第九章北航 材料力学 全部课件 习题答案.pdf

1、 1 第 九 章 强度理论 9-3 已知脆性材料的许用拉应力 与泊松比 ，试根据第一与第二强度理论确定纯剪切时的许用切应力 。 解： 纯剪切时的主应力为 0 , 231 根据第一强度理论，要求 1 即要求 由此得切应力的最大许可值即许用切应力为 根据第二强度理论，要求 )( 321 即要求 由此得相应许用切应力为 1 9-4 试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力 r3 ，弹性常数 E 和 均为已知。 (a) 棱柱体轴向受压； (b) 棱柱体在刚性方模中轴向受压。 题 9-4 图 (a)解 ：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图 a） ，三个主应力依次为 321 0， 由此可得第三 强度

2、理论的相当应力为 2 31r3 (a) (b)解 ：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图 b），可先取受力微体及坐标如图 9-4 所示，然后计算其应力。 图 9-4 由图 9-4 可得 y 根据刚性方模的约束条件，有 0)(1 zyxx E即 )( zyx 注意到 xz 故有 zx 1三个主应力依次为 321 1 ，由此可得其相当应力为 1 2131r3(b) 按照第三强度理论， (a)与 (b)两种情况相当应力的比值为 1211)r3 ( )r3 ( r ba这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。 9-5 图示外伸梁，承受载荷 F = 130 kN 作用，许用应力 =170 MPa。

3、试校核梁的强度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。 3 题 9-5 图 解 ： 1.内力分析 由题图可知， B 截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为 mN1080.7m600.0N10130 kN130 432S FlMFF ， 2几何 性质计算 34324m a x,)(343)(343545433m1090.2m)0137.0140.0(0085.0211023.2 2m1023.2)m20137.0140.0(0137.0122.0 m1005.5m140.01007.7 m1007.7m12)0137.02280.0()0085.0122.0(12280.0

4、122.0zazbzzzSSSWI式中 ： 足标 b 系指翼缘与腹板的交界点 ； 足标 a 系指上翼缘顶边中点。 3应力计算及强度校核 三个可能的危险点（ a ， b 和 c ）示如图 9-5。 图 9-5 a 点处的正应力和切应力分别为 M P a9614 P a10496.1m0137.01007.7 N10115.110130M P a5154 P a10545.1m1005.5 N1080.7 72543)(S8244.tISF.WMzazz 该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为 M P a4.157M P a96.1445.1544 22223r b 点处

5、的正应力和切应力分别为 4 M P a248 P a1082.4m0085.01007.7 N1023.210130 M P a3139 P a10393.1m1007.7 )N0137.0140.0(1080.772543)(S8254.ISF.I yMzbzzb 该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其 相当应力为 M P a4.169M P a2.4843.139 223r c 点处于纯剪切应力状态，其切应力为 MP a7.62 P a1027.6m0085.01007.7 N1090.210130 725 43m a x,S ISF zz 其相当应力为 1 2 5 . 4 M P aM

6、P a7.62223r 结论：该梁满足强度要求。 4强度校核 依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为 M P a4.125 M P a7.6222 M P a5.169 M P a)05.15(4.154 M P a3.157 M P a)44.1(9.155)r 3 ()r 3 (31)r 3 (cba 它们均小于许用应力，故知梁满足强度要求。 9-8 图示油管，内径 D =11 mm，壁厚 = 0.5 mm，内压 p = 7.5 MPa，许用应力 =100 MPa。试校核油管的强度。 题 9-8 图 解 ：油管工作时，管壁内任一点的三个主应力依次为 002r32t1 pD x ，按照第

7、三强度理论，有 M P a5.82 P a1025.8m 0005.02 N 011.0105.72 72631r3 pD 计算结果表明，该油管满足强度要求。 9-9 图示圆柱形容器，受外压 p = 15 MPa 作用。 材料的许用应力 = 160 MPa，试按第四强度理论确定其壁厚 。 5 题 9-9 图 解 ：根据第四强度理论，圆柱形薄壁容器的强度 条件为 43r4 pD 由此 得 mm 25.3m 1025.3m 101604 080.01015343 366 pD所得 20/D ，属于薄壁容器，上述计算有效。 9-10 图 a 所示车轮，由轮毂与套于其上的薄钢圈组成。钢圈的内径 d 比

8、轮毂的外径D 略小，安装时先将钢圈适当加热，以使二者套合，冷却后钢圈即紧套在轮毂上。钢圈的厚度为 ，弹性模量为 E，轮毂的刚度很大，分析时可忽略其变形。 试求钢圈与轮毂间的相互作用力，以及钢圈横截面上 的初应力。 题 9-10 图 解：在内压 p 作用下（图 b），钢圈的周向正应变为 EpDE 2tt (a) 安装前后，钢圈的直径由 d 变为 D，其周向正应变为 d dDd dD t(b) 比较式 (a)与 (b)，得 Dd dDEp )(2 由此得 钢圈横截面上的正应力为 d dDEpD )(2t 9-11 图示铸铁构件，中段为一内径 D =200 mm、壁厚 = 10 mm 的圆筒，圆筒内

