1、精品课程运筹学,2.1 表上作业法,精品课程运筹学,表上作业法: 建立在运输费用矩阵的求解运输问题的方法。 表上作业法求解运输问题的思想和单纯形法完全类似：确定一个初始基本可行解 根据最优性判别准则来检查这个基本可行解是不是最优的？如果是，则计算结束；如果不是，则进行换基。 直至求出最优解为止。,精品课程运筹学,一、初始基本可行解的确定根据上面的讨论，要求得运输问题的初始基本可行解，必须保证找到 m + n 1 个不构成闭回路的基变量。一般的方法步骤如下：,精品课程运筹学,(1)在运输问题求解作业数据表中任选一个单元格 xij ( Ai 行 Bj 列交叉位置上的格),令xij = min ai
2、 , bj 即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在允许的范围内尽量饱和，即使一个约束方程得以满足),填入 xij 的相应位置；,精品课程运筹学,(2)从 ai 和 bj 中分别减去 xij 的值，修正为新的ai 和 bj ，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需求量； (3)若 ai = 0，则划去对应的行（已经把拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去对应的列（已经把需要的量全部运来），且每次只划去一行或一列（即每次要去掉且只去掉一个约束）；,精品课程运筹学,(4)当最终的运输量选定时，其所在行、列同时满足，此时要同时划去一行和一列。这样，运输平衡表中所有的行与列均被划去，则得到了一个
3、初始基本可行解。否则在剩下的运输平衡表中选下一个变量，返回(1)。,精品课程运筹学,上述计算过程可用流程图描述如下,精品课程运筹学,按照上述方法所产生的一组变量的 取值将满足下面条件：(1)所得的变量均为非负，且变量总 数恰好为 m + n 1 个；(2)所有的约束条件均得到满足；(3)所得的变量不构成闭回路。,精品课程运筹学,因此，根据定理及其推论，所得的解一定是运输问题的基本可行解。 在上面的方法中，xij 的选取方法并没有给予限制，若采取不同的规则来选取 xij ，则得到不同的方法，较常用的方法有西北角法和最小元素法。下面分别举例予以说明。,精品课程运筹学,1、初始基本可行解的确定（1）
4、西北角法：从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。然后按行（列）标下一格的数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得到一个基本可行解。,精品课程运筹学,（2）最小元素法：从运价最小的格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。然后按运价从小到大顺序填数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得到一个基本可行解。,精品课程运筹学,注:应用西北角法和最小元素法，每次填完数，都只划去一行或一列，只有最后一个元例外（同时划去一行和一列）。当填上一个数后行、列同时饱和时，也应任意划去一行（列），在
5、保留的列（行）中没被划去的格内标一个0。,精品课程运筹学,精品课程运筹学,O表示非基变元,精品课程运筹学,精品课程运筹学,最优性检验就是检查所得到的方案是不是最优方案。检查的方法与单纯形方法中的原理相同，即计算检验数。由于目标要求极小，因此，当所有的检验数都大于或等于零时该调运方案就是最优方案；否则就不是最优，需要进行调整。下面介绍两种求检验数的方法。,二、基本可行解的最优性检验,精品课程运筹学,1、闭回路法为了方便，我们以上表给出的初始基本可行解方案为例，考察初始方案的任意一个非基变量，比如 x24。根据初始方案，产地 A2 的产品是不运往销地 B4 的。如果现在改变初始方案，把 A2 的产
6、品运送1 个单位给 B4 ，那么为了保持产销平衡，就必须使 x14 或 x34 减少 1 个单位；而如果 x14 减少 1 个单位，第 1 行的运输量就必须增加 1 个单位，例如 x13 增加 1 个单位，那么为了保持产销平衡，就必须使 x23 减少 1 个单位。,精品课程运筹学,这个过程就是寻找一个以非基变量 x24 为起始顶点的闭回路 x24 ，x14 ，x13 ，x23 ，这个闭回路的其他顶点均为基变量(对应着填上数字的格)。容易计算出上述调整使总的运输费用发生的变化为 8 10 + 3 2 -1 ，即总的运费减少 1 个单位，这就说明原始方案不是最优方案，可以进行调整以得到更好的方案。
7、,精品课程运筹学,可以证明，如果对闭回路的方向不加区别（即只要起点及其他所有顶点完全相同，而不区别行进方向），那么以每一个非基量为起始顶点的闭回路就存在而且唯一。因此，对每一个非基变量可以找到而且只能找到唯一的一个闭回路。下表中用虚线画出以非基变量 x22 为起始顶点的闭回路。,精品课程运筹学,除了起点为非基变量外，其余为基变量,奇数加，偶数减，由偶数点的最小值限制最大增加量,精品课程运筹学,可以计算出以非基变量 x22 为起始顶点的闭回路调整使总的运输费用发生的变化为9 2 + 3 10 + 5 4 1 即总的运费增加 1 个单位，这就说明这个调整不能改善目标值。从上面的讨论可以看出，当某个
