1、第七章 平稳过程的谱分析,第七章 平稳过程的谱分析,平稳稳过程(X(t),tT的相关函数RX()在时间域上 描述过程的统计特征;为描述平稳过程在频域上的统计特 征,需要引进谱密度的概念. 本章主要讨论平稳过程的谱 密度及相关函数RX()的谱分析. 7.1 平稳过程的谱密度谱密度的概念在平稳过程的理论和应用上都很重要.从 数学上看,谱密度是相关函数的傅里叶变换, 它的物理意 义是功率谱密度.我们首先简要介绍普通时间函数x(t)的频谱、能谱密度 的概念.设x(t)绝对可积, 即 |x(t)|dt,则x(t)的傅里叶 变换存在,或者说x(t)具有频谱:,平稳过程的谱密度,Fx()= x(t)e-it
2、dt. 一般地,Fx()是复值函数,有Fx(-)= x(t)eitdt=Fx(). Fx()傅氏反变换为x(t)= Fx()eitd. 利用以上第一与第三式,可得x2(t)dt= x(t) Fx()eitddt= Fx() x(t)eitdtd= Fx()Fx()d. 故 x2(t)dt= |Fx()|2d. (),平稳过程的谱密度,()式称为帕塞伐公式. 若把x(t)看做是通过1电阻 上的电流或电压, 则左边的积分表示消耗在1电阻上的 总能量, 故右边的被积函数|Fx()|2相应地称为能谱密 度. 帕塞伐公式即可看做总能量的谱表示式.实际问题中,大多数时间函数的总能量都是无限的, 因 而不能
3、满足傅氏变换条件.为此我们考虑平均功率及功率 密度.作一截尾函数 xT(t)= 因为xT(t)有限,其傅氏变换存在,于是有Fx(,T)= xT(t)e-itdt= xT(t)e-itdt, Fx(,T)的傅氏反变换为 xT(t)= Fx(,T)e-itd.,x(t),|t|T, 0, |t|T.,平稳过程的谱密度,根据()式的帕塞伐公式,有x2T(t)dt= x2(t)dt= |Fx(,T)|2d. 故lim x2(t)dt=lim |Fx(,T)|2d = lim |Fx(,T)|2d 显然上式左边可以看做是x(t)消耗在1电阻上的平均功 率,相应地,称右边的被积函数lim |Fx(,T)|
4、2 为功率密度.以上讨论的是普通时间的实质函数的频谱分析,对于随 机过程X(t),-t可以作类似的分析.,T,T,T,T,平稳过程的谱密度,设X(t)是均方连续随机过程,作截尾随机过程XT(t)= 因为XT(t)均方可积,故存在傅氏变换FX(,T)= XT(t)e-itdt= XT(t)e-itdt.() 利用帕塞伐公式及傅氏反变换,可得|X(t)|2dt= |X(t)|2dt= |Fx(,T)|2d. 因为X(t)是随机过程,故上式两边都是随机变量, 要求取 平均值.这时不仅要对时间区间-T,T取平均, 还要求概 率意义下的统计平均,于是有lim E |X(t)|2dt=lim E |Fx(
5、,T)|2d,x(t),|t|T, 0, |t|T.,T,T,平稳过程的谱密度,= lim E|Fx(,T)|2d. ()上式就是随机过程X(t)的平均功率和功率密度关系的表 达式. 于是有如下定义: 定义7.1 设X(t),-t为均方连续随机过程,称2=lim E |X(t)|2dt ()为X(t)的平均功率. 称sx()=lim E|Fx(,T)|2 ()为X(t)的功率谱密度,简称谱密度.当X(t)是均方连续平稳过程时, 由于E|X(t)|2是与t无 关的常数,利用均方积分性质可以将()式化简得,T,T,T,平稳过程的谱密度,2=lim E |X(t)|2dt=lim E|X(t)|2d
