1、高考数学复习详细资料导数概念与运算知识清单1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0处有增量 x，那么函数 y 相应地有增量 y=f（x 0+ ）f（x 0） ，比值 xy叫做函数 y=f（x）在 x 0到 x + 之间的平均变化率，即 x=f)(0。如果当0时， 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 0处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x 0处的导数，记作 f（ x 0）或 y| 0x。即 f（x 0）= 0limxy= 0lixxff)(0。说明：（1）函数 f（x）在点 x 0处可导，是指 0x时， xy有极限。如果 xy不存在极限，就说函数在点 x0处不可导
2、，或说无导数。（2） x是自变量 x 在 x 0处的改变量， 0x时，而 y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量 y=f（x 0+ ）f（x 0） ；（2）求平均变化率 =f)(；（3）取极限，得导数 f(x 0)= xylim。2导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x 0处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x 0，f（x 0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x 0，f（x 0） ）处的切线的斜率是 f（x ） 。相应地，切线方程为yy 0=f/（x 0） （xx
3、 0） 。3几种常见函数的导数: ;C 1;n(sin)cosx; (cos)inx;();xe()lxa; 1l; 1lglaae.4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)vu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)(uvv若 C 为常数 ,则 0)( CuC.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(u法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：v= 2v（v 0） 。形如
4、y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y| X= y| U u| X2010 高考数学复习详细资料导数应用知识清单单调区间：一般地，设函数 )(xfy在某个区间可导，如果 f)(x0，则 )(xf为增函数；如果 ，则 为减函数；如果在某区间内恒有 f0)(x，则 )(xf为常数；2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：一般地，在区间a，b上连续的函数 f )(x在a ，b上必有最大值与最小值。求函数 )(x在(a，b)内的极值；求函数 在区
5、间端点的值 (a)、(b)；将函数 )(x的各极值与 (a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分（1）概念：设函数 f(x)在区间a ，b上连续，用分点 ax0x1xi 1xixnb 把区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点 i（i1，2，n）作和式 Innif1(i)x（其中x 为小区间长度） ，把 n即x0 时，和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作：badf)(，即 badxf)(nif1lm(i)x。这里，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a ，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做
6、积分变量，f(x)dx 叫做被积式。基本的积分公式：dx0C ；m1mxC（m Q， m1） ；x1dx ln C；de xC；ax lnC ；dcossinxC ；xicosxC（表中 C 均为常数） 。（2）定积分的性质 babadxfkdf)()(（k 为常数） ；badxggx)(； bacacfxff)()(（其中 acb )。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线 xa ，xb（ ab） ，x 轴及一条曲线 yf （x）(f(x)0)围 成的曲边梯的面积 dfS)(。如果图形由曲线 y1f1(x)，y2f2(x) （不妨设 f1(x)f2(x)0） ，及直 线xa，xb（ ab）围成
7、，那么所求图形的面积 SS 曲边梯形 AMNBS 曲边梯形 DMNC babadxfxf)()(21。课前预习1求下列函数导数（1）)(32xy（2）)1(xy（3） 2cosinxxy（4）y= sin2（5）y95322若曲线 4yx的一条切线 l与直线 480xy垂直，则 l的方程为（ ）A 30 B x C 3 D 430xy3过点（1，0）作抛物线 21yx的切线，则其中一条切线为（ ）（A） 20xy （ B） 30xy （C） 10xy （D） 10xy4半径为 r 的圆的面积 S(r) r2,周长 C(r)=2r，若将 r 看作(0，)上的变量，则( r2)2 r ， 式可以用
8、语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球，若将 R 看1 1作(0， )上的变量，请你写出类似于的式子： ；1式可以用语言叙述为： 。25曲线yx和 2在它们交点处的两条切线与 x轴所围成的三角形面积是 。6对于 R 上可导的任意函数 f（x） ，若满足（x1） f（ ） 0，则必有（ ）Af（ 0）f （2） 2f（ 1） B. f（0）f（2）2f（1）Cf（0）f（2）2f（1） D. f（0）f（2）2f（1）7函数 )(x的定义域为开区间 ),(ba，导函数 )(x在 ,ba内的图象如图所示，则函数 )(xf在开区间,(ba内有极小值点（ ）A1 个 B2
9、 个 C3 个 D 4 个8已知函数1axfxe。 （）设 0a，讨论 yfx的单调性；（）若对任意 0,1x恒有1fx，求 a的取值范围。9 32()x在区间 1,上的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)410设函数 f(x)= 32(),1.axa其 中（）求 f(x)的单调区间；（）讨论 f(x)的极值。11设函数 3()2fxx分别在 12x、 处取得极小值、极大值. xoy平面上点 AB、 的坐标分别为1()xf（ ,）、 2（ ,） ，该平面上动点 P满足 4AB,点 Q是点 P关于直线 2(4)x的对称点.求(I)求点 AB、 的坐标；(II)求动点 Q的轨迹方程.
