1、12009 年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） （2009 陕西）设不等式 x2x0 的解集为 M，函数 f（x）=ln（1 |x|）的定义域为N，则 MN 为（ ）A0，1） B （0，1） C0，1 D （1，02 （5 分） （2009 陕西）已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 z 等于（ ）A2i Bi C i D2i3 （5 分） （2009 陕西）函数 的反函数为（ ）A BC D4 （5 分） （2009 陕西）过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2+y24y=0 所截得的弦长为（ ）A B2
2、C D25 （5 分） （2009 陕西）若 3sin+cos=0，则 的值为（ ）A B C D26 （5 分） （2009 陕西）若（1 2x） 2009=a0+a1x+a2009x2009（xR ） ，则的值为（ ）A2 B0 C 1 D227 （5 分） （2009 陕西） ”m n0” 是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件8 （5 分） （2009 陕西）在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=1，点 P 在 AM 上且满足学，则 等于（ ）A B C D9 （5 分） （2009
3、 陕西）从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A300 B216 C180 D16210 （5 分） （2009 陕西）若正方体的棱长为 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）A B C D11 （5 分） （2009 陕西）若 x，y 满足约束条件 ，目标函数 z=ax+2y 仅在点（1，0）处取得最小值，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1， 2） B （ 4，2） C （ 4，0 D （2，4）12 （5 分） （2009 陕西）定义在 R 上的偶函数 f（x）满足：对任意的 x1，x 2（，0（x 1x
4、2） ，有（ x2x1） （f（x 2） f（x 1） ）0则当 nN*时，有（ ）Af（ n）f（n1）f（n+1） Bf（n1）f（n）f（n+1）Cf（n+1）f（ n）f （n 1） Df （n+1）f（n 1）f （ n）二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）13 （4 分） （2009 陕西）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a6=S3=12，则 = 14 （4 分） （2009 陕西）某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26，15，13，同时参加数学和物理小组的有
5、6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 人15 （4 分） （2009 陕西）如图球 O 的半径为 2，圆 O1 是一小圆， ，A、B 是圆O1 上两点，若 A，B 两点间的球面距离为 ，则AO 1B= 316 （4 分） （2009 陕西）设曲线 y=xn+1（n N*）在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则 x1x2xn 的值为 三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）17 （12 分） （2009 陕西）已知函数 f（x）=Asin（x+） ，xR （其中）的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为
6、（）求 f（x）的解析式；（）当 ，求 f（x）的值域18 （12 分） （2009 陕西）如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB=1，AC=AA 1= ，ABC=60（1）证明：ABA 1C；（2）求二面角 AA1CB 的余弦值419 （12 分） （2009 陕西）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示，椐统计，随机变量 的概率分布如下： 0 1 2 3p 0.1 0.3 2a a（）求 a 的值和 的数学期望；（）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率20 （12 分） （2009 陕西）已知函数 f（x）=ln（
7、ax+1）+ ，x0，其中 a0（）若 f（x）在 x=1 处取得极值，求 a 的值；（）求 f（x）的单调区间；（）若 f（x）的最小值为 1，求 a 的取值范围21 （12 分） （2009 陕西）已知双曲线 C 的方程为 =1（a0，b0） ，离心率，顶点到渐近线的距离为 （）求双曲线 C 的方程；（）如图，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求AOB 面积的取值范围522 （14 分） （2009 陕西）已知数列x n满足 x1= ，x n+1= ，nN *；（1）猜想数列x 2n的单调性，并证明你的结论；（）证明： 200
8、9 年陕西省高考数学试卷（理科）6参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）【考点】函数的定义域及其求法；元素与集合关系的判断菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先求出不等式的解集和函数的定义域，然后再求两个集合的交集【解答】解：不等式 x2x0 转化为 x（x1）0解得其解集是x|0x 1，而函数 f（x）=ln（1 |x|）有意义则需：1|x|0解得：1x 1所以其定义域为1x1，所以 MN=0， 1） ，故选 A【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法及集合的运算2 （5 分）【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除