6、t=E|X(t)|2=RX(0). () 由()式和()式看出,平稳过程的平均功率等于该过程 的均方值,或等于它的谱密度在频域上的积分,即2= SX()d. 该式是平稳过程X(t)的平均功率的频谱展开式,sX()描 述了各种频率成分所具有的能量大小. 例7.1 设有随机过程X(t)=acos(0t+), a,0为常数,T,T,平稳过程的谱密度,在下列情况下,求X(t)的平均功率.(1)是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量;(2)是在(0, )上服从均匀分布的随机变量. 解:(1)由第六章例6.9知,此时随机过程X(t)是平稳过程,且相关函数RX()= cos(0).于是由()得X(t)的平均
7、功率2=RX(0)= .(2)因为 EX2(t)=Ea2cos2(0t+)=E + cos(20t+2,平稳过程的谱密度,= + cos(20t+2) d= - sin(20t), 故此时X(t)为非平稳过程.由()式得X(t)的平均功率为2=lim EX2(t)dt=lim - sin(20t)dt= .以上讨论了平稳过程的谱密度,对于平稳随机序列的谱 分析,我们类似地给出以下结果.,T,T,平稳过程的谱密度,设Xn,n=0,1,2,为平稳随机序列,均值为零.若 只取离散值,且相关函数RX()满足 |RX(n)|.当 在-,上取值时,若sx()= RX(n)e-in () 绝对一致收敛,则s
8、x()是-,上的连续函数, 且对 上式取绝对值再积分,有|sx()|d |RX(n)| |e-in|d, 故 sx()eind存在.于是()是以RX(n)= sx()eind, n=0,1,2,() 为傅氏系数的sx()的傅氏级数.,平稳过程的谱密度,定义7.2 设Xn,n=0,1,2,是平稳随机序列,若相关函数满足|RX(n)|, 则称sx()= RX(n)e-in, -, 为Xn,n=0,1,2,的谱密度.()式与 ()式给出了平稳随机序列的相关函数与谱 密度之间的关系. 7.2 谱密度的性质对于平稳过程X(t)的统计规律描述,第六章是从时域角 度对相关函数RX()进行讨论, 而在7.1节
9、中则从频域的 角度对谱密度进行讨论. RX()和sx()都是平稳过程,谱密度的性质,X(t)的特征,它们必定存在某种关系.对于平稳随机序列, 定义7.2中已给出了它们的关系.下面讨论平稳过程的情 形.设X(t),-t)是均方连续平稳过程,RX()为它 的相关函数,sx()为它的功率谱密度. sx()具有下列 三性质:(1)若 |RX()|d,则sx()是RX()的傅氏变 换,即有sx()= RX()e-id. () 证明: 将()式代入()式得:sx()=lim E| X(t)e-itdt|2 (),T,谱密度的性质,由于 E| X(t)e-itdt|2= E X(t)e-itdt X(s)e
10、-isds= E X(t)X(s)e-i(t-s)dtds= EX(t)X(s)e-i(t-s)dtds= RX(t-s)e-i(t-s)dtds.仿照第六章定理6.1的推证步骤,可得E| X(t)e-itdt|2= (1- )RX()e-id,谱密度的性质,于是有 sX()=lim (1- )RX()e-id,令 RX(,T)=显然lim RX(,T)=RX(),所以sX()=lim (1- )RX()e-id=lim RX(,T)e-id= lim RX(,T)e-id= RX()e-id.对()式作傅氏变换:RX()= sX()e-id(),(1- )RX (), |2T, 0, |2T
11、.,T,T,T,T,谱密度的性质,()式与()式指出,平稳过程的相关函数和谱密度之 间构成一对傅氏变换. 在()式中令0,得平均功率:sX()d=RX(0),只有当它有限时,()式才成立.当X(t)为实平稳过程时,有sX()=2 RX()cos()d,RX()= sX()cos()d. 由于RX()是偶函数,故进而有sX()= RX()e-id= RX()cos()-isin()d=2 RX()cos()d.,谱密度的性质,同理,因为sX()是的偶函数,故有RX()= sX()cos()d.(2)sX()是的实的、非负偶函数. 证明: 由于| X(t)e-itdt|2是的实的非负偶函数,所以其