10、12请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？13计算下列定积分的值（1） 312)4(dx（2）25；（3） dx20)sin(；（4） 2co；14 （1）一物体按规律 xbt3 作直线运动，式中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由 x0 运动到 xa 时，阻力所作的功。（2）抛物线 y=ax2bx 在第一象限内与直线 xy=4 相切此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为S求使 S 达到最大值的 a、b 值，并求 Sm
11、ax典型例题一 导数的概念与运算EG：如果质点 A 按规律 s=2t3 运动，则在 t=3 s 时的瞬时速度为（ ）A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s变式：定义在 D 上的函数 )(xf，如果满足： xD， 常数 0M，都有 |()|fxM成立，则称 是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数的上界.【文】 （1）若已知质点的运动方程为attS1)(，要使在 0,)t上的每一时刻的瞬时速度是以M=1 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围.【理】 （2）若已知质点的运动方程为 tt2)(，要使在 ,)t上的每一时刻的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数，求实
12、数 a 的取值范围.EG：已知 xffxf )(2(lim,1)(0则的值是（ ）A. 4B. 2 C. 41D. 2变式 1： 为则设 hfffh3li,30（ ）A 2 C3 D1变式 2： 000,limxffxfx设 在 可 导 则 等 于（ ）A 0fB 0fC 03fD 04f根据所给的函数图像比较 012(),htt曲 线 在 附 近 得 变 化 情 况 。变式：函数 )(xf的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. )2(320/ f y B. )(3/ff C. )2(3)(30/ fff D. 2/ O 1 2 3 4 x EG：求所给函数的导数： 33291log
13、; ; sin(1)25nxyxyex（ 文 科 ）理 科 ）。变式：设 f(x)、g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x0 时, ()()fxgfx0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)0 的解集是A( 3,0)(3,+) B(3,0)(0, 3)C(, 3)(3,+) D(, 3)(0, 3)EG：已知函数 lnyx.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点 1x处的切线的方程.变式 1：已知函数 e.（1）求这个函数在点 处的切线的方程；（2）过原点作曲线 yex 的切线，求切线的方程.变式 2：函数 yax2 1 的图象与直线 yx 相切，则 a( )A.
14、 8 B. 4 C. 2 D. 1EG：判断下列函数的单调性，并求出单调区间： 3232(1); ()3; sin,0;441.fxfxf变式 1：函数 xef)(的一个单调递增区间是A.0, B. 8, C. , D. 2,0变式 2：已知函数5312axy(1)若函数的单调递减区间是（-3，1） ，则 的是 . (2)若函数在 ),上是单调增函数，则 的取值范围是 .变式 3： 设 0t，点 P（ t，0）是函数 cbxgaxf 23)()(与 的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线.（）用 表示 a，b，c ；（）若函数 )(xgfy在（1，3）上单调递减，求 t的取值
15、范围.EG：求函数3()4fx的极值.求函数31()4fx在 0,3上的最大值与最小值变式 1： 函数 )(f的定义域为开区间 ),(ba，导函数 )(xf在 ,ba内的图象如图所示，则函数 )(xf在开区间 ),(ba内有极小值点（ ）A1 个 B2 个 C3 个D4 个变式 2：已知函数 32()fxabcx在点 0处取得极大值5，其导函数 y的图象经过点 (1,)， 2,， 如图所示.求：（） 0x的值；（） ,的值.变式 3：若函数 4)(3bxaf，当 2时，函数 )(xf极值 34，（1）求函数的解析式；（2）若函数 kxf)(有 3 个解，求实数 k的取值范围变式 4：已知函数2
16、1fxxc，对 x1，2 ，不等式 f（x）c2 恒成立，求 c 的取值范围。EG：利用函数的单调性，证明： ln,0xe变式 1：证明：x1l， 1变式 2：（理科）设函数 f(x)=(1+x)2ln(1+x)2. 若关于 x 的方程 f(x)=x2+x+a 在0，2上恰好有两个相异的实根，求实数 a 的取值范围 .EG： 函数 ,3)(Rxxf若 02mfxf恒成立,求实数 m的取值范围 变式 1:设函数 ,)(3f若21sinff恒成立，求实数 的取值范围.变式 2:如图,曲线段 OMB 是函数 2()06)fx的图象, BAx轴于点 A,曲线段 OMB 上一点 M2()t处的切线 PQ
