1、27.3.6 反证法,百尺河 沈海伟,欢 迎 指 导,一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”,你能对小华的判断说出理由吗？,假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。,小华的理由：,我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。,例：甲命题“在ABC中，如果ABc， BCa， CAb，且C90，那么abc”是真命题（勾股定理）,乙命题“在ABC中，如果ABc， BCa，CAb，且C90，那么abc”是真命题吗？,假设abc，根据勾股定理的逆定理，一定有C90，这与已知条C90矛盾，因此，假设a
2、bc是错误的，于是可知abc这就说明：命题“在ABC中，如果ABc， BCa， CAb，且C90，那么abc”是真命题,先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确,这种证明方法叫做“反证法”,二、反证法的步骤 (1) 从命题的结论的否定面出发； (2) 根据正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等）则否定假设；(3)肯定原命题的结论是正确的。简记：否定结论推出矛盾肯定结论，其中推出矛盾是关键。,万事开头难，让我们走好第一步！,写出下列各结
3、论的反面： （1）a/b；（2）a0；（3）b是正数；（4）ab,a0,b是0或负数,a不垂直于b,感受反证法:,.求证： 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等,这与已知条件ABAC相矛盾，假设错误。,求证：B C,已知：在ABC中，ABAC。,证明：假设B = C。,所以AB=AC（等角对等边）,所以B C。,.在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？请证明你的猜想,谁来试一试！,3.已知：如图ABC中，D、E两 点分别在AB和AC上求证：CD、BE不能互相平分,（平行四边形对边平行）,证明：假设CD、BE互相平分,连结DE，故四边形BCE
4、D是平行四边形,BDCE,这与BD、CE交于点A矛盾,假设错误， CD、BE不能互相平分,例2： 求证： 在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60,已知： ABC 求证： ABC中至少有一个内角小于或等于60,证明： 假设ABC中没有一个内角小于或等于60，即A60， B60， C60,。,于是ABC606060180， 与三角形的内角和等于180矛盾 所以ABC中至少有一个内角小于或等于60,例3、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角,分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论.,已知：在ABC中，AB=AC. 求证：B、C为锐角.,证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那
5、么只有两种情况：,(1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；,1)由A=B=90 则A+B+C=A+90+90180， 这与三角形内角和定理矛盾， A=B=90这个假设不成立.,(2)由90B180， 90C180， 则 A+B+C180，这与三角形内角和定理矛盾 .两个底角都是钝角这个假设也不成立 故原命题正确 等腰三角形的底角必定是锐角.,说明：本例中“是锐角(小于90)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.,大家议一议！,通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法 ？,我来告诉你（经验之谈） （1）以否定性判断作为结论的命题； （2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （3）关于“唯一性”结论的命题； （4）一些不等量命题的证明； （5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等.(如平行线的传递性的证明）,注意:用反证法证题时,应注意的事项 :（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。,作业： 57 习题：7 作业本,知识的升华,祝你们学习进步！,