12、均值当T时的极限,也必定是的实的非负偶函数, 由()式知性质(2)真.(3)当sX()是的有理函数时,其形式为sX()= .其中a2n-i,b2m-j(i=0,2,2n,j=2,4,2m)为常数,且a2n0,mn,分母无实根.,谱密度的性质,证明: 根据性质(2)及平均功率有限即可证明. 有理谱密度是常用的一类功率谱. 在工程中,由于只在 正的频率范围内进行测量, 根据平稳过程的谱密度sX() 是偶函数的性质,因而可将负的频率范围内的值折算到正 频率范围内,得到所谓“单边功率谱”. 单边功率谱GX() 定义为GX()= 它与sX()有如下关系GX()= 相应地,sX()的可称为“双边谱”. 它
13、们的图形关系如右图所示.,2lim E| X(t)e-itdt|2,0,0, 0.,2sX(),0, 0, 0.,o,GX(),sX(),谱密度的性质,例7.2 已知平稳过程的相关函数为RX()=e-al|cos(0)其中a0, 0为常数.求谱密度sX(). 解: sX()=2 e-acos(0)cos()d= e-acos(0+)+cos(0-)d= + . 例7.3 已知平稳过程的谱密度sX()= ,|1求相关函数RX(n).,谱密度的性质,解: RX()= sX()eind= eind= d= , n=0,1,2, . 例7.4 设Xn,n=0,1,2,是具有零均值的平稳随机序列,且相关
14、函数RX(n)=由于 |RX(n)|,所以由()式得谱密度sX()= RX(n)e-in=2, -.,2, n=0,0, n0.,窄带过程及白噪声过程的功率谱密度,7.3 窄带过程及自噪声过程的功率谱密度一般地,信号的频谱是可以分布在整个频率轴上的, 即 -. 但是在实际应用中, 人们关心的是这样一些 信号,它们的频率谱的主要成分集中于频率的某个范围之 内,而在此范围之外的信号频率分量很小,可以忽略不计. 当一个随机过程的谱密度为下图所示的形式时,即谱密度 限制在很窄的一段频率范围内,则称该过程为窄带随机过 程.例7.6 已知上图所示的窄带平稳过程的谱密度sX(),求,sX(),-2,-1,1
15、,2,o,s0,o,RX(),窄带过程及白噪声过程的功率谱密度,该过程的均方值及相关函数. 解: 均方值为EX2(t)=RX(O)= sX()d= s0d= s0(2-1).相关函数为RX()= sX()cos()d= s0cos()d= six(2)- six(1)= cos( )sin( ).如果一个随机过程的谱密度的值不变,且其频带延伸到 整个频率轴上,则称该频谱为白噪声频谱. 相应的白噪声,窄带过程及白噪声过程的功率谱密度,声过程定义如下: 定义7.3 设X(t),-t为实值平稳过程,若它的均值为零, 且谱密度在所有频率范围内为非零的常数,即sX()=N0(-t),则称X(t)为白噪声
16、过程. 由于白噪声过程有类似于白光的性质,其能量谱在各种 频率上均匀分布,故有“白”噪声之称. 又由于它的主要统 计特性不随时间推移而改变,故它是平稳过程. 但是它的 相关函数在通常的意义下的傅氏反变换不存在,所以为了 对白噪声过程进行频谱分析,下面引进函数的傅氏变换 概念. 具有下列性质的函数称为函数:(1) (x)= (2) (x)dx=1. 函数有一个非常重要的运算性质,即对任意连续函数,0, x0, ,x=0;,窄带过程及白噪声过程的功率谱密度,f(x),有 f(x)(x)dx=f(0), () 或 f(x)(x-T)dx=f(T). 由()式知,函数的傅氏变换为()e-id=e-i|