9、运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】设出复数 z，代入 ，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，bR）的形式【解答】解：由题意得 z=ai （aR 且 a0） = = ，则 a+2=0， a=2有 z=2i，故选 D【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题3 （5 分）【考点】反函数菁优网版权所有【专题】应用题【分析】从条件中函数式数 反解出 x，再将 x，y 互换即得对数函数的函数，再依据互为反函数间的定义域与值域的关系求得反函数的定义域即可【解答】解： ，逐一验证，知 B 正确故选 B7【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已
10、知解析式 y=f（x）反求出 x=（y） ；（2）交换 x=（y）中 x、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域） 4 （5 分）【考点】直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆 x2+y24y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为 60，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解【解答】解：将圆 x2+y24y=0 的方程可以转化为：x2+（y 2） 2=4，即圆的圆心为 A（0，2） ，半径为 R=2，
11、A 到直线 ON 的距离，即弦心距为 1，ON= ，弦长 2 ，故选 D【点评】要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE） 、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解5 （5 分）【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】首先考虑由 3sin+cos=0 求 的值，可以联想到解 sin，cos 的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案【解答】解析：由 3sin+cos=0cos0 且 tan=所以故选 A【点评】此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系
12、列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛6 （5 分）【考点】二项式定理的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】通过给 x 赋值 ，0 得到两等式，两式相减即得【解答】解：令 x= 得 0=令 x=0 得 1=a08两式相减得 =1故选项为 C【点评】本题考查赋值法是求展开式的系数和问题的重要方法7 （5 分）【考点】椭圆的应用菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】将方程 mx2+ny2=1 转化为 ，然后根据椭圆的定义判断【解答】解：将方程 mx2+ny2=1 转化为 ，根据椭圆的定义，要使焦点在 y 轴上必须满足 ，且 ，即 mn0反之，当 mn0，可得出 0，此时方程对应的轨迹是椭
13、圆综上证之， ”m n0” 是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件故选 C【点评】本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导8 （5 分）【考点】向量的共线定理；平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由 M 是 BC 的中点，知 AM 是 BC 边上的中线，又由点 P 在 AM 上且满足可得： P 是三角形 ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解【解答】解：M 是 BC 的中点，知 AM 是 BC 边上的中线，又由点 P 在 AM 上且满足P 是三角形 ABC 的重心= =又 AM=1 = =故选 A【点评】判断 P 点是否是三角形的重心有如下
14、几种办法：定义：三条中线的交点性质： 或 取得最小值坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数9 （5 分）9【考点】排列、组合的实际应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题是一个分类计数原理，从 1，2，3，4，5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数；取 0 此时 2 和 4 只能取一个，0 不可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为 C32C21A44A33，根据加法原理得到结果【解答】解：由题意知，本题是一个分类计数原理，第一类：从 1，2，3，4，5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 C32A44=72第二类：取 0，此时 2 和 4
15、只能取一个，0 不能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为 C32C21A44A33=108组成没有重复数字的四位数的个数为 108+72=180故选 C【点评】本题考查分类计数问题，是一个排列组合的实际应用，本题是一个数字问题，在解题时，0 是一个比较特殊的数字，它是偶数还不能排在首位，注意分类的应用10 （5 分）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由题意可知，凸多面体为八面体，八面体体积是两个底面边长为 1，高为 的四棱锥，求出棱锥的体积，即可求出八面体的体积【解答】解：所求八面体体积是两个底面边长为 1，高为 的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积
16、V1= 1 = ，故八面体体积 V=2V1= 故选 B【点评】本题是基础题，考查棱锥的体积，正方体的内接多面体，体积的求法常用转化思想，变为易求的几何体的体积，考查计算能力11 （5 分）【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】常规题型；压轴题【分析】先根据约束条件画出可行域，设 z=ax+2y，再利用 z 的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线 z=ax+2y 过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到 a 的取值范围即可【解答】解：可行域为ABC，如图，当 a=0 时，显然成立当 a0 时，直线 ax+2yz=0 的斜率 k= k AC=1，a2当 a0 时，