8、非基变量增加一个单位时，有若干个基变量的取值受其影响。,精品课程运筹学,这样，利用单位产品变化（运输的单位费用）可计算出它们对目标函数的综合影响，其作用与线性规划单纯形方法中的检验数完全相同。故也称这个综合影响为该非基变量对应的检验数。上面计算的两个非基变量的检验数为 24 = -1，22 = 1。闭回路方法原理就是通过寻找闭回路来找到非基变量的检验数。,精品课程运筹学,如果规定作为起始顶点的非基变量为第 1 个顶点，闭回路的其他顶点依次为第 2 个顶点、第 3 个顶点，那么就有ij = (闭回路上的奇数次顶点单位运费之和) - (闭回路上的偶数次顶点单位运费之和)其中 ij 为非基变量的下角
9、指标。,精品课程运筹学,按上述作法，可计算出表中的所有非基变量的检验数，把它们填入相应位置的方括号内，如下图所示。,精品课程运筹学,显然，当所有非基变量的检验数均大于或等于零时，现行的调运方案就是最优方案，因为此时对现行方案作任何调整都将导致总的运输费用增加。闭回路法的主要缺点是：当变量个数较多时，寻找闭回路以及计算两方面都会产生困难。,精品课程运筹学,当非基变量的检验数出现负值时，则表明当前的基本可行解不是最优解。在这种情况下，应该对基本可行解进行调整，即找到一个新的基本可行解使目标函数值下降，这一过程通常称为换基(或主元变换)过程。,三、求新的基本可行解,精品课程运筹学,（1）选负检验数中
10、最小者 rk，那么 xrk 为主元，作为进基变量（上图中 x24 ）;（2）以 xrk 为起点找一条闭回路，除 xrk 外其余顶点必须为基变量格（上页图中的回路）;,在运输问题的表上作业法中，换基的过程是如下进行：,精品课程运筹学,（3）为闭回路的每一个顶点标号， xrk 为 1，沿一个方向（顺时针或逆时针）依次给各顶点标号；（4）求 =minxijxij对应闭回路上的偶数标号格= xpq 那么确定 xpq为出基变量，为调整量；,精品课程运筹学,（5）对闭回路的各奇标号顶点调整为：xij + ，对各偶标号顶点 调整为：xij - ，特别 xpq - = 0， xpq变为非基变量。重复(2)、(
11、3)步，直到所有检验数均非负，得到最优解。,精品课程运筹学,ij 0，得到最优解 x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3, 其余 xij = 0 ;最优值：f* = 35+102+13+81+46+53 = 85,精品课程运筹学,四、产销不平衡问题的处理在实际中遇到的运输问题常常不是产销平衡的，而是下列的一般运输问题模型m n min f = cij xij （1）i=1 j=1n s.t. xij si i = 1,2,m （2） j=1mxij (=,)dj j = 1,2,n (3）i=1xij 0 (i=1,2,m;j=
12、1,2,n) （4）,精品课程运筹学,我们可以通过增加虚设产地或销地（加、减松弛变量）把问题转换成产销平衡问题，下面分别来讨论。 1.产量大于销量的情况m n 考虑 si dj 的运输问题，得到的数学模i=1 j=1 型为,精品课程运筹学,m nmin f = cij xij i=1 j=1 n s.t. xij si i = 1,2,mj=1m xij =dj j = 1,2,n i=1 xij0(i=1,2,m;j=1,2,n),精品课程运筹学,只要在模型中的产量限制约束（前m个不等式约束）中引入m个松弛变量 xi,n+1 i= 1, 2, , m 即可，变为：nxij+xin+1=si
13、i=1,2,mj=1然后，需设一个销地Bn+1,它的销量为：m nbn+1= si- dji=1 j=1,精品课程运筹学,这里，松弛变量 xi n+1 可以视为从产地 A i 运往销地 Bn+1 的运输量，由于实际并不运送，它们的运费为 ci n+1=0 i= 1,2,m。 于是，这个运输问题就转化成了一个产销平衡的问题。,假想销地作为产销平衡（就地消化），实质上是0费用的库存,精品课程运筹学,例:某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？,精品课程运筹学,解：增加一个虚
14、设的销地运输费用为0,精品课程运筹学,2.销量大于产量的情况 m n 考虑 sidj 的运输问题，得到的数学模型为i=1 j=1,m nMin f = cij xij i=1 j=1 n s.t. xij =si i = 1,2,mj=1m xij dj j = 1,2,n i=1 xij0(i=1,2,m;j=1,2,n),精品课程运筹学,只要在模型中的产量限制约束（后n个不等式约束）中引入n个松弛变量xm+1j j = 1,2,n即可，变为：mxij+xm+1j=dj j=1,2,mi=1然后，需设一个产地A m+1,它的销量为：n mam+1= dj- sij=1 i=1,同上的假想产地,精品课程运筹学,这里，松弛变量 x m+1,j 可以视为从产地 A m+1 运往销地 B j 的运输量，由于实际并不运送，它们的运费为c m+1,j = 0 j = 1,2,n。于是，这个运输问题就转化成了一个产销平衡的问题。,设为0或者是无穷大的M都可以，相当于假想的产量不能运出去,精品课程运筹学,例:某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？,精品课程运筹学,解：增加一个虚设的产地运输费用为0,