17、=0=1. 因此,由傅氏变换,可得函数的傅氏积分表达式为()= 1eid () 或 1eid=2(). () ()式与()式说明,()函数与1构成一对傅氏变换.同理,由()式可得 ()eid= , 或2()eid=1. (),窄带过程及白噪声过程的功率谱密度,相应地有1e-id=2(). () ()与()式说明,1与2()构成一对傅氏变换. 换 言之,若相关函数RX()=1时,则它的谱密度为sX()=2 ().它们的图形是:例7.7 已知白噪声过程的谱密度为sX()=N0(常数), -.求该白噪声过程的相关函数RX().,o,o,1,RX()=1,sX()=2(),窄带过程及白噪声过程的功率谱
18、密度,解:由()式得sX()eid= eid=N0(). 本例说明,白噪声过程也可以定义为均值为0,相关函数 为N0()的平稳过程. 它表明,在任何两个时刻t1和t2, X(t1)与X(t2)不相关,也就是说,白噪声随时间变化的起伏 极快,过程的功率谱又极宽, 对不同输入频率的信号都能 产生干扰. 例7.8 已知相关函数RX()=acos(0),其中a,0为常数. 求谱密度sX(). 解:由()式得sX()= RX()e-id= acos(0)e-id,窄带过程及白噪声过程的功率谱密度,= + e-id= d+ d=a(-0)+(+0).RX()与sX()的图形如右所示. 正如函数是象征性函数
19、一样, 白噪声过程也是一种 理想化的数学模型,实际上并不存在.因为在连续参数的 情况下,根据白噪声过程的定义, 它的平均功率RX(0)是 无限的.而实际的随机信号过程只有有限的功率,并且在 非常接近的两个时刻,随机过程的取值总是相关的,其相 关函数也不能是函数形式的表达式.但是,实际中所遇 到的各种随机干扰, 只要它的谱密度在比信号频带宽得,o,a,RX()=acos(0),-0,0,sX()=a(+0)+(-0),联合平稳过程的互谱密度,多的频率范围内存在,且分布近似均匀, 通常就把这种干 扰当做白噪声处理.以上讨论白噪声过程的谱密度结构时,并未涉及它的 概率分布,因此,它可以是具有不同分布
20、的白噪声,诸如正 态白自噪声,具有瑞利分布律的白噪声等. 7.4 联合平稳过程的互谱密度在6.2节中已经讨论过两个平稳过程的联合平稳概念 及两个平稳过程的互相关函数.本节讨论联合平稳过程的 互谱密度. 定义7.4 设X(t)和Y(t)是两个平稳过程,且它们是联合平稳的(平稳相关的), 若它们的互相关函数RXY()满足|RXY()|d,则称RXY()的傅氏变换,联合平稳过程的互谱密度,sXY()= RXY()e-id ()是X(t)和Y(t)的互功率谱密度,简称互谱密度. 由傅氏反变换得RXY()= sXY()eid. () 因此互谱密度sYX()与互相关函数RYX()的关系如下:sYX()=
21、RYX()e-id,RYX()= sYX()eid.从定义看出,互谱密度一般是复值的,没有谱密度sX() 所具有的实的、非负偶函数性质.令()式的=0,则有,联合平稳过程的互谱密度,RYX(0)=EX(t)Y(t)= sXY()d. ()若将X(t)看做是通过某系统的电压,Y(t)是所产生的电 流,且X(t)和Y(t)是各态历经过程, 则()式左边表示输 到该系统的功率,故右边的被积函数sXY()就是相应的互 谱密度. 互谱密度具有下列性质:(1)sXY()=sYX(),即sXY()与sYX()互为共轭;(2)ResXY()和ResYX()是的偶函数,而ImsXY()和ImsYX()是的奇函数
