1、动态探究例题详解第 1 页 共 14 页动态探究题这种题型包括有动点问题，动线问题和动圆问题三类。主要是考查学生对几何元素的运动变换的性质，它主要揭示“运动”与“静止” ， “一般”与“特殊”的内在联系，以及在一定条件下可以相互转化的唯物辨证关系。解决此类问题的关键是将运动的几何元素当作静止来加以解答，即“化动为静”的思路；并能在从相对静止的瞬间清晰地发现图形变换前后各种量与量之间的关系，通过归纳得出规律和结论，并加以论证。中考题中的动态型试题是考查学生创新意识的重要题型之一。（一）动点型动态探究题例 1. 如图，在直角坐标系中，O 是原点，A、B、C 三点的坐标分别为 A（18，0） ，B（
2、18，6） ，C（8，6） ，四边形 OABC 是梯形，点 P、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点 P 沿 OA 向终点 A 运动，速度为每秒 1 个单位，点 Q 沿 OC、CB 向终点 B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（1）求出直线 OC 的解析式及经过 O、A 、C 三点的抛物线的解析式。（2）试在（1）中的抛物线上找一点 D，使得以 O、 A、D 为顶点的三角形与AOC全等，请直接写出点 D 的坐标。（3）设从出发起运动了 t 秒，如果点 Q 的速度为每秒 2 个单位，试写出点 Q 的坐标，并写出此时 t 的取值范围。（4）设从出发起，运动了 t 秒钟
3、，当 P、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形 OABC周长的一半，这时，直线 PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由。分析：（1）较简单，利用待定系数法可解决。（2）要想AOD 与OAC 全等，且点 D 也在抛物线上，则易知点 D 与点 C 应恰好关于抛物线对称轴对称，从而写出点 D 的坐标。（3）应注意点 Q 在线段 OC 上和线段 CB 上两种情形，再根据坐标与线段特征关系，可确定点 Q 的坐标。（4）要想准确探求是否存在直线 PQ 将梯形 OABC 周长和面积等分，可先从等分周长入手，找出与之相关的时间 t（秒）的关系式，再分别计算相应两
4、部分的面积，可获得正确结论。解：（1）O、C 两点的坐标分别为 O（0，0） ，C （8，6）设 OC 的解析式为 ykx 6834k，直 线 的 解 析 式 为Oyx34抛物线过 O（0，0） ， A（18，0） ，C（8，6）三点设抛物线解析式为 ya（x0） （x18）再将 C（8，6）代入 6a（80）（818）3427动态探究例题详解第 2 页 共 14 页（2）要使AODAOC，且点 D 在抛物线上, 则点 D 与点 C 关于抛物线对称轴对称由（1）易知抛物线的对称轴为 x9. 由点 C（8，6）知点 D 坐标为（10，6）（ ） 当 在 上 运 动 时 ， 设 ，3QOCQm()
5、34依题意有: mt22234()t5tt()()50， C Q B Q O P A 当 Q 在 CB 上时，点 Q 所走过的路程为 2tOC10CQ2t10点 Q 的横坐标为 2t1082t 2Q（2t2，6） （50，开口向上当 时 ， 随 增 大 而 减 小0Sx， xx2时 ， 随 增 大 而 增 大要 使 Sxaa623132()a即点 E 为 AB 中点从而点 F、G、H 也应分别是 BC、CD、DA 的中点即当 E、F、G、H 运动至矩形 ABCD 各边中点，有SABCD12矩 形（3）当 nk（k1）时，上述规律和猜想是成立的理由：设 AECGx，则 BFDHkxEaFAHka
6、x， ()Sk kaxa()()()202配 方 得 xk22当 时 ， 随 增 大 而 减 小xaS当 时 ， 随 增 大 而 增 大x2且 当 时 ， 矩 形xaSkakSABCD212即 、 、 、 仍 为 各 边 中 点 时 矩 形EFGH（二）线动型动态探究题例 4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AD4cm，A60，BDAD ，一动点 P 从动态探究例题详解第 6 页 共 14 页A 出发以每秒 1cm 的速度沿 AB C 的路线匀速运动，过点 P 作直线 PM，使 PMAD于点 E（1）当点 P 运动 2S 时，设直线 PM 与 AD 相交于点 E，求APE 的面积。（2）当
