自主招生考试数学试卷.doc

1、第 1 页（共 13 页）浙江省杭州市自主招生考试数学试卷一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题 4 分，共 32 分）1 （4 分） （2006 潍坊）计算：tan60+2sin45 2cos30的结果是（ ）A2 B C D12 （4 分） （2006 潍坊）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（ ）A B C1 D13 （4 分） （2004 宁波）已 a，b 为实数，ab=1 ，M= ，N= ，则 M，N的大小关系是（ ）AMN BM=N CMN D无法确定4 （4 分） （2005 淮安）一名考生步行前往考场，1

2、0 分钟走了总路程的 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为 1） ，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）A20 分钟 B22 分钟 C24 分钟 D26 分钟5 （4 分） （2012 大田县校级自主招生）二次函数 y=2x2+4x+1 的图象如何移动就得到y=2x2 的图象（ ）A向左移动 1 个单位，向上移动 3 个单位B向右移动 1 个单位，向上移动 3 个单位C向左移动 1 个单位，向下移动 3 个单位D向右移动 1 个单位，向下移动 3 个单位第 2 页（共 13 页）6 （4 分） （2011 浙江校级自主招生）下列名人

3、中： 比尔盖茨 高斯刘翔诺贝尔陈景润陈省身高尔基 爱因斯坦，其中是数学家的是（ ）A B C D7 （4 分） （2012 麻城市校级自主招生）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ）欲购买的商品原价（元） 优惠方式一件衣服 420 每付现金 200 元，返购物券 200 元，且付款时可以使用购物券一双鞋 280 每付现金 200 元，返购物券 200 元，但付款时不可以使用购物券一套化妆品 300 付款时可以使用购物券，但不返购物券A500 元 B

4、600 元 C700 元 D800 元8 （4 分） （2012 麻城市校级自主招生）向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深 H 的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（ ）A B C D二、填空题：（每题 6 分，共 30 分）9 （6 分） （2013 福建校级自主招生）若关于 x 的分式方程 在实数范围内无解，则实数 a= 10 （6 分） （2011 浙江校级自主招生）三角形的两边长为 4cm 和 7cm，则这个三角形面积的最大值为 cm 211 （6 分） （2014 南充自主招生）对正实数 a，b 作定义 ，若 4*x=44，则x 的值是 12 （6 分）

5、（2011 萧山区校级自主招生）已知方程 x2+（a3）x+3=0 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于 1 小于 2，a 的取值范围是 13 （6 分） （2011 萧山区校级自主招生）如果有 2007 名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1的规律报数，那么第 2007 名学生所报的数是 第 3 页（共 13 页）三、解答题：（本题有 4 个小题，共 38 分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤14 （8 分） （2011 萧山区校级自主招生）田忌赛马齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者

6、为赢已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马田忌在按图 1 的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图 2 的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛假如在不知道齐王出马顺序的情况下：（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；（2）田忌能赢得比赛的概率是 15 （10 分） （2011 浙江校级自主招生）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：1，2，3，2，7，8，19，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素如果一个集合满足：当实数 a 是集合的元素时，实数 8a 也必是这个集合的元素

7、，这样的集合我们称为好的集合（1）请你判断集合1，2，1，4，7 是不是好的集合；（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子16 （10 分） （2011 萧山区校级自主招生）如图，在 ABC 中，AC=BC，CD 是 AB 边上的高线，且有 2CD=3AB，又 E，F 为 CD 的三等分点，求证：ACB+AEB+ AFB=18017 （10 分） （2011 萧山区校级自主招生）已知点 M，N 的坐标分别为（0，1） ， （0，1） ，点 P 是抛物线 y= x2 上的一个动点（1）求证：以点 P 为圆心，PM 为半径的圆与直线 y=1 的相切；（2）设直线 PM 与抛物线 y= x2 的另

8、一个交点为点 Q，连接 NP，NQ ，求证：PNM=QNM第 4 页（共 13 页）四、附加题：（本题满分为 3 分，但即使记入总分也不能使本次考试超出 100 分）18 （2011城关区校级自主招生）有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法第 5 页（共 13 页）2011 年浙江省杭州市萧山中学自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题 4 分，共 32 分）1 （4 分） （2006 潍坊）计算：tan60+2sin45 2cos30的结果是（ ）A2 B