22、;(3)sXY()与sX()和sY()满足下列关系:|sXY()|2|sX()|sY()|;(4)若X(t)和Y(t)相互正交,则sXY()=sYX()=0.,联合平稳过程的互谱密度,证明:(1)利用互相关函数性质,得sXY()= RXY()e-id= RYX(-)e-id= RYX(1) d1 (1=-)= RYX(1) d1=sYX(). (2)由于sXY()= RXY()cos()d-i RXY()sin()d所以,其实部是的偶函数,虚部是的奇函数.(3)利用()式及许瓦兹不等式可证.(4)由()及正交定义RXY()=0和(1)即可证得. 互谱密度没有自谱密度具有明显的物理意义,引进该概
23、,联合平稳过程的互谱密度,念主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性. 在实际应用中,常常利用测定线性系统输入、输出的互谱 密度来确定该系统的统计特性.这在下一节将进一步讨论. 例7.9 设X(t)和Y(t)为平稳过程,且它们是平稳相关的,则过程W(t)=X(t)+Y(t)的相关函数为RW()=RX()+RY()+RXY()+RYX()易知其谱密度为sW()=sX()+sY()+sXY()+sYX() =sX()+sY()+2ResXY().显然,sW()是实数.当两个过程X(t)与Y(t)互不相关时,且它们的均值为零,则: RXY()=RYX()=0, RW()=RX()+RY(),联
24、合平稳过程的互谱密度,sW()=sX()+sY(). 例7.10 已知平稳过程X(t)和Y(t)的互谱密度为sXY()=其中a,b,0为实常数.求互相关函数RXY(). 解:由()式得RXY()= sXY()eid= eid= (a0-b)sin(0)+b0cos(0). 例7.11 设随机过程Y(t)是由一个各态历经的白噪声过程X(t)延迟时间T后产生的. 若X(t)和Y(t)的谱密度为s0,(a+ib)/0, |0, 0, |0.,联合平稳过程的互谱密度,求互相关函数RXY()和RYX(),及互谱密度sXY()和sYX(). 解: 由于RXY()=EX(t)Y(t-)=RYX(-),式中Y
25、(t+T)=X(t),所以Y(t)=X(t-T), Y(t-)=X(t-T).于是 RXY()=EX(t)X(t-T)=RYX(-),而 EX(t)X(t-T)=RX(+T),因此 RXY()=RX(+T)=s0(+T)=RYX(-),sXY()= RXY()e-id= s0(+T)e-id=s0eiT,且 sYX()= RYX()e-id,平稳过程通过线性系统的分析,= s0(-+T)e-id=s0e-iT. 例7.11中因为X(t)和Y(t)都是白噪声过程,它们的互相 关函数除在=T处有值外, 其余各点为零, 所以RXY(T)= RX(O)=RYX(T),它们的图形如上所示. 7.5 平稳
26、过程通过线性系统的分析平稳过程的一个重要应用是线性系统对随机输入的响 应.在自动控制、无线电技术、机械振动等方面,经常遇 到的各类随机过程是与“系统”相联系的. 所谓系统就是 指能对各种输入按一定的要求产生输出的装置. 如放大 器、滤波器、无源网络等都是系统. 本节所讨论的系统 是指线性系统.,RXY(),RYX(),T,-T,s0,s0,o,o,平稳过程通过线性系统的分析,1.线性时不变系统设对系统输入x(t)时系统的作用为L,其输出为y(t),则 它们的关系为: y(t)=Lx(t). () ()式中“L”在数学上代表算子, 它可以是加法,乘法,微 分,积分和微分方程求解等数学运算. 定义