7、点 P 运动 2S 时，另一动点 Q 也从 A 出发沿 ABC 的路线运动，在 BC 上以每秒 2cm 的速度匀速运动，过 Q 作直线 QN，使 QN/PM，设点 Q 运动的时间为 t 秒（0t10） ，直线 PM 与 QN 截平行四边形 ABCD 所得图形的面积为 Scm2，求 S 关于 t 的函数关系式。D C M E A P B 分析：（1）较简单（2）难点在于不能准确把握运动过程中 P、Q 两点的可能位置，由于 P、Q 两点运动速度不同，因此P、Q 不一定都在 AB 上，当 0x6 时，点 P、Q 都在 AB 上，相应 PM 与 QN 的位置较易探寻。当 6x8 时，点 P 在 BC
8、上，而点 Q 在 AB 上，围成四边形面积可表示当 8x10 时，点 P、Q 都在 BC 上运动，相应的垂直围成的四边形形状又发生变化，因此本题关键在于分类讨论。解：（1）当点 P 运动 2S 时，AP 2cm ，由A60AE3， SAPE32（2）点 P 速度为 1cm/s，点 Q 在 AB 上的速度为 1cm/s又 AD4，A60AB8cm 点 P 在 AB 上运动 8 秒钟，而点 Q 晚 2 秒钟开始运动点 Q 在 AB 上运动 8 秒钟当 0t6 时，点 P 与点 Q 都在 AB 上运动设 PM 与 AD 交于点 E，QN 与 AD 交于点 F，如图D C M E N F A Q P
9、B 则 ， ，AQtFtt23，tAEt21， Pt32此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为：SFQt当 6t8 时，点 P 在 BC 运动，点 Q 仍在 AB 上运动，如图动态探究例题详解第 7 页 共 14 页D M C N E F P A Q B 设 PM 与 DC 交于点 E，QN 与 AD 交于点 F则 ， ，AQtFtt123，Dt42BPtCtPt6010， ， ()， 而 B3SSABDQFCE平 行 四 边 形 163232103tt()5804tt当 8t10，点 P 和点 Q 都在 BC 上运动，如图D N M C F E P Q A B 则 ，CQtFt2020
10、3()， CPtEt10103， ()此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为：SEP()()()10323201tttt5322()ttt例 5. 如图在平面直角坐标系内，点 A 和 C 的坐标分别为（ 4，8） （0，5） ，过点 A 作动态探究例题详解第 8 页 共 14 页ABx 轴于点 B，过 OB 上的动点 D 作直线 ykxb 平行于 AC，与 AB 相交于点 E，连结 CD，过点 E 作 EF/CD 交 AC 于点 F（1）求经过 A、C 两点的直线解析式。（2）当点 D 在 OB 上移动时，能否使四边形 CDEF 成为矩形？若能，求出此时 k、b的值；若不能，请说明理由。
11、（3）如果将直线 AC 作上、下平移，交 y 轴于点 C，交 AB 于点 A，连结 OC，过点 E 作 EF/DC，交 AC于点 F，那么能否使四边形 CDEF成为正方形？若能请求出此时正方形的面积，若不能，说明理由。 y A F C E O D B x 分析：本题难点在于在运动状态下探讨图形是矩形和正方形的可能性问题，可先假设结论成立，利用条件和相关知识探求需要的条件，从而作出恰当判别。解：（1）设直线 AC 的解析式为 ymx n，由条件得： 485mn解 得 mn345直 线 的 解 析 式 为 ：ACyx345（2）假设能，则CDE90设 ODx DEACk/， Bx434， ()CO
12、B90CDODEBCODDBEDBExx， 即 345()解 得 ： ，x12经检验：动态探究例题详解第 9 页 共 14 页xx1544是 方 程 的 根 ， 且点 D 在 OB 上存 在 符 合 条 件 的 ，()150（3）直线 AC在直线 DE 的下方，这时 A落在 EB 上 y A F C A F C E O D B x EFAEBEED这时不存在正方形 CDEF直线 AC在直线 DE 的上方，这时必有 CDDECDE90则 RtCOD Rt DBEODBE设 ODx，则 BEx， BD4x由（2）知：BDE433，解 得 x17经检验：2是 方 程 的 根 且 符 合 题 意存在符
13、合条件的点 D，此时BE176，正方形 CDEF的面积：SB2222176409()（三）圆动型动态探究题动态探究例题详解第 10 页 共 14 页例 6. 已 知 ， 如 图 ， 直 线 的 解 析 式 为 ， 并 且 与 轴 ， 轴 分 别 相 交 于 点lyxxy34A、B（1）求 A、B 两点的坐标。（2）一个圆心在坐标原点，半径为 1 的圆以 0.4 个单位/秒的速度向 x 轴正方向运动，问在什么时刻与直线 l 相切？（3）在题（2）中若在圆开始运动的同时，一动点 P 从 B 点出发，沿 BA 方向以 0.5个单位/秒的速度运动，问整个运动过程中，点 P 在动圆的圆面（圆上和圆的内部