9、的压力 p =1 MPa，两端的轴向压力 F = 300 kN，材料的泊松比 = 0.25，许用拉应力 t =30 MPa。6 试校核圆筒部分的强度。 题 9-11 图 解 ： 1.应力计算 圆筒的 20/D ，属于薄壁圆筒。故由内压引起的轴向应力和周向应力分别为 M P a 10Pa 1010Pa 010.02 200.01012M P a 5Pa 105Pa 010.04 200.01014 66tp66p pDpDx 由轴向压力引起的轴向应力为 M P a7.47 P a10774m 010.02000 N 10300 723F D F x （压） 筒壁内任一点的主应力依次为 M P a

10、7.42 M P a)7.475(0 M P a10 321 ， 2强度校核 由于该铸铁构件的最大压应力超过最大拉应力，且超过较多，故宜采用最大拉应变理论对其进行强度校核，即要求 )( 321r2 将上述各主应力值代入上式，得 M P a7.20 M P a)7.42(25.010r2 可见，该铸铁构件满足强度要求。 9-12 图示圆球形薄壁容器，其内径为 D，壁厚为 ，承受压强为 p 之内压。试证明壁内任一 点处的主应力为 0),4/( 321 pD 。 题 9-12 图 证明 ：用截面法取该容器的一半（连同内压）示如图 9-12a。 7 图 9-12 由图 a 所示半球的平衡方程 040

11、2t pDD F x ，得 pD 4t球壁内任一点的应力状态如图 b 所示，由此可得三个主应力依次为 043t21 pD ，9-13 图示组合圆环，内、外环分别用铜与钢制成，已知铜环与钢环的壁厚分别为 与 ，交接面的直径为 D，铜 与钢的弹性模量分别为 E1 与 E2，线胀系数分别为 与 ，且 。试问当温度升高 T 时，环的周向正应力为何值。 题 9-13 图 解 ：内、外环的受力情况示如图 9-13a 和 b。 8 图 9-13 设铜环的轴力（绝对值）为 N1F ，钢环的轴力为 N2F ，由图 c 与 d 所示各半个薄圆环的平衡条件可得 2N2N1 pDFF (a) 变形协调条件为 21 D

12、D (b) 物理关系为 22N22211N111AEDFTDDAEDFTDD(c) 将式 (c)代入式 (b)，得 22t11t22N211N121 )( EEAEFAEFT (d) 由式 (a)可知， 12122t1t22t11t AAAA ， 即 2t121t (e) 将方程 (e)与方程 (d)联立求解，得铜环和钢环内的周向正应力依次为 TEE EE )( 2211 221211t (f) 9 TEE EE )( 2211 121212t (g) 式 (f)亦可写成 TEE EE )( 2211 221121t (f) 9-14 图示薄壁圆筒，同时承受内压 p 与扭力偶矩 M 作用 。

13、由实验测得筒壁沿轴向及与轴线成 45方位的正应变分别为 450 和， 筒的内径 D、壁厚 、材料的弹性模量 E 与泊松比 均为已知。 试求内压 p 与扭力偶矩 M 之值。 题 9-14 图 解 ：圆筒壁内任意一点的应力状态如图 9-14 所示。 图 9-14 图中所示各应力分 量分别为 2t 2 ,2 ,4 DMpDpDx 由此可得 pDpDx 83 ,83 , , 4545t900 根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为 E pDEx 4 )2(11 t0 (a) 8 )3(1 )12(11 2454545 pDD MEE (b) 由式 (a)可得圆筒所承受的内压为 0)21( 4 DEp (

14、c) 将式 (c)代入式 (b)，可得扭力偶矩为 10 )1(3)21 2 ()21)(14( 0452 EDM 9-15 如图 (a)所示，在直径为 D 40mm 的铝质圆 柱体外，光滑套合一壁厚 =2mm的钢管，圆柱体承受轴向载荷 F 40kN 作用，铝与钢的弹性模量分别为 E1=70GPa 与E2=210GPa，泊松比分别为 与 。试计算钢管的周向正应力。 题 9-15 图 解 ： 圆柱体与外管横截面上的正应力分别为 21 4DFx 02x 设 圆柱体与外管间的相互作用力的压强为 p， 在 其 作用下，外管纵截面上的周向正应力为 2t2 pD(a) 在外压 p 作用下（图 b，尺寸已放大），圆柱体内任一点处的径向与周向正应力均为 p t1r1 根据广义胡克定律，圆柱体外表面的周向正应变为 pD FpEE x 1211r1111t11t1 411 外管内表面的周向正应变则为 22t2t2 2EpDE 变形协调条件为 2t1t 于是有 21211 241 EpDpD FpE 由此得 2112 21 )1(2 8 EDED FEp 11 将上式代入式（ a），于是得钢管的周向 正应力为 MP a28)1(2 4 211 21t2 EDED FE