1、第二节 数列的极限,一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质 三、小结、作业,1/28,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、数列极限的定义,2/28,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,3/28,例如,4/28,例1（1） a, aq, aq2, aq3, , aqn-1,.其中a,q为常数且q 0。一般项公式为 xn = aq n-1。此数列简记为aqn-1 或aqn-1 。,（2）,（3）,5/28,在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点 列，也可看成实数轴上的一个动点,注：,2. 数列可看成是以自然数为自变量的函
2、数：,xn = f ( n ) .,6/28,7/28,数列极限的直观定义对 xn: x1 , x2 , x3 , , xn , 若随着 n 的无限增大(记作 n )， 有xn无限接近某个定数 a， (允许某些xn甚至全部 xn等于a)， 则称 xn 有极限(为a)或收敛(于 a)，记作:xn= a 或 xn a (n ),8/28,例2 讨论 的极限,解 因为 xn= = 1+ 所以 xn 1 (n )，即 xn =1。,问题: 怎样用数学语言来精确地刻划数列极限的概念， 即表达：随着项数n的无限增大，有项xn无限接近(或等于)a？,9/28,随着n ，有xn无限接近(或等于)常数a，也就是
3、 | xn-a| 无限接近(或等于)0 任给定 | xn-a| 的上界 ，不论它有多么小，只要n足够大（n 某个N），总可以使| xn-a| 。于是有下面数列极限的定义（用“ N”语言表达）,10/28,如果数列没有极限, 就说数列是发散的.,11/28,注意： 1） （ 0）必须可以任意小。2）N与 有关。3）若N( )存在，则必不唯一。4）几何解释：,12/28,5) 收敛性和极限值都与数列中有限个项无关。可以任意改动、增删数列中有限个项，不影响其收敛性和极限值。,数列极限的定义未给出求极限的方法.,注意：,13/28,例3,证,所以,14/28,特别,注意:,用定义证数列极限存在时, 关
4、键是任意给定 说明相应的N存在, 但不必求出最小的N.,15/28,例4 对xn= ， 证明 。证 任给定 0，因为| xn - 0| = 而所以可取 N( ) = max , 1。证毕。若由可取N( )= max -1 , 1。证毕。,16/28,例5,证,所以,说明: 常数列的极限等于同一常数.,17/28,例6,证,18/28,例7,证,19/28,二、收敛数列的性质,1、有界性,例如,有界；,无界。,20/28,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,推论 无界数列必定发散.,21/28,例8 n+(-1)nn: 0, 4, 0, 8, 0, 12, 是无界的,注意,收敛有界;,发散
5、无界.,收敛有界;,发散无界., n+(-1)nn 发散.,22/28,例9,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内. xn发散. 证毕。,23/28,2、唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.证毕。,24/28,3、子数列的收敛性,注意：,例如，,25/28,定理3 数列xn收敛于a xn的任一子数列都收敛于a,证 “”,“”易证(略)。,证毕。,26/28,推论 若xn有发散子列或有两个收敛于不同极限的子列 xn发散.,例10 (1) xn = (-1)n有子列 x2n =11， x2n-1=-1 -1 ，,xn = n+(-1)
6、nn有子列x2n=4n 无界, x2n 发散., xn 发散., (-1)n发散.,27/28,三、小结,1.数列:定义，几何表示，主要研究其变化规律。,2.数列极限： 直观描述，精确定义，几何意义。,3.收敛数列的性质:有界性，唯一性，数列与子数列的收敛性的关系。,28/28,作 业,习题1-22; 3 (3); 4; 5; 6,练 习 题,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、数列极限的定义,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割
7、，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,
