递性，即对任意命题公式A，B和C，若AB，BC，则AC,1.3.2 命题公式的等价,根据定义1.3.3，可以用真值表证明命题公式是等价的。 【例1.12】根据等价的定义，用真值表证明p(qp)p(pq)证明：构造p(qp)和p(pq)的真值表，如表所示。p(qp)和p(pq)所在的列真值完全相同，所以p(qp)p(pq),1.3.2 命题公式的等价,证明等价的另外一种方法叫做等价演算法，其基本思想是：先用真值表证明一组基本等价式，以它们为
15、基础进行公式之间的演算。基本等价式常叫命题定律。 下面是常用的命题定律。1.双重否定律 A A2.交换律 AB BA， AB BA 3.结合律 (AB)C A(BC)(AB)C A(BC)4.分配律 A(BC)(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC),1.3.2 命题公式的等价,5.德摩根律 (AB)AB(AB)AB6.幂等律 AAA，AAA7.吸收律 A(AB)A， A(AB)A8.零律 A11，A009.同一律 A0A， A1A10.排中律 AA111.矛盾律 AA012.条件等价式 AB AB 13.双条件等价式 AB (AB)(BA)14.假言易位式 AB BA15.双条件否定等价式
16、 AB AB,1.3.2 命题公式的等价,验证德摩根律。 【例1.13】用真值表证明德摩根律 (AB)AB解：下表是(AB)和AB的真值表，从表中可以看出德摩根律成立。,1.3.2 命题公式的等价,定义1.3.4 如果X是合式公式A的一部分且X本身也是合式公式，则称X为公式A的子公式。 例如，Aq(p(pq)，Xpq，则X是A的子公式。 定理1.3.1 设X是合式公式A的子公式，若XY，如果将A中的X用Y来置换，得到的公式记为B，则B与A等价，即AB 。证明：对A、B的任一赋值，X与Y的真值相同，而A、B的其它部分完全相同，公式B与公式A的真值必相同。AB满足此定理的置换叫做等价置换。,1.3
17、.2 命题公式的等价,【例1.17】用等价演算法证明 p q (pq)(pq)证明： pq(pq)(qp) (双条件等价式) (pq)(qp) (条件等价式)(pq)(pp)(qq)(qp) (分配律)(pq)00(qp) (矛盾律)(pq)(qp) (同一律)(pq)(pq) (交换律)pq(pq)(pq) (等价的传递性),1.3.2 命题公式的等价,验证下列等价式 (1) p (q r) (pq) r(2)p (pq) (pq),(条件等价式)(条件等价式)(结合律)(德摩根律)(条件等价式),1.3.2 命题公式的等价,验证下列等价式 (1) p (q r) (pq) r(2)p (p
18、q) (pq),(同一律)(排中律)(分配律),1.3.2 命题公式的等价,验证下列等价式 (1) p (q r ) q (pr ) (2) (p q) (pr ) p (qr ) (3) (pq ) (pq ) (pq )1301,1.4 重言式,定义1.4.1 设A是任一命题公式。 若对A的任意赋值，其真值永为真，则称命题公式A为重言式或永真式。 若对A的任意赋值，其真值永为假，则称命题公式A为矛盾式或永假式。 若A不是矛盾式，则称命题公式A为可满足的。由定义1.4.1可以看出，任何重言式都是可满足的。,1.4 重言式,【例1.18】用等价演算法判断下列公式的类型。 q (pq)p) (p
19、p)(qq)r) (pq)p,解： q(pq)p)q(pp)(qp) (分配律)q(0(qp) (矛盾律)q(qp) (同一律)q(qp) (德摩根律)(qq)p (结合律)1p (排中律)1 (零律)由此可知，为重言式。,1.4 重言式, (pp)(qq)r)1(qq)r) (排中律)1(0r) (矛盾律)10 (零律)0 (条件联结词的定义) 由此可知，为矛盾式。 (pq)p(pq)p (条件等价式)p (吸收律)由此可知，是可满足的。,1.4 重言式,定理1.4.1 任何两个重言式的合取或析取都是重言式。 证明：设A、B是重言式，对A和 B的任何赋值，总有A为1，B为1，所以 AB1，A
