1、1,第四节,全概率公式与贝叶斯公式,2,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互不相容,乘法公式P(AB)= P(A) P(B | A)P(A)0,3,A1,A2,A3,A4,A6,A7,A5,A8,4,由概率的可加性及乘法公式, 有,这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.,5,全概率公式,利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和,6,例1 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别
2、为30、20、 50,且三家工厂的次品率分别为 3、3、1，试求市场上该品牌产品的次品率.,设A1、A2 、A3分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；,B表示买到一件次品，,解,加权平均,显然A1、A2 、A3 构成一个完备,事件组，,由题意有,由全概率公式，,7,例2 袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？,解,分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，,由全概率公式,8,解,例3 袋中有a个白球b个黑球，分别以A,B记第一次、第二次摸得白球，(1)采用有放回摸球；(2)采用无放回摸球，试分别判断A,B的独立性.,(1) 有放回摸球,所以A,B相互独立.,全概率公式,
3、9,(2) 无放回摸球,所以A,B不相互独立.,10,在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式.,(贝叶斯公式),定理,11,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因Ak的概率.,12,贝叶斯 Thomas Bayes，英国数学家，1702年出生于伦敦，做过神甫. 1742年成为英国皇家学会会员. 1763年4月7日逝世. 贝叶斯在数学方面主要研究概率论. 他对统计推理的主要贡献是使用了“逆概率”这个概念, 在1763年提出了著名的贝叶斯公式.,13,所以这件商品最有可能是甲厂生
4、产的.,例4 已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、50, 次品率分别为3、3、1.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?,0.3, 0.2, 0.5,0.45, 0.3, 0.25,解,14,全概率公式可看成 “由原因推结果” ,而贝叶斯公式的作用在于 “由结果推原因” :现在一个 “结果” A 已经发生了，在众多可能的 “原因” 中,到底是哪一个导致了这一结果？,故贝叶斯公式也称为“逆概公式”.,15,在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为,比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯.,例如
5、，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.,丙,乙,甲,P(A1),P(A2),P(A3),但在知道案情细节后, 这个估计就有了变化.,P(A1 | B),知道B发生后,P(A2 | B),P(A3 | B),偏小,最大,16,在实际工作中检查的指标 B 一般有多个，综合这些后验概率，当然会对诊断有很大帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这一方法是有实用价值的.,17,下面举一个实际的医学例子，说明贝叶斯公式在解决实际问题中的作用.,解,例5,18,因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患 肝癌的比例相当小.当然，医生在公布某人患肝癌之
6、前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其他检验手段.,思考：诊断为无病,而确实没有患病的概率为多少？,19,贝叶斯公式在商业决策及其他企业管理学科中也有重要应用.有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”. 可见贝叶斯公式的影响.,20,解,例6 10个乒乓球有7个新球3个旧球.第一次比赛时随机取出2个，用过后放回. 现在第二次比赛 又取出 2个，问第二次取到几个新球的概率最大？,21,具体计算得,22,由全概率公式，,所以第二次取到一个新球的概率最大.,23,如果发现第二次取到的是两个新球，问第一次没有取到新球的概率为多大？,由贝叶斯公式，,24,解,例7 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则飞机 被击落的 概率为0.6；如果三人都击中，则飞机一定被 击落. (1)求飞机被击落的概率；(2)若飞机被击落，求是 三人同时击中的概率,由独立性,25,由全概率公式,26,(2) 由贝叶斯公式有,27,练习：,P28 习题一,
