1、第八章 定积分一、定积分的概念1. 定义：设函数 在区间 上有定义，如果和式极限()yfx,ab存在（其中 ）则称这个极限为lim()01nfiTA ,max)(21nxTl 函数 从 a 到 b 的积分，记作 。fxbafd2. 几何意义：当 时， 表示由 x 轴，直线 x=b,x=b 及曲线 所()f()x ()yfx围成的曲边梯形的面积。3. 运算法则(1) ()()(),bbbaaafxgdfxgxd(2) , kk为 常 数(3) ()()()bcbaacfxfxfx(4) bdd二、可积准则1、可积准则：函数 在闭区间 可积的充要条件是 0 或()fx,ab()0lim()TSs其
2、中 分别表示关于 T 的大和与小和， 为振幅。nkkTl10)(im,()STs k2.可积的必要条件：若函数 在区间 可积，则函数 在 有界。fx,ab()fx,ab3.可积的充分条件（1）若函数 在闭区间 连续，则函数 在 可积；()f,()f,（2）若函数 在闭区间 有界，且有有限个间断点，则函数 在闭区间xab()fx可积。,ab（3）若函数 在闭区间 单调（可能有无限多个间断点）同函数 在闭区()fx, ()fx间 可积。,（4）设函数 在 上的有界函数，则以下说法等价：()fx,ab 在 上可积。f, 0()0lim()TSs ,T使 ，使0,nkkx14. 积分上限函数及其性质（
3、1） 定义：设函数 在 上可积，则函数 称为函数()f,ab()()xaftd在 上的积分上限函数（其中 ） ，()fx, ,xb（2） 性质： 如果 在 上可积，则积分上限函数 在 上连()f,ab()()xaftd,b续。 如果在 上连续，则积分上限函数 可导，且, ()()xaft()()xadftfx5. 定积分的计算（1） 牛顿莱布尼兹公式（其中 是 的一个原函数）bafF ()Fxf（2） 定积分的换元法（注意换元而且要换限）（3） 定积分的分部积分法6. 定积分的中值定理及性质三、定积分的应用1、微元法：曲边梯形的面积 baAd物体运动的路程 Ss变力所做的功 baw2.平面区域
4、的面积直角坐标系 ()baAfxd参数方程 tt极坐标 若 C 的极坐标方程为 则面积 (),)rf21()Afd3.平面曲线的弧长：参数方程： ，则 x=(),(),tyt弧长 22()Sttd直角坐标系： yfxab弧长 21()ba极坐标 ,rf弧长 222()Sfdrd4.应用截面面积求体积为截面面积()baVdvPz()z5.旋转体体积将区间 上的连续曲线 绕 x 轴旋转一周，所得旋转体的体积,()yf2()bafxd7. 旋转体的侧面积 将区间 上非负连续曲线 绕 x 轴旋转得到旋转体的侧面积为,ab()yf22()1()aSfxfdx 21bayd 若曲线由参数方程： 给出，则侧
5、面积为,(),tyt222()t xyt 若曲线由极坐标方程： 给出，则侧面积为：()0)22sinSd四例题1.证明：若函数 在 上可积，且 ，则存在某个闭区间 ()fx0,110()fx， ，有 。,0,1abab()f证 假设任意闭区间 ，总存在 ，使 。,()0f给任意分法 T，将 分成 个小区间： ，n , 13210 nxxx.1,0x取 ，使 ， 。作积分和,1iik()0kf1n0)(1nkkxf有 与已知条件矛盾，则存在某个闭区间 ，0)()(lim1010)( dxfxfnkkT ,0,1ab，有 ，,xabf2.证明：若函数 与 在 上同是单调增加或单调减少，则()xg0
6、,1111000()()fxdfxd证法：应用定积分定义和不等式 ,其中 与 或nknkbaa11 jiajib与 jiajib1,ij证 已知函数 与 在 上可积，从而 在 上也可积，将 等()fxg0,()fxg0,10,1分成 个小区间 ，取 ， ，由函数 与 在 上有n,knkn()fxg相同的单调性，由已知的不等式，有 ）或111()()nnkkkfgf由定积分定义，当 时，111()()()nnnkkkfgfg,000fxdxfxd3.如果函数 或 在 上可积，函数 在 上是否可积?()f2(),ab()fx,ab解 不一定，例如函数1()fxx当 是 有 理 数当 是 无 理 数
7、而 或 在 上都可积，但是，函数 在 上却不可积。()1f2()f0,1()fx0,1反之，若函数 在 上可积，则 在 上可积。而 在 上也xab()x,ab2()x,ab可积。 （见练习题 8.2 第 6 题）4.证明：若函数 在 连续，非负，且 ，使 则()f,0,0(),f。()0bafxd证已知函数 在 连续，且 根据连续函数的保号性，()f00(),fx，有 设0,xab0(),2ffx，且 又已知 有 。于,ab,xab()0fx是 0()()()2ba ffxdfx5.证明：若函数 在 单调减少，则()f,1101(0)1()nkffxdfn证 已知 在 单调减少，则 在 可积。