20、B1，故AB和AB都是重言式。 推论： 任何两个矛盾式的合取或析取是矛盾式。 定理1.4.2 一个重言式，对同一分量出现的每一处都用同一合式公式置换，其结果仍是重言式。 推论：一个矛盾式，对同一分量出现的每一处都用同一合式公式置换，其结果仍是矛盾式。,1.4 重言式,【例1.19】利用定理1.4.2证明(pq)r)(pq)r)为重言式。,证明：由排中律知pp为重言式，以(pq)r)去置换其中的p，得公式(pq)r)(pq)r)，根据定理1.4.2，这是重言式。,1.4 重言式,定理1.4.3 设A、B为两个命题公式，AB当且仅当AB是重言式。 证明： 设AB，下证AB是重言式。 给A，B的任何
21、赋值，因为AB，所以A，B具有相同的真值，由双条件联结词的定义知AB为真，所以AB为重言式。 设AB为重言式，下证AB 给A，B的任何赋值，因为AB为重言式，故A，B的真值相同，由命题公式等价的定义知AB 1202,1.5.1析取范式与合取范式,定义1.5.1由一些命题变元或其否定构成的析取式称为基本和，也叫简单析取式。约定单个变元或其否定是基本和。 例如，pq、pq、pq、q、p、q都是基本和。 定义1.5.2由一些命题变元或其否定构成的合取式称为基本积，也叫简单合取式。约定单个变元或其否定是基本积。 例如，pq、pq、pq、p、q、p都是基本积。 定义1.5.3由基本和的合取构成的公式叫做
22、合取范式。约定单个基本和是合取范式。 p q (pq) (pq),1.5 范式,1.5.1析取范式与合取范式,定义1.5.4由基本积的析取构成的公式叫做析取范式。约定单个基本积是析取范式。 pq (pq) (pq) 任何命题公式都可以化成与其等价的析取范式或合取范式。求析取范式和合取范式的步骤如下： 消去联结词“”和“” 利用双重否定律消去否定联结词“”或利用德摩根律将否定联结词“”移到各命题变元前(内移)。 利用分配律，结合律将公式归约为合取范式和析取范式。,1.5.1析取范式与合取范式,【例1.21】求命题公式(pq)p的合取范式和析取范式。 解：求合取范式(pq)p(pq)p)(p(pq
23、) (消去)(pq)p)(p(pq) (消去)(pq)p)(p(pq) (内移)(pp)(qp)(ppq) (分配律，合取范式) 1(qp)(1q) (排中律)1(qp)1 (零律，合取范式)(qp) (同一律，合取范式)由此例可以看出，公式的合取范式并不惟一。,1.5.1析取范式与合取范式, 求析取范式(pq)p(pq)p)(pq)p) (消去)(pq)p)(pq)p) (内移)p(pqp) (吸收律，析取范式)p(ppq) (交换律)p(pq) (幂等律，析取范式)由此例可以看出，命题公式的析取范式也不惟一。 由于析取范式和合取范式不惟一，所以使用起来很不方便。为此，引入主析取范式和主合取
24、范式的概念。当命题变元的顺序约定以后，主析取范式和主合取范式是惟一的。,1.5.2 主析取范式,定义1.5.5 在基本积中，每个变元及其否定不同时存在，但两者之一必须出现且仅出现一次，这样的基本积叫做布尔合取也叫小项或极小项。p，q的极小项为：pq，pq，pq， pq 两个命题变元的极小项共4(=22)个, 三个命题变元的极小项共8(=23)个, 。一般地说，n个命题变元共有2n个极小项。,1.5.2 主析取范式,极小项有下列的性质： 每个极小项只有一个成真赋值，且各极小项的成真赋值互不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标来表示该极
25、小项，叫做该极小项的名称。 任意两个不同的极小项的合取式为永假式。 全体极小项的析取式为永真式。记为：,m0m1 1,1.5.2 主析取范式,1.5.2 主析取范式,m001m100 (pqr)(pqr)pqrpqr 0,1.5.2 主析取范式,定义1.5.6 对于给定的命题公式，如果有一个它的等价公式，仅由极小项的析取组成，称该公式为原公式的主析取范式。 任何命题公式都存在着与之等价的主析取范式。一个命题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： 等价演算法：即用基本等价公式推出。 真值表法：即用真值表求主析取范式。,1.5.2 主析取范式,真值表法：即用真值表求主析取范式。用真值表求主析取范