14、）上一共运动了多少时间？ y l O A x B 分析：（1）较简单（2）可先设想圆运动至与直线 l 相切的位置后，再借助图形利用相似获得结果，应考虑切点在点 A的右侧的情况。（3）点 P 在动圆的圆面上运行的路程应是以点 A 左侧与动圆的切点至 A 点右侧与动圆的动点之间的线段长，可得结论。解：（ ） 在 中134yx令 x0，得 y3； 令 y0，得 x4A、B 两点的坐标分别为 A（4，0） ，B （0，3）（2）如图若动圆的圆心在 C 处与直线 l 相切，切点为 D连 CD，则 CDAD； CDAAOB 90； 又CADBAORtADtBO13553A，动态探究例题详解第 11 页 共
15、 14 页OC4537； tSv730456.()秒根据对称性，圆 C 还可能在直线 l 的右侧，与直线 l 相切此 时 1tv18.()秒综 上 所 述 ， 动 圆 与 直 线 相 切 时 ， 动 圆 运 动 的 时 间 为 秒 和 秒 。l 3568（3）如图设在 t 秒时刻，动圆的圆心在 F 处，动点在 P 点处此时 OF0.4t，BP0.5tF 点的坐标为（0.4t ，0） ，连 PFOBPt45.；又 OAB45； BOA； FPBOA/，点 P 的横坐标为 0.4 t ； 又点 P 在直线 AB 上； P 点的纵坐标为 0.3t3可见，当 PF1 时，点 P 在动圆上当 0PF1
16、时，点 P 在动圆内当 PF1 时，由对称性知，有两种情况当 P 点在 x 轴下方时，PF（0.3t3）1解 得 t2当点 P 在 x 轴上方时，PF0.3t31解 得 t40当 时 ， ， 此 时 点 在 动 圆 的 圆 面 上23PFP所 经 过 的 时 间 为 203答：动 点 在 动 圆 的 圆 面 上 共 经 过 了 秒 。203其他动点例 1 （2006 年福建晋州）如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=4cm， A=60，BDAD.动态探究例题详解第 12 页 共 14 页一动点 P 从 A 出发，以每秒 1cm 的速度沿 ABC 的路线匀速运动，过点 P 作直线PM， 使 P
17、MAD.1当点 P 运动 2 秒时，设直线 PM 与 AD 相交于点 E，求APE 的面积；2当点 P 运动 2 秒时，另一动点 Q 也从 A 出发沿 AB 的路线运动，且在 AB 上以每秒 1cm 的速度匀速运动， （当 P、Q 中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过 Q 作直线 QN，使 QNPM，设点 Q 运动的时间为 t 秒（0t8） ，直线 PM 与 QN 截平行四边形 ABCD 所得图形的面积为S（cm2）. （1）求 S 关于 t 的函数关系式；（2）求 S 的最大值.1.分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几
18、种特殊位置.由题意知，点 P 为动点，所走的路线为：ABC 速度为 1cm/s。而 t=2s，故可求出AP 的值，进而求出APE 的面积.略解：由 AP=2 ， A=60得 AE=1，EP= . 因此 .2.分析：两点同时运动，点 P 在前，点 Q 在后，速度相等，因此两点距出发点 A 的距离相差总是 2cm.P 在 AB 边上运动后，又到 BC 边上运动.因此 PM、QN 截平行四边形ABCD 所得图形不同.故分两种情况：（1） 当 P、Q 都在 AB 上运动时，PM 、QN 截平行四边形 ABCD 所得的图形永远为直角梯形.此时 0t6. 当 P 在 BC 上运动，而 Q 在 AB 边上运
19、动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时 6t8.略解：当 P、Q 同时在 AB 边上运动时，0t6.AQ=t,AP=t+2, AF= t,QF= t,AG= (t+2), 由三角函数 PG= (t+2),FG=AG-AF= (t+2)- t=1.S = (QF+PG)FG= t+ (t+2)1= t+ . 当 6t8 时， S=S 平行四边形 ABCD-SAQF-SGCP.易求 S 平行四边形 ABCD=16 ,SAQF= AFQF= t2.而 SCGP= PCPG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式 可得动态探究例题详解第 13 页