8、将 n 等分，分点是：fx0,f, 。有 120,n,101()()nkfdf11()()kknnfxdfdx 1()knkfx1()(nkffn1()(nkff20() )ffff 06.求下列定积分（1） （2） （3）lnexdln30xed220axdx解 (1) 2111ll 5()(lln)ee exx(2) l0n3d0ln3xe0l3lxxd00ln3lxxeln3(2l)(3)设 cos,sinxatxt442242 400002 2sinsico(1cos)()8816a aatdtdttdta 8. 求下列平面曲线所围成的区域的面积。（1） y=sinx,y=cosx,
9、,4x（2） ( 0)33cos,inxatyta（3） ( 0)i2r解（1） 2)cos(in)si(co4 4 xdxA（2） ，这是星形线所围成的区域。它关于 x 轴与 y 轴都对称。因此它0t的面积是第一象限那部分区域面积的 4 倍。 23cosinxat224220 034i(i)1sinco8Attdtatdt 2a（4） 这是四叶玫瑰线，这四个叶关于 x 轴与 y 轴都对称，四叶玫瑰线围成区域的面积是第一象限一叶面积的 4 倍。22 2001 1sin(1cos)adada8 积分第二中值定理的三种形式：（1）若函数 在 上单调减少，非负，函数 在 上可积，则存在()fx,b(
10、)gx,b，使,ab()baagdfgxd（2）若函数 在 上单调增加，非负，函数 在 上可积，则存在()fx, ()x,a，使, (),bbafx（3） ）若函数 在 上单调, 函数 在 上可积，则存在 ，()fx()g,b,ab使 () ()b baafxgdgdfxd证（1）给 任意分法 T，分点是 。 ,b012naxkkx()()()(1(11Ankfxgdfgdfgxdankf 已知函数 在 上有界，即 ，有()fx,ab0,Mxab又因 在 上可积，即.gM11,()()kkkfxf()fx,ab有0,:Tl()()111nnxkfxgdMfxkkA从而 ()lim()()()0
11、bkAfxgdfxgxdaTk 作辅助函数 则函数 在 上连续，设 与 分别,aGtG,abm是函数 在 上的最小值与最大值，注意到 ,有)(x,b0)(x111()()nnkkkkfgdxf= =0201(nffx112 1211()()()()()nnnGxfxGxfGxfGf 已知 有kkf,0nx)()()(11 aMfdxgxfamfknk 即 A根据连续函数介值性，存在 ，使 即,ab(),fG()()bafxgdfgxd（2）同法可证（设 ）,Gt（3）设函数 在 上单调增加，函数 在 上()fx,ab()()Ffbx,ab单调减少，非负。由（1）的结果，有 fxgd或()afb
12、gd()()()ba aaxfffx 即 bafxx9.证明，若函数 在 上有连续导数 ，且 则()fx,bf()0,f222()()()bbaafxdfxd证。由牛顿莱布尼兹公式， 有 0,()xafdtxb应用柯西施瓦兹不等式2222()()()()xxxxaa afftdftdftf于是，222 2()()()()()bbbbaaaaf ffxd练 习 题1,证明，若 与 在 上可积，则 在 上也可积。()fxg,ab()fxg,ab2.证明，若函数 在 上单调减少，对任意 ，则0101100()()afxdfx3.证明：若函数 与 在 上连续非负，且 ， 则有不等式()fxg,abp,
13、q称为赫尔德积分不等式qapbaba dxgdfdgxf 11)()( 4.证明：若函数 与 在 上连续非负，且 ，则有不等式()xg,bppbapapba xxff 111 )()()( 称为闵可夫斯基积分不等式 5.证明下列极限（1） 20limsin0nxd（2）21lixne6.应用定积分定义计算下列极限（1） 231limnk（2） li()(1)nn7.证明： ，其中 为连续函数。200sisi2xfdfxd()fx8.求下列极限（1） 20limcosxtd（2） 2200lixtxe9.求曲线 与直线 围成的平面图形的面积yy10.求心脏线： 围成的区域的面积。(1cos)ra(0a11. 求旋轮线： 的弧长。in,1cos),tyt212. 求阿基米德螺线： 弧长。2r(13.求柱面 与 围成的体积22xya2xa14.求曲线 绕 x 轴和 y 轴旋转所成曲面的(sin),(1cos),0,tt面积。15.有内半径为 10m 的半球容器，其中盛满水，欲将水抽尽，求所作的功。29.8/gms