26、式的步骤如下： 构造命题公式的真值表。 找出公式的成真赋值对应的极小项。 这些极小项的析取就是此公式的主析取范式。,1.5.2 主析取范式,【例1.24】用真值表法，求(pq)r的主析取范式。解：表1.15是(pq)r的真值表,1.5.2 主析取范式,公式的成真赋值对应的极小项为：pqr (成真赋值为001)pqr (成真赋值为011)pqr (成真赋值为100)pqr (成真赋值为101)pqr (成真赋值为111)(pq)r 的主析取范式为：(pqr)(pqr)(pqr) (pqr) (pqr)m111m101m100m011m001m7m5m4m3m11，3，4，5，7,1.5.2 主析
27、取范式,用等价演算法求主析取范式的步骤如下：化归为析取范式。 除去析取范式中所有永假的基本积。在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加(pp)，再用分配律展开，最后合并相同的极小项。,1.5.2 主析取范式,【例1.22】用等价演算法求(pq)(pr)(qr)的主析取范式。解：(pq)(pr)(qr) (pq(rr)(pr(qq)(qr(pp)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr) (pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)m111m110m011m001m7m6m3m1 1，3，6，7,1.5.2 主析取范式,矛盾式无成真赋值
28、，因而主析取范式不含任何极小项，将矛盾式的主析取范式记为0。 重言式无成假赋值，因而主析取范式含2n (n为公式中命题变元的个数)个极小项。 可满足式，它的主析取范式中极小项的个数一定小于等于2n。,例,求命题公式 的主析取范式: (p q) (p r) (pq) (pq ),1.5.3主合取范式,定义1.5.7 在基本和中，每个变元及其否定不同时存在，但两者之一必须出现且仅出现一次，这样的基本和叫作布尔析取，也叫大项或极大项。 两个变元p，q构成的极大项为： pq，pq，pq，pq 三个命题变元p，q，r构成的极大项为： pqr， pqr， pqr， pqr， pqr，pqr，pqr，pqr
29、 两个命题变元的极大项共4(=22)个, 三个命题变元的极大项共8(=23)个, 。一般地说，n个变元共有2n个极大项。,1.5.3主合取范式,极大项有下列三个性质： 每个极大项只有一个成假赋值，极大项不同，成假赋值也不同。极大项和它的成假赋值构成了一一对应的关系。故可用成假赋值为该极大项进行编码，并把编码作为M的下标来表示该极大项，叫做极大项的名称。 任意两个不同的极大项的析取式为永真式。 全体极大项的合取式为永假式。记为：,M0M1,0,1.5.3主合取范式,例如，两个变元p，q的极大项pq，它的成假赋值是11，表示为M11，把11理解为2进制数，它的10进制表示为3，所以M 11又表示为
30、M3。 两个命题变元的极大项，成假赋值及名称见表1.16。,1.5.3主合取范式,三个命题变元的极大项，成假赋值及名称见表1.17。从表1.16和表1.17中可以 看出，极大项与成假赋 值的对应关系为：变元 对应0，而变元的否定 对应1。,1.5.3主合取范式,定义1.5.8 对于给定的命题公式，如果有一个它的等价公式，仅由极大项的合取组成，则该等价式称为原公式的主合取范式。 任何命题公式都存在着与之等价的主合取范式。 主合取范式可以由以下两种方法求得。 等价演算法：即用基本等价公式推出。 真值表法：用真值表求主合取范式。,1.5.3主合取范式,等价演算法演算步骤如下：化归为合取范式。除去所有