17、 交 x 轴于点 P,交线段 AB 于点 Q，(1)若 t 已知,求切线 PQ 的方程 (2)求 AP的面积的最大值变式 3:用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折 900 角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？abxy)(xfO 变式 4:某厂生产某种产品 x件的总成本375210)(xxc（万元） ，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产 100 件这样的产品单价为 50 万元，产量定为多少时总利润最大？EG：计算下列定积分：（理科定积分、微积分） 2321100(); ()x; (
18、3sindx; 4sindx5sid变式 1：计算：；（1）dx20sinco；（2） dx204变式 2： 求将抛物线 y和直线 1围成的图形绕 x轴旋转一周得到的几何体的体积.变式 3：在曲线 02x上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x轴所围的面积为 12，试求：（1）切点 A 的坐标；（2）在切点 A 的切线方程.实战训练1. 设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数 y=f (x)的图象可能为( ) 2. 已知曲线 S:y=3xx3 及点 (2,)P,则过点 P 可向 S 引切线的条数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)33. C 设 S 上
19、的切点 0(,)xy求导数得斜率，过点 P 可求得:201)(0x.4. 函数 cosiny在下面哪个区间内是增函数（ ）.3(),2A(),2B 35(),)2C()2,3D5. y=2x33x2+a 的极大值为 6，那么 a 等于( ) (A)6 (B)0 (C)5 (D)16. 函数 f(x)x33x+1 在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是 ( ) (A)1，1 (B)3，-17 (C)1，17 (D)9，197.设 l1 为曲线 y1=sinx 在点 (0，0)处的切线，l2 为曲线 y2=cosx 在点( 2,0)处的切线，则 l1 与 l2 的夹角为_. 8. 设函数 f (
20、x)=x3+ax2+bx1，若当 x=1 时，有极值为 1，则函数 g(x)=x3+ax2+bx 的单调递减区间为 . 9 （07 湖北）已知函数 ()yfx的图象在点 (1)Mf， 处的切线方程是12yx，则 (1)f 10 （07 湖南）函数 312f在区间 ， 上的最小值是 11 （07 浙江）曲线 34yx在点 (3)， 处的切线方程是 9. 已知函数32()(,)fxabR（）若函数 )xf图像上任意一点处的切线的斜率小于 1，求证： 3a；（）若 0,1，函数 ()yfx图像上任意一点处的切线的斜率为 k，试讨论 1k 的充要条件。12(07 安徽) 设函数 f（x）=-cos2x
21、-4tsin 2xcos +4t2+t2-3t+4,xR,其中 t1，将 f(x)的最小值记为 g(t).()求 g(t)的表达式；()诗论 g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值 .实战训练 B1 （07 福建）已知对任意实数 x，有 ()()(ffxgx， ，且 0时， ()0()fxg， ，则 0x时（ ）A ()()0fgx， B ()0()f，C ， D xg，2 （07 海南）曲线12exy在点 2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）29e 2 2 2e3 （07 海南）曲线 xye在点 ()e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）294e 2 22e4 （
22、07 江苏）已知二次函数 ()fxabc的导数为 ()fx， 0f，对于任意实数 x都有()0fx，则(1)f的最小值为（ ）A 3 B52C 2 D325 （07 江西）5若0x，则下列命题中正确的是（ ）A3sinxB3sinC24sinxD24sinx6 （07 江西）若02x，则下列命题正确的是（ ）A2sinxBsinxC3sinxD3sinx7 （07 辽宁）已知 ()fx与 g是定义在 R上的连续函数，如果 ()f与 g仅当 0x时的函数值为0，且 ()fxg ，那么下列情形不可能出现的是（ ）A0 是 的极大值，也是 ()x的极大值B0 是 ()fx的极小值，也是 g的极小值C
23、0 是 的极大值，但不是 ()x的极值D0 是 ()fx的极小值，但不是 的极值8 （07 全国一）曲线31yx在点413，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A19B2C D29 （07 全国二）已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A1 B2 C3 D410 （07 浙江）设 ()fx是函数 ()fx的导函数，将 ()yfx和 ()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）11 (07 北京) ()fx是312fx的导函数，则 (1)f的值是 12 （07 广东）函数 ln(0)的单调递增区间是 13 （07 江苏）已知函数 3)128fx在区间 3,上的最大值与最小值分别为 ,Mm，则 14 （07 福建）设函数 (0)ttxtR， （）求 ()fx的最小值 ()ht；（）若 2htm对 02， 恒成立，求实数 m的取值范围15(07 广东) 已知 a是实数，函数 2()3fxaxa如果函数 ()yfx在区间 1,上有零点，求a的取值范围