17、k= k AB=2a410综合得4a2，故选 B【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定12 （5 分）【考点】奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】压轴题；探究型【分析】由“x 1，x 2（ ，0 （x 1x2） ，有（x 2x1） （f（x 2） f（x 1） ）0”可等有“ x2x 1 时，f（x 2）f （x 1） ”，符合增函数的定义，所以 f（x）在（，0为增函数，再由 f（x）为偶函数，则知 f（x）在（0，+ ）为减函数，由 n+1nn 10，可得结论【解答】解：x 1，x 2（，0（x 1
18、x2） ，有（x 2x1） （f（ x2）f（x 1） ）0x2 x1 时，f （x 2）f（x 1）f（ x）在（，0为增函数f（ x）为偶函数f（ x）在（0，+ ）为减函数而 n+1nn 10，f（ n+1）f（n）f（n1）f（ n+1）f（ n）f （n 1）故选 C【点评】本题主要考查单调性定义的变形与应用，还考查了奇偶性在对称区间上的单调性，结论是：偶函数在对称区间上的单调相反，奇函数在对称区间上的单调性相同二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）13 （4 分）【考点】等差数列的前 n 项和；极限及其运算菁优网版权所有【专题】计算题11【分析】先用数列的通项公
19、式表示出 a6 和 S3，进而求得 a1 和 d，根据等差数列求和公式求得 Sn，代入到 答案可得【解答】解：依题意可知 ，解得 a1=2，d=2Sn=n（n+1） = = =1故答案为 1【点评】本题主要考查了等差数列的前 n 项的和属基础题14 （4 分）【考点】Venn 图表达集合的关系及运算菁优网版权所有【专题】集合【分析】画出表示参加数学、物理、化学课外探究小组集合的 Venn 图，结合图形进行分析求解即可【解答】解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组，设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为 A，B，C，则 card
20、（A BC）=0，card（A B）=6，card（B C）=4，由公式 card（ABC）=card（A ）+card（B）+card（C） card（AB）card （A C）card（BC）知 36=26+15+1364card（AC）故 card（A C） =8 即同时参加数学和化学小组的有 8 人故答案为：812【点评】本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、 Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题15 （4 分）【考点】球面距离及相关计算；球面的三角公式菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由题意
21、知应先求出 AB 的长度，在直角三角形 AOB 中由余弦定理可得 AB=2，由此知三角形 AO1B 的三边长，由此可以求出AO 1B 的值【解答】解：由题设知 ，OA=OB=2在圆 O1 中有 ，又 A，B 两点间的球面距离为 ，由余弦定理，得：AB=2在三角形 AO1B 中由勾股定理可得：AO 1B=故答案为 【点评】本题的考点是球面距离及相关计算，其考查背景是球内一小圆上两点的球面距，对空间想象能力要求较高，此类题是一个基本题型，属于基础题16 （4 分）【考点】归纳推理；简单复合函数的导数；直线的点斜式方程菁优网版权所有【专题】压轴题；规律型【分析】本题考查的主要知识点是导数的应用，由曲
22、线 y=xn+1（n N*） ，求导后，不难得到曲线 y=xn+1（nN *）在点（ 1，1）处的切线方程，及与 x 轴的交点的横坐标为 xn，分析其特点，易得 x1x2xn 的值【解答】解：对 y=xn+1（nN *）求导得 y=（n+1）x n，令 x=1 得在点（1，1）处的切线的斜率 k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为 y1=k（x n1）=（n+1） （x n1） ，不妨设 y=0，x n=则 x1x2xn= = 故答案为：【点评】当题目中遇到求曲线 C 在点 A（m ，n）点的切线方程时，其处理步骤为：判断 A 点是否在 C 上求出 C 对应函数的导函数求出过 A 点的切线的
23、斜率 代入点斜式方程，求出直线的方程三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）17 （12 分）【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域 菁优网版权所有13【专题】计算题【分析】 （1）根据最低点 M 可求得 A；由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离可求得 ；进而把点 M 代入 f（x）即可求得 ，把 A， ， 代入 f（ x）即可得到函数的解析式（2）根据 x 的范围进而可确定当 的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值确定函数的值域【解答】解：（1）由最低点为 得 A=2由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ，即 T=，由点
24、在图象上的故 又 ，（2） ，当 = ，即 时， f（x）取得最大值 2；当即 时，f （x）取得最小值1，故 f（x）的值域为1，2【点评】本题主要考查本题主要考查了由 y=Asin（x+）的部分图象求解析式的问题及正弦函数的单调性问题属基础题18 （12 分）【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】 （1）欲证 ABA1C，而 A1C平面 ACC1A1，可先证 AB平面 ACC1A1，根据三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱，可知 ABAA1，由正弦定理得 ABAC，满足线面垂直的判定定理所需条件；（2）作 ADA1C 交 A