31、永真的基本和。在基本和中合并重复出现的析取项和相同的变元。在基本和中补入没有出现的命题变元。即增加(pp)，然后，应用分配律展开公式，最后合并相同的极大项。,1.5.3主合取范式,【例1.25】用等价演算法求(pq)r的主合取范式。解：(pq)r (pq)r (pq)r (pr)(qr)(pr(qq)(qr(pp)(prq)(prq)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr) M000M010M110M0M2M60，2，6,1.5.3主合取范式,用真值表求主合取范式的步骤如下： 构造命题公式的真值表。 找出公式的成假赋值对应的极大项。 这些极大项的合取就是此公式的主合取范式。 例： 求
32、 pq r 的主合取范式。,1.5.3主合取范式,矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含2n (n为公式中命题变元的个数)个极大项。 重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任何极大项。将重言式的主合取范式记为1。 可满足式，它的主合取范式中极大项的个数一定小于2n。 根据例1.23、例1.24以及1.25和例1.26，得出以下的结论：同一公式的主析取范式中m的下标和主合取范式中M的下标是互补的。因此，知道了主析(合)取范式就可以写出主合(析)取范式。,例,求主析取范式: (pq)(pr) 求主合取范式: (pq) (pq ) (pqp,例,给定命题公式如下： (p q) r 上述公式的主析取
33、范式中含极小项的个数为 A ，主合取范式中含极大项的个数为 B ，成真赋值为 C 。 供选择的答案 A： 2； 3； 5； 0； 8。 B： 0； 8； 5； 3。 C： 000，001，110； 001，011，101，110，111； 全体赋值； 无。,1.6全功能联结词集,定义1.6.1 设p和q是两个命题，复合命题p q称作p和q的不可兼析取，也叫异或。定义为：p q为T当且仅当p和q的真值不相同时。联结词“ ”称为异或联结词。 联结词“ ”的真值表，如表1.18所示。,1.6全功能联结词集,不可兼析取有下列的性质： p q q p (交换律) (p q) r p (q r) (结合律
34、) p(q r)(pq) (pr) (合取对异或的分配律) p q (pq)(pq) p q (pq) p p0，0 pp，1 pp 定理1.6.1 设A，B，C为命题公式，如果A BC， 则A CB，B CA，A B C为一矛盾式。,1.6全功能联结词集,定义1.6.2 p和q是两个命题，复合命题pq称作p和q的与非。定义为：当且仅当p和q真值都是真时，pq才为假。 联结词“”称为与非联结词。 联结词“”的真值表如表1.19所示。 由定义可以看出下式成立： pq(pq),1.6全功能联结词集,联结词“”还有以下几个性质： pp(pp) p (pq)(pq) (pq) (pq) pq (pp)
35、(qq)(p)(q) (pq) pq,1.6全功能联结词集,定义1.6.3 设p和q是两个命题，复合命题pq称作p和q的或非。定义为：当且仅当p、q的真值都为假时，pq的真值为真。联结词“”称为或非联结词。 联结词“”的真值表如表1.20所示。 由此定义可得到下面的公式： pq(pq),1.6全功能联结词集,联结词还有下面的几个性质： pp (pp) p (pq)(pq) (pq) (pq) pq (pp)(qq) pq (pq) pq,1.6全功能联结词集,定义1.6.4 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1)个变元组成的公式，都可以由S中的联结词来表示，则称S是全功能联结词集。 根据命题
36、公式的定义， ，是全功能联结词集。 利用下列3个等价式可将任何命题公式中的命题联结词 “ ”、“”和 “”去掉。 p q(pq)pq(pq)pq(pq)所以，是全功能联结词集。,1.6全功能联结词集,利用下列2个等价式可将任何命题公式中的命题联结词“”和“”去掉。 pqpq pq(pq)(qp)(pq)(qp) 所以，是全功能联结词集。 用德摩根律可证明，和，是全功能联结词集。 定义1.6.5设S是全功能联结词集，如果去掉其中的任何 联结词后，就不是全功能联结词集，则称S是最小全功能联结词集。 可以证明，是最小全功能联结词集。,例,分别以下列给出的各联结词集中的联结词写出 pq的一个命题公式