20、 共 14 页PG= (10-t).SCGP= PCPG= (10-t) (10-t)= (10-t)2. S=16 - t2- (10-t)2= (6t8 分析:求面积的最大值时, 应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出 0t6和 6t8 时的最大值. 0t6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积 S 随 t 的增大而增大.当 6t8 时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.略解：由于 所以 t=6 时，S 最大 ；由于 S (6t8,所以 t=8 时，S 最大=6 . 综上所
21、述, 当 t=8 时，S 最大=6 .例 2 （2006 年锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为菱形，点 C 的坐标为(4,0)，AOC=60 ，垂直于 x 轴的直线 l 从 y轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 l 与菱形 OABC 的两边分别交于点 M、N( 点 M 在点 N 的上方 ).1.求 A、B 两点的坐标；2.设OMN 的面积为 S，直线 l 运动时间为 t 秒(0t6)，试求 S 与 t 的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t 为何值时，S 的面积最大？最大面积是多少？ 1.分析：由菱形的性质、三角函数易求 A、B 两点的坐标.解
22、：四边形 OABC 为菱形，点 C 的坐标为(4,0) ，OA=AB=BC=CO=4. 如图 ，过点 A 作 ADOC 于 D.AOC=60，OD=2 ，AD= . A(2, )，B（6, ）.2.分析：直线 l 在运动过程中，随时间 t 的变化，MON 的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一.直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向运动与菱形 OABC 的两边相交有三种情况： 0t2时，直线 l 与 OA、OC 两边相交( 如图). 2t4 时，直线 l 与 AB、OC 两边相交(如图). 4t6 时，直线 l
23、 与 AB、BC 两边相交( 如图).略解：MN OC，ON=t. MN=ONtan60= .S= ONMN= t2.动态探究例题详解第 14 页 共 14 页S= ONMN= t2 = t.方法一：设直线 l 与 x 轴交于点 H.MN2 - (t-4)=6 - t,S= MNOH= (6 - t)t=- t2+3 t.方法二：设直线 l 与 x 轴交于点 H.S=SOMH-SONH，S= t2 - t (t-4)=- t2+3 t.方法三：设直线 l 与 x 轴交于点 H.S= ,=42 =8 , = 2 (t-2)= t-2 ,= 4 (t-4)=2 t-8 , = (6-t)(6-t)
24、=18 -6 t+ t2, S=8 -( t-2 )-(2 t-8 )-(18 -6 t+ t2)=- t2+3 t.3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值.略解：由 2 知，当 0t2时， = 22=2 ；当 2t4 时， =4 ； 当 4t6 时，配方得 S=- (t-3)2+ ，当 t=3 时，函数 S- t2+3 t 的最大值是.但 t=3 不在 4t6 内，在 4t6 内，函数 S- t2+3 t 的最大值不是 .而当 t3 时，函数 S- t2+3 t 随 t 的增大而减小，当 4t6 时，S4 . 综上所述，当 t=4 秒时， =4 .
25、通过点动型、线动型、圆动型等众多动态探究题的探求思考可以发现这类探究问题的综合性强，所涉及的知识面宽广，因而在求解时务必全面分析，从图形运动过程中可能出现的多种不同情境分别进行探讨，挖掘所蕴含的相同点与不同点，依据相关的数学知识谨慎求解，才有可能获得正确结论。同时，在计算过程中，一定要设法化动为静，依据某一时刻的静止状态画出相应图形，并依此图进行求解即可。另一方面，应注重于分类讨论，切忌片面而失解，对于结论探索性问题，不妨假设结论成立，从而探索所需的条件，再结合已知条件作出断决。总之，这类动态探究题以其特有的魅力多以压轴题形式频繁出现在各地中考试卷中，同学们应认真总结经验，掌握其解题规律，以便正确解答。