9、 C D1【解答】解：原式= + = 故选：C2 （4 分） （2006 潍坊）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（ ）A B C1 D1【解答】解：如图，设 BC与 CD 的交点为 E，连接 AE，在 RtABE 和 RtADE 中， ，RtABERtADE（HL） ，DAE=BAE，旋转角为 30，DAB=60，DAE= 60=30，DE=1 = ，阴影部分的面积=1 12（ 1 ）=1 故选：C第 6 页（共 13 页）3 （4 分） （2004 宁波）已 a，b 为实数，ab=1 ，M= ，N= ，则 M，N的大小关系

10、是（ ）AMN BM=N CMN D无法确定【解答】解：M= = ，ab=1， = =1N= = ，ab=1， = =1，M=N故选 B4 （4 分） （2005 淮安）一名考生步行前往考场，10 分钟走了总路程的 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为 1） ，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）A20 分钟 B22 分钟 C24 分钟 D26 分钟【解答】解：他改乘出租车赶往考场的速度是 2= ，所以到考场的时间是 10+ =16 分钟，10 分钟走了总路程的 ，步行的速度= 10= ，步行到达考场的时间是 1 =40，则他到达考

11、场所花的时间比一直步行提前了 4016=24分钟故选 C5 （4 分） （2012 大田县校级自主招生）二次函数 y=2x2+4x+1 的图象如何移动就得到y=2x2 的图象（ ）A向左移动 1 个单位，向上移动 3 个单位第 7 页（共 13 页）B向右移动 1 个单位，向上移动 3 个单位C向左移动 1 个单位，向下移动 3 个单位D向右移动 1 个单位，向下移动 3 个单位【解答】解：二次函数 y=2x2+4x+1 的顶点坐标为（1，3） ，y=2x 2 的顶点坐标为（0，0） ，向左移动 1 个单位，向下移动 3 个单位故选 C6 （4 分） （2011 浙江校级自主招生）下列名人中：

12、 比尔盖茨 高斯刘翔诺贝尔陈景润陈省身高尔基 爱因斯坦，其中是数学家的是（ ）A B C D【解答】解：高斯陈景润 陈省身是数学家故选 D7 （4 分） （2012 麻城市校级自主招生）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ）欲购买的商品原价（元） 优惠方式一件衣服 420 每付现金 200 元，返购物券 200 元，且付款时可以使用购物券一双鞋 280 每付现金 200 元，返购物券 200 元，但付款时不可以使用购物券一套化妆品 300 付款时可

13、以使用购物券，但不返购物券A500 元 B600 元 C700 元 D800 元【解答】解：买化妆品不返购物券，先购买衣服和鞋，利用所得购物券再买化妆品付现金 220 元就可买一件衣服，因为付现金 220 元可得购物券 200 元，所以 200+220=420元正好可购买一件衣服；付现金 280 元可买一双鞋，同时返购物券 200 元；再付现金 100 元加上买鞋时返的购物券 200 就可购买一套化妆品张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为：220+280+100=600 元故选 B8 （4 分） （2012 麻城市校级自主招生）向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深 H

14、 的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（ ）第 8 页（共 13 页）A B C D【解答】解：因为高度不是均匀上升的，应排除 D；图象中没有出现对称情况，应排除C；随着 V 的不断增加，H 的改变越来越快，图象应是越来越窄故选 B二、填空题：（每题 6 分，共 30 分）9 （6 分） （2013 福建校级自主招生）若关于 x 的分式方程 在实数范围内无解，则实数 a= 1 【解答】解：原方程化为整式方程得：1x 3=a，整理得 x=2a，因为无解，所以 x+3=0，即 x=3，所以 a=2+3=110 （6 分） （2011 浙江校级自主招生）三角形的两边长为 4cm 和 7cm，

15、则这个三角形面积的最大值为 14 cm 2【解答】解：设两边的夹角为 A，则三角形面积= 47sinA=14sinA，当 A=90 时，面积的最大值=1411 （6 分） （2014 南充自主招生）对正实数 a，b 作定义 ，若 4*x=44，则x 的值是 36 【解答】解： ，原方程变形为： 4+x=44，整理得，x+2 48=0，设 =a，则 a2+2a48=0，解得 a=6 或 8， 0，第 9 页（共 13 页）a=6，x=36故答案为：3612 （6 分） （2011 萧山区校级自主招生）已知方程 x2+（a3）x+3=0 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于 1 小于 2，a 的