37、(1)， (2) ， (3) (4) (1) (pq) (2) ( pq) (3),1.7.1对偶式,例，将命题定律(AB)CA(BC)中的“”换成“”就得到了命题定律(AB)CA(BC)。 定义1.7.1 在仅含联结词，的命题公式A中，将联结词，F，T分别换成，T，F所得的公式称为公式A的对偶式，记为A*。 设A*是A的对偶式，将A*中的，F，T分别换成，T，F，就会得到A。即A 是A*的对偶式，(A*)*A。所以说A*和A互为对偶式。,1.7对偶式与蕰含式,1.7.1对偶式,【例1.27】求pq和pq的对偶式。 解： pq (pq) (pq)的对偶式是(pq)pq 故pq的对偶式是pq；
38、同样的方法可以证明pq的对偶式是pq。 根据例1.27，对偶式概念可以推广为：在仅含有联结词，的命题公式中，将联结词，F，T分别换成 ，T，F，就得到了它的对偶式。,1.7.1对偶式,【例1.29】证明重言式的对偶式是矛盾式，矛盾式的对偶式是重言式。 证明：设A是重言式，即A1，因为1的对偶式是0，由对偶原理知A*0。所以A*是矛盾式；设A是矛盾式，即A0，而0的对偶式是1，所以A*1。所以A*是重言式。,1.7.2蕴含式,定义1.7.2 设A和B是命题公式，若AB是重言式，则称A蕴含B，记为AB。 例： A A B 证明 A ( A B )是永真式。例： ( A B) A 证明 ( A B)
39、 A 是永真式。, A (A B ) A ( A B )A( AB) 1B 1,( AB )A ( AB ) A ( AB )A AB A 1B 1,1.7.2蕴含式,定义1.7.2 设A和B是命题公式，若AB是重言式，则称A蕴含B，记为AB。 证明AB的二种方法： 根据定义可以用真值表或等价演算证明AB。 对A指定真值T，若由此推出B的真值一定为T，则AB是重言式，即AB。 对B指定真值F，若由此推出A的真值一定为F，则AB是重言式，即AB。,1.7.2蕴含式,【例1.31】推证p(pq)q解：证法1：假定p(pq)为Tp为T且pq为Tp为F且pq为Tq为T。 所以 p(pq)q证法2：假定
40、q为F，则p可以为T或F。 当p为T时，p为F，所以p(pq)为F。 当p为F时，(pq)为F，所以p(pq)为F。 故 p(pq)q,1.7.2蕴含式,下面是一些重要的蕴含式，其中A，B，C，D是任意的命题公式。1.附加律 AAB， B AB2.化简律 AB A， AB B3.假言推理 A(AB )B4.拒取式 B(AB )A5.析取三段论 A(AB)B， B(AB )A6.假言三段论 (AB )(BC )(AC )7.等价三段论 (AB )(BC )(AC )8.构造性二难 (AC )(AB )(CD )BD (AA)(AB) (AB )B9.破坏性二难 (BD )(AB )(CD )(A
41、C ),1.7.2蕴含式,定理1.7.3 设A，B为任意两个命题公式，则AB的充分必要条件是AB且BA证明：设AB，下证AB且BA因为AB，所以ABT 由双条件等价式得 (AB)(BA)ABT 因而AB与BA都是重言式，故有AB且BA。 设AB且BA，下证AB。因为AB且BA，所以AB与BA都是重言式，重言 式的合取也是重言式，即(AB)(BA)T 再由双条件等价式得 (AB)(AB)(BA)T 即AB为重言式，故有AB。,1.7.2蕴含式,定理1.7.4 设A、B、C为合式公式。 AA (即蕴含是自反的) 若AB且A为重言式，则B必为重言式。 若AB且BC，则AC (即蕴含是传递的) 若AB且AC，则ABC 若AB且CB，则ACB 若AB，C是任意公式，则 ACBC证明：仅证明 。因为AB，CB, 所以ABT，CBT(AC)B(AC)B(AC)B(AB)(CB)(AB)(CB)TTT 由等价的传递性，(AC)BT，故ACB,