27、7.5 称满足下列条件的算子为线性算子:若 y1(t)=Lx1(t), y2(t)=Lx2(t),则 对任意常数,有 Lx1(t)+x2(t)=Lx1(t)+Lx2(t)=y1(t)+y2(t).对于一个系统,若算子L是线性的,则称该系统为线性系统.,平稳过程通过线性系统的分析,定义7.6 若系统L有y(t)=Lx(t),并对任一时间平移都有 y(t+)=Lx(t+),则称该系统为时不变系统. 例7.12 微分算子L= 是线性时不变的. 解: 设y(t)=Lx(t)= x(t),由导数运算性质知,微分算子满足线性条件,且Lx(t+)= x(t+)= =y(t+). 例7.13 积分算子L= (
28、 )du是线性时不变的. 解: 设 y(t)=Lx(t)= x(u)du ,且y(-)=0.由积分运算性质知,积分算子满足线性条件,且Lx(t+)= x(u+)du= x(u+)d(u+)=y(t+).,平稳过程通过线性系统的分析,由上面的定义知, 一个系统的线性性质,表现为该系统 满足叠加原理; 系统的时不变性质,表现为输出对输入的 关系不随时间推移而变化. 因此一个线性时不变系统,叠 加原理的数学表达式为y(t)=L ahxh(t)= ahLxh(t)= ahyh (t). 在工程实际中, 属于这类较简单而又重要的系统,是输入 与输出之间,可用下列常系数线性微分方程来描述的系统bn +bn
29、-1 +b0y=am +am-1 +a0x, 其中nm, -t. 2.频率响应与脉冲响应下面分别从时域和频域角度,讨论线性时不变系统输入,平稳过程通过线性系统的分析,与输出的关系. 当系统输入端输入一个激励信号时,输出 端出现一个对应的响应信号.激励信号与响应信号之间的 对应关系L,又称为响应特性. 定理7.1 设L为线性时不变系统,若输入一谐波信号x(t)=eit时,则输出为y(t)=Leit=H()eit. ()其中H()=Leit|t=0. 证明:令y(t)=Leit,由系统的线性时不变性,则对固定的和任意的t,有y(t+)=Lei(t+)=eiLeit.令t =0,得y()=eiLei
30、t|t=0=H()ei.,平稳过程通过线性系统的分析,定理7.1表明,对线性时不变系统输入一谐波信号时,其 输出也是同频率的谐波,只不过振幅和相位有所变化. 其 中H()表示了这个变化,称它为系统的频率响应函数,一 般它是复值函数. 例如当 =L时,则系统的频率响应H()=Leit|t=o= eit|t=o=i. 下面讨论系统的时域分析和频域分析.根据函数的性质,有x(t)= x()(t-)d. 将该式代入()式,并注意到L只对时间函数进行运算,有y(t)=Lx(t)=L x()(t-)d= x()L(t-)d= x()h(t-)d(),平稳过程通过线性系统的分析,其中h(t-)=L(t-).
31、 若输入x(t)为表示脉冲的s函数,则此式为y(t)= h(t-)()d=h(t). 上式表明h(t)是输入为脉冲时的输出,故称它为系统的脉 冲响应. 例如设y(t)= x(u) du,则系统的脉冲响应为h(t)= (u) du= (u) du=通过变量代换,()式又可写成y(t)= x(t-)h()d. () ()式与该式就是从时域研究系统输入x(t)与输出y(t) 的关系式. 表明线性时不变系统的输出y(t)等于输入x(t),平稳过程通过线性系统的分析,与脉冲响应h(t)的卷积,即y(t)=h(t)*x(t). () 设输入x(t),输出y(t)和脉冲响应以h(t)都满足傅氏变 换条件,
32、且它们的傅氏变换分别为X(),Y()和H(), 则有下列傅氏变换对:X()= x(t)e-itdt, x(t)= X()eitd; ()Y()= y(t)e-itdt, y(t)= Y()eitd; ()H()= h(t)e-itdt, ()h(t)= H()eitd. (),平稳过程通过线性系统的分析,为了求出输入与输出之间的频谱关系,利用()式和() 式,得y(t)=Lx(t)=L X()eitd= X()L(eit)d= X()H()eitd.() 比较()式和()式,得Y()=H()X() () ()式就是在频域上,系统输入频谱X()与输出频Y() 的关系式.它表明线性时不变系统响应的
