1、精品课程运筹学,第二节 线性规划问题的可行域 及基本可行解,2.1 线性规划问题的可行域,2.2 线性规划问题的最优解,精品课程运筹学,2.1 线性规划问题的可行域,考虑标准形式的LP问题,精品课程运筹学,定义1.2.1,凸集,凸集,不是凸集,极点,精品课程运筹学,定理1.2.1,证,精品课程运筹学,定理1.2.2,任意多个凸集的交还是凸集.,证,定义1.2.2,精品课程运筹学,超平面 是凸集.,由超平面 产生了两个闭半空间,都是凸集.,精品课程运筹学,由于凸集的交还是凸集，因而满足一组线性等式,与一组线性不等式,定义1.2.3,称,为多面凸集.,精品课程运筹学,非空有界的多面凸集称为凸多面体
2、.,是多面凸集.,定义1.2.4,顶点,精品课程运筹学,精品课程运筹学,精品课程运筹学,2.2 线性规划问题的最优解 (1)两个变量线性规划问题的图解法,例1.2.1 解线性规划,精品课程运筹学,精品课程运筹学,例1.2.2 解线性规划,精品课程运筹学,从图解法的几何直观容易得到下面两个重要结论：,线性规划的可行区域D是若干个半平面的交集， 它形成了一个有界的或无界的凸 多边形.,对于给定的线性规划问题，如果它有最优 解，最优解总可以在D的某个顶点上达到.,精品课程运筹学,(2)基本可行解及线性规划基本定理,精品课程运筹学,精品课程运筹学,精品课程运筹学,基本解,基本可行解,可行基,精品课程运
3、筹学,定义1.2.5,精品课程运筹学,基本可行解,可行基,精品课程运筹学,不可行解,不是可行基,精品课程运筹学,定理1.2.3,精品课程运筹学,精品课程运筹学,定理1.2.4,精品课程运筹学,精品课程运筹学,精品课程运筹学,精品课程运筹学,一个LP问题，如果它的所有基本可行解都是非退化的，就说该问题是非退化的，否则说它是退化的.,非退化,退化,唯一的一个可行基,可由不止一个可行基得到,基本可行解,精品课程运筹学,定理1.2.5,一个标准形式的LP问题(1.2.1)，若有可行解，则至少有一个基本可行解.,精品课程运筹学,精品课程运筹学,精品课程运筹学,精品课程运筹学,定理1.2.6,若标准形式的
4、LP问题(1.2.1)有有限的最优值，则一定存在一个基本可行解是最优解.,（若标准形式的LP问题的目标函数有有限的最优值，则必可在某个基本可行解处达到. ）,精品课程运筹学,精品课程运筹学,定理1.2.6与定理1.2.5一起被称为线性规划的基本定理.它告诉我们，求解标准形式的LP问题，只需在基本可行解的集合中进行搜索（如果其目标函数有有限最优值的话），而基本可行解的个数是有限的.,精品课程运筹学,定理： 线性规划问题的基本可行解X 对应于可行域的顶点。 证明： 分两步： （1）若X不是基本可行解， 则它一定不是可行域的顶点 （2）若X不是可行域D的顶点， 则它一定不是基可行解。,精品课程运筹学,引理： 若K是有界凸集，则任何一点X可表示成为K的顶点的凸组合。 定理：若可行域有界， 线性规划问题的目标函数一定可在其可行域的顶点上达到最优。,