25、1C 于 D 点，连接 BD，由三垂线定理知 BDA1C，则ADB 为二面角 AA1CB 的平面角，在 RtBAD 中，求出二面角 AA1CB 的余弦值即可【解答】解：（1）证明：三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱，ABAA 1，在 ABC 中，AB=1，AC= ， ABC=60，由正弦定理得ACB=30，BAC=90，即 ABAC，14AB平面 ACC1A1，又 A1C平面 ACC1A1，ABA1C（2）如图，作 ADA1C 交 A1C 于 D 点，连接 BD，由三垂线定理知 BDA1C，ADB 为二面角 AA1CB 的平面角在 RtAA1C 中，AD= = = ，在 RtBAD 中，t
26、an ADB= = ，cosADB= ，即二面角 AA1CB 的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题19 （12 分）【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】 （1）对于随机变量的所有可能的取值，其相应的概率之和都是 1，即P1+P2+=1借此，我们可以求出 a 值，再利用数学期望的定义求解（2）由题意得，该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的事件分解成两个互斥事件之和，分别求出这两个事件的概率后相加即可【解答】解：（1）由概率分布的性质有 0.1+0.3
27、+2a+a=1，解得 a=0.2，的概率分布为 0 1 2 3P 0.1 0.3 0.4 0.2E=0*0.1+1*0.3+2*0.4+3*0.2=1.7（2）设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”事件 A1 表示 “两个月内有一个月被投诉 2 次，另外一个月被投诉 0 次”；事件 A2 表示“两个月内每月均被投诉 1 次”则由事件的独立性得P（A 1）=C 21P（=2）P （=0）=2*0.4*0.1=0.08P（A 2）=P（=1 ） 2=0.32=0.0915P（ A）=P （A 1）+P （A 2）=0.08+0.09=0.17故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为
28、 0.17【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，通常情况下，都是先求出随机变量取每个值时的概率、再得其分布列、最后用数学期望与方差的定义求解；求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率20 （12 分）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】常规题型；压轴题；转化思想【分析】 （）对函数求导，令 f（1）=0，即可解出 a 值（）f （x） 0，对 a 的取值范围进行讨论，分类解出单调区间a2 时，在区间（0，+）上是增函数，（）由（2）的结论根据单调
29、性确定出最小值，当 a2 时，由（II ）知，f（x）的最小值为 f（0）=1 ，恒成立；当 0a 2 时，判断知最小值小于 1，此时 a 无解当 0a 2 时，（x）的单调减区间为 ，单调增区间为【解答】解：（） ，f（x）在 x=1 处取得极值，f（1）=0即 a+a2=0，解得 a=1（） ，x0，a0，ax+1 0当 a2 时，在区间（0，+）上 f（x）0f（ x）的单调增区间为（0， +）当 0a2 时，由 f（x）0 解得由f（ x）的单调减区间为 ，单调增区间为（）当 a2 时，由（II）知，f（x）的最小值为 f（0）=1当 0a2 时，由（II）知， 处取得最小值，综上可知
30、，若 f（x）的最小值为 1，则 a 的取值范围是2，+）【点评】考查导数法求单调区间与求最值，本类题型是导数的主要运用21 （12 分）16【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】 （）先由双曲线标准方程求得顶点坐标和渐近线方程，进而根据顶点到渐近线的距离求得 a，b 和 c 的关系，进而根据离心率求得 a 和 c 的关系，最后根据 c= 综合得方程组求得 a，b 和 c，则双曲线方程可得（）由（）可求得渐近线方程，设 A（m，2m ） ，B （ n，2n） ，根据 得 P 点的坐标代入双曲线方程化简整理 m，n 与 的关系式，设 AOB
31、=2，进而根据直线的斜率求得 tan，进而求得 sin2，进而表示出 |OA|，得到 AOB 的面积的表达式，根据 的范围求得三角形面积的最大值和最小值，AOB 面积的取值范围可得【解答】解：（）由题意知，双曲线 C 的顶点（O，a）到渐近线 axby=0 的距离为 ， ，由 ，得双曲线 C 的方程为 （）由（）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=2x设 A（m，2m） ，B（ n，2n） ，m0，n0由 得 P 点的坐标为 ，将 P 点坐标代入 ，化简得 设AOB=2， ， 又 记 ，17由 S（）=0 得 =1，又 S（ 1）=2 ， ，当 =1 时， AOB 的面积取得最小值 2，当
32、时，AOB 的面积取得最大值AOB 面积的取值范围是 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题考查了学生综合分析问题的能力22 （14 分）【考点】数列的函数特性；数学归纳法菁优网版权所有【专题】证明题；压轴题【分析】 （1）对于数列x n的单调性的证明，我们可以根据数列的前若干项，归纳推理出数列的单调性，然后再利用数学归纳法进行证明（2）我们可以将待证的问题进行转化，变形成的形式，然后结合已知条件进行证明【解答】证明：（1）由 x1= ，x n+1= ， ， ，由 x2x 4x 6 猜想：数列x 2n是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当 n=1 时，已证命题成立（2）假设当 n=k 时命题成立，即 x2kx 2k+2易知 x2k0，那么=即 x2（k+1） x 2（k+1）+2也就是说，当 n=k+1 时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当 n=1 时， ，结论成立当 n2 时，易知 0x n11，18=【点评】本题（1）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设 P（n）是关于自然数 n 的命题，若 1） （奠基） P（n）在n=1 时成立；2） （归纳） 在 P（k） （k 为任意自然数）成立的假设下可以推出 P（k+1）成立，则 P（n）对一切自然数 n 都成立