33、傅氏变换等于输 入信号的傅氏变换与系统脉冲响应的傅氏变换的乘积.实际应用中,在研究平稳过程的输入与输出关系时, 可 以根据问题的条件选用()式或()式. 一般,为了满足,平稳过程通过线性系统的分析,信号加入之前,系统不产生响应, 必须要求脉冲函数符合 条件h(t)=0, 当t0. 相应地()式和()式变成y(t)= h()x(t-)d, H()= h(t)e-itdt. 3.线性系统输出的均值和相关函数设X(t),Y(t)为均方连续平稳过程,由卷积公式()或 ()知,对于过程X(t)的任一样本函数x(t),有y(t)= h(t-)X()d= h()X(t-)d 根据均方积分的性质知,若系统输入
34、过程为X(t)时, 其输 出 Y(t)= h(t-)X()d= h()X(t-)d,平稳过程通过线性系统的分析,也是随机过程. 下面讨论,输入过程X(t)的均值和相关函数与输出过程 的均值和相关函数的关系. 定理7.2 设输入平稳过程X(t)的均值为mX, 相关函数为RX(),则输出过程y(t)= h(t-)X()d的均值和相关函数分别为mY(t)=mX h(u)du=常数;RY(t1,t2)= h(u)h(v)RX(-u+v)dudv=RY(),=t1-t2. () 证明: mY(t)=EY(t)=E h(u)X(t-u)du,平稳过程通过线性系统的分析,= h(u)EX(t-u)du=mX
35、 h(u)du=常数. 关于输出相关函数()式的证明,下面采用先求Y(t)与 X(t)的互相关函数,利用它再求Y(t)的相关函数的方法. (1) 求RYX(t1,t2).RYX(t1,t2)=EY(t1)X(t2)=E h(t1-)X()X(t2)d= h(t1-)EX()X(t2)d= h(t1-)RX(-t2)d= h(u)RX(t1-t2-u)du,平稳过程通过线性系统的分析,= h(u)RX(-u)du=RYX(), 即 RYX()=RX()*h(),=t1-t2 () (2)求RY(t1,t2). 利用(1)的结果及()式,有RY(t1,t2)=EY(t1)Y(t2)=EY(t1)
36、h(t2-s)X(s)ds= h(t2-s)EY(t1)X(s)ds= h(t2-s)RYX(t1-s)ds= h(t2-s) h(t1-)RX(-s)dds. 令t2-s=v,t1-=u,得RY(t1,t2)= h(v) h(u)RX(t1-t2-u+v)dudv,平稳过程通过线性系统的分析,= h(u)h(v)RX(-u+v)dudv=RY(). 从定理7.2看出,当输入平稳过程X(t)时,输出过程的均 值EY(t)为常数,相关函数RY(t1,t2)=RY()只是时间差 t1-t2=的函数,故输出过程是平稳的. 从()式看出,输 出过程Y(t)与输入过程X(t)之间还是联合平稳的.在()式
37、中,令v=-t,利用(1)得RY()= h(u)h(-t)RX(-u-t)dudt= h(-t)RYX(-t)dt, 即 RY()=RYX()*h(-). 将()式代入得RY()=RX()*h()*h(-).,平稳过程通过线性系统的分析,从定理7.2的证明看出, 输出相关函数可以通过两次卷 积产生.第一次是输入相关函数与脉冲响应的卷积, 其结 果是Y(t)与X(t)的互相关函数;第二次是RYX()与h(-) 的卷积,其结果是RY(). 或者说,以RX()作为具有脉冲 响应h()的系统的输入,得输出RYX(), 再以RYX()作 为具有脉冲响应h(-)的系统的输入可以得到输出RY(). 它们的关