16、取值范围是 1a2 +3 【解答】解：设 f（x）=x 2+（a 3）x+3，问题等价于 f（x）有一个零点在（1，2）内根据二次方程根的分布，这等价于 f（1）f （2）0 或 f（1）f（2）0，即1+（a3）+34+（a 3）2+3 0 或1+（a 3）+3 4+（a3）2+3 0，也即（a+1）（ 2a+1）0 或（a+1） （2a+1）0，解得1 a 或 a 1 或 ，当0 时，即 b24ac0，（ a3） 2120，a2 +3 或 a2 +3，则 a 的范围是：1a2 +3故答案为：1 a2 +313 （6 分） （2011 萧山区校级自主招生）如果有 2007 名学生排成一列，按

17、1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1的规律报数，那么第 2007 名学生所报的数是 3 【解答】解：观察发现，以（1、2、3、4、5、4、3、2）为一个循环组，依次进行循环，20078=2507，第 2007 名学生所报的数是第 251 组的第 7 个数，是 3故答案为：3三、解答题：（本题有 4 个小题，共 38 分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤14 （8 分） （2011 萧山区校级自主招生）田忌赛马齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上

18、马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马田忌在按图 1 的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图 2 的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛假如在不知道齐王出马顺序的情况下：第 10 页（共 13 页）（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；（2）田忌能赢得比赛的概率是 【解答】解：（1）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下 田忌的马 上中下 上中下 上中下 上中下 齐王的马 上下中 中上下 下上中 下中上 （2）根据对对阵形式的分析可以知道：田忌赢得比赛的概率为 15 （10 分） （2011 浙江校级自主招生）把几个数用大括号围起来

19、，中间用逗号断开，如：1，2，3，2，7，8，19，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素如果一个集合满足：当实数 a 是集合的元素时，实数 8a 也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合（1）请你判断集合1，2，1，4，7 是不是好的集合；（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子【解答】解：（1）集合1， 2不是好的集合，这是因为 81=7，而 7 不是1，2 中的数，所以1，2不是好的集合；1，4，7是好的集合，这是因为 81=7，7 是1，4，7 中的数，84=4， 4 也是1 ，4，7 中的数，87=1， 1 又是1 ，4，7 中的数所以1，4，7是好的集合；（2）答案不唯

20、一集合4、3，4，5 、2，6 、1，2，4，6，7、0 ，8等都是好的集合16 （10 分） （2011 萧山区校级自主招生）如图，在 ABC 中，AC=BC，CD 是 AB 边上的高线，且有 2CD=3AB，又 E，F 为 CD 的三等分点，求证：ACB+AEB+ AFB=180第 11 页（共 13 页）【解答】证明：2CD=3AB， ，E， F 为 CD 三等分点，D 为 AB 中点，AD=DF；AFD=45，由勾股定理得：AF 2=AD2+DF2=2DF22DF2=EF（EF+CE）=FEFC；AF2=FEFC， = ，AFE=CFA，AEFCFA，CAF=AEF；即ACD+AED=

21、 AFD=45；ACD+AED+AFD=90，ACB+AEB+AFB=18017 （10 分） （2011 萧山区校级自主招生）已知点 M，N 的坐标分别为（0，1） ， （0，1） ，点 P 是抛物线 y= x2 上的一个动点（1）求证：以点 P 为圆心，PM 为半径的圆与直线 y=1 的相切；（2）设直线 PM 与抛物线 y= x2 的另一个交点为点 Q，连接 NP，NQ ，求证：PNM=QNM【解答】解：（1）设点 P 的坐标为（x 0， x20） ，则第 12 页（共 13 页）PM= = x20+1；又因为点 P 到直线 y=1 的距离为， x20（1）= x20+1所以，以点 P

22、为圆心，PM 为半径的圆与直线 y=1 相切（2）如图，分别过点 P，Q 作直线 y=1 的垂线，垂足分别为 H，R由（1）知，PH=PM ，同理可得， QM=QR因为 PH，MN，QR 都垂直于直线 y=1，所以，PHMNQR，于是 = ，所以 ，因此，Rt PHNRtQRN于是HNP= RNQ，从而PNM=QNM四、附加题：（本题满分为 3 分，但即使记入总分也不能使本次考试超出 100 分）18 （2011城关区校级自主招生）有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法【解答】解：答案不唯一，如：数学是思维的体操，可以培养自己的逻辑思维能力、发散思维能力等第 13 页（共 13 页）参与本试卷答题和审题的老师有：CJX；zhehe；星期八；hnaylzhyk ；蓝月梦；hbxglhl；lanchong；HJJ ；HLing；天马行空；lanyan；lf2-9；张其铎；wdxwwzy；kuaile；zcx；MMCH；zhjh；心若在（排名不分先后）菁优网2016 年 4 月 26 日