38、系如图所示: 例7.14 设线性系统输入一个白噪声过程X(t),由例7.7知,RX()=N0(). 将它代人()式得RYX()= N0(-u)h(u)du=N0h(),所以h()= RYX().,RX(),RYX(),RY(),h(),h(-),平稳过程通过线性系统的分析,利用上式,从实测的互相关函数资料可以估计线性系统 未知的脉冲响应.对于物理上可以实现的系统,当t0时, 假定过程X(t)和Y(t)还是各态历经的,则对充 分大的T,有h()= RYX() y(t)x(t+)dt, 其中,x(t)和y(t)分别为输入过程X(t)和输出过程Y(t)的 一个样本函数. 4.线性系统的谱密度下面讨论
39、具有频率响应H()的线性系统, 其输出的谱 密度sY()与输入谱密度sX()的关系.,平稳过程通过线性系统的分析,定理7.3 设输入平稳过程X(t)具有谱密度sX(),则输出平稳过程Y(t)的谱密度为sY()=|H()|2sX(), ()其中,H()是系统的频率响应函数.称|H()|2为系统的频率增益因子或频率传输函数. 证明:由()式可得sY()= RY()e-id= h(u)h(v)RX(-u+v)dudve-id令-u+v=s,则sY()= h(u)h(v)RX(s)e-i(s+u-v)dudvds= h(u)e-iudu h(v)e-ivdv RX(s)e-isds,平稳过程通过线性系
40、统的分析,=H()H()sX()=|H()|2sX().()式是一个重要的公式,它表明线性系统的输出谱密 度等于输入谱密度乘以增益因子.对于从频域上研究输入 与输出谱密度关系,它是很方便的.在实际研究中,由平稳 过程的相关函数RX(), 求RYX()和RY(),往往会遇到 较为复杂的计算.因此,可以通过()式求出sY(),再通 过傅氏反变换得到输出相关函数RY()= sY()eid= sX()|H()|2eid () 及输出的平方功率(均方值)RY(0)= sX()|H()|2d.,平稳过程通过线性系统的分析,()式和()式都是求RY()的公式,可以根据实际的题 设条件选择使用. 例7.15
41、RC电路如右图所示.若输入白噪声电压X(t),其相关函数为RX()=N0().求输出电压Y(t)的相关函数和平均功率. 解:因为输入样本函数x(t)与输出样本函数y(t)满足微分方程RC +y(t)=x(t).这是一个常系数线性微分方程,是一个线性时不变系统.取x(t)=eit,根据定理7.1,有y(t)=H()eit,代人上式得RC +H()eit=eit,R,X(t),Y(t),C,平稳过程通过线性系统的分析,故RC电路系统的频率响应函数为H()= = ,其中=1/RC.由()式得H(t)= eitd= d.因为 在上半平面有一阶极点,故当t0时,h(t)=Res(i)=e-t,h(t)=
42、由()式得RX()= h(u)h(v)N0(-u+v)dudv=N0 h(u)du h(v)(-u+v)dv,e-t, t0, 0, t0.,平稳过程通过线性系统的分析,=N0 h(u)h(u-)du= e-|, -.令=0,得输出平均功率RY(0)= . 例7.16 设上图所示系统激励力函数x(t)的谱密度sX()=s0,试求输出位移y(t)的谱密度和平均功率.,N0 2e-ue-(u-),0, N0 2e-ue-(u-),0,e-,0, e,0,m,k,y(t),x(t),r,平稳过程通过线性系统的分析,解:因为滑车运动位移y(t)满足微分方程m +r +ky(t)=x(t).令x(t)=eit,则y(t)=H()eit,代入上式得(-m2+ir+k)H()=1,故 H()= ,|H()|2= ,所以位移输出谱密度为sY()=|H()|2sX()= .输出平均功率为RY(0)=EY(t)2= |H()|2sX()d= | |2d= .,
