1、门爱东教授 ,数字信号处理 Digital Signal Processing,第 6 章 数字信号处理中的有限字长效应,2,主题概述,1 -绪论 2 -离散时间信号和离散时间系统 3 -离散傅立叶变换及其快速计算方法 4 -IIR数字滤波器设计和实现 5 -FIR数字滤波器设计和实现 6 数字信号处理中的有限字长效应6.1) 数的表示及其对量化的影响6.2) A/D变换的字长效应6.3) 系数量化效应6.4) 运算中的有限字长效应,3,数字信号处理中的有限字长效应,一个线性、非移变、因果系统的差分方程为：在以前的讨论中，认为：1).系统的输入序列x(n)2).系统的输出序列y(n)3).系数
2、ai, bi都是连续变化的，即具有无限精度。 在实际中，无论软件、硬件，都只能用有限字长来表示。这样就会对系统的特性产生一定影响，这就是有限字长效应问题，主要有三个方面的误差：1).输入信号的量化效应2).系数的量化效应3).运算过程中的舍入或截尾处理的噪声 由于一些问题，还没有系统的办法解决，本章只对一些问题作一些概括的介绍。,4,6.1 数的表示及其对量化的影响：数的表示,数的表示：定点制：动态范围小，精度低，有限字长效应突出浮点制：动态范围大，精度高。 反码：原码逐位取反 定点制：原码 负数反码 补码：反码加“1”补码 正数：三者一样,5,6.1 数的表示及其对量化的影响：量化误差,定点
3、制中数的位数寄存器的长度决定，如L+1位，其中一位符号位表示的最小数为 量化间距。 如果要处理的数为 M+1位L+1，则必须要进行量化。截尾：低位数截短舍入：在数据的L+1位上加1，然后截短 量化引入误差e：e = Qx x e的范围取决于数的表示形式及量化方法，Qx为x的量化值。,6,6.1 数的表示及其对量化的影响：量化误差,截尾处理：原码、反码时e的范围：当x0时，0e tq 补码时e的范围：-qe t0 舍入处理e的范围：-q/2 e r q/2(补码、原码、反码都一样)。,7,主题概述,1 -绪论 2 -离散时间信号和离散时间系统 3 -离散傅立叶变换及其快速计算方法 4 -IIR数
4、字滤波器设计和实现 5 -FIR数字滤波器设计和实现 6 数字信号处理中的有限字长效应6.1) 数的表示及其对量化的影响6.2) A/D变换的字长效应6.3) 系数量化效应6.4) 运算中的有限字长效应,8,6.2 A/D变换的字长效应,A/D变换：取样、量化编码两部分,9,6.2 A/D变换的字长效应：量化效应的统计分析,ADC的结果一般用定点制补码表示。 量化误差可表示为：e = Qx x 因此，量化后的取样值可表示为：ADC的模型：,10,6.2 A/D变换的字长效应：量化效应的统计分析,为了对此模型进行统计分析，假定：(1).e (n) 是一个平稳随机序列(2).e (n) 与信号 x
5、 (n) 不相关(3).e (n) 本身样值间不相关，即为白噪声过程。(4).e (n) 具有等概率密度分布（在一定的量化间距上）。 因此，量化噪声e (n) 是白噪声，它的概率分布如图：,11,6.2 A/D变换的字长效应：量化效应的统计分析,量化噪声的均值和方差：舍入时：补码截尾时：其中 信噪比为：,12,6.2 A/D变换的字长效应：量化效应的统计分析,用对数表示：所以，对于量化噪声是白噪声来讲，寄存器长度每增加一位（L加1），信噪比约提高6db。,13,6.2 A/D变换的字长效应：量化噪声通过线形系统,当已量化的信号通过一线性系统，实际的输入信号为：输出等于 和 分别通过线性系统之和
6、，如图。,h(n) H(z),14,6.2 A/D变换的字长效应：量化噪声通过线形系统,量化噪声e (n)通过线性系统的输出 如果e (n) 是舍入噪声，则ef(n) 的方差为：,e (n)的方差,15,6.2 A/D变换的字长效应：量化噪声通过线形系统,因为序列e(n)本身任意两个值之间是不相关的，则因此，当冲激响应为实序列时，有,16,6.2 A/D变换的字长效应：量化噪声通过线形系统,由于数字系统中 代表系统的能量，是个定值，所以：（其中k, k为常数）所以量化误差在输出处的方差仍与 成正比，仍直接与字长L相联系。量化噪声的平均值随量化的方法不同而不同。,17,6.2 A/D变换的字长效
7、应：量化噪声通过线形系统,舍入： 经线性系统 截尾： 经线性系统 所以，截尾处理后线性系统的输出中有直流分量，将对信号的频谱结构产生影响，这是应避免的。,18,主题概述,1 -绪论 2 -离散时间信号和离散时间系统 3 -离散傅立叶变换及其快速计算方法 4 -IIR数字滤波器设计和实现 5 -FIR数字滤波器设计和实现 6 数字信号处理中的有限字长效应6.1) 数的表示及其对量化的影响6.2) A/D变换的字长效应6.3) 系数量化效应6.4) 运算中的有限字长效应,19,6.3.1 IIR DF中系数量化对零极点的影响,系数量化使系统函数的零极点偏离准确的位置，这就会产生：极点在Z平面的单位
8、圆内，系统是稳定的，经系数量化，使零极点发生移动，DF的性能偏离技术要求，甚至使极点移到单位圆外，破坏了系统的稳定性。 IIR DF的传递函数为：,20,6.3.1 IIR DF中系数量化对零极点的影响,如果IIR DF的网络结构为直接型或正准型，当系数量化后，H(z)变为 ：其中， 表示量化后的系数,21,6.3.1 IIR DF中系数量化对零极点的影响,分析极点的情况其中， 是系数为无限精度时的极点，由于 的量化误差引起的极点偏离为 。,22,6.3.1 IIR DF中系数量化对零极点的影响,极点灵敏度：系数 的变化所引起的 位置的变化率，用偏导数 所以极点灵敏度 的大小决定了系数偏差对极
9、点位置的影响程度，它越大， 对 的影响越大。,23,6.3.1 IIR DF中系数量化对零极点的影响,因为 而由可得及,24,6.3.1 IIR DF中系数量化对零极点的影响,所以将上式分子分母同乘以 ， 得表示 外的一极点指向 的矢量,25,6.3.1 IIR DF中系数量化对零极点的影响,当H(z) 的极点靠拢的很紧的时候，对某个极点来说，如果其它极点有一点点变化（由bi的变化引起的），则可能使 有很大的值。N越大， 越敏感。在实现IIR DF时，一般避免使用二阶以上的结构来实现，而采用一阶或二阶环节的并联或级联。,26,6.3.2 FIR DF中系数量化产生误差的最高限度,设 FIR D
10、F 的转移函数为：当各项系数 h(n) 量化为 时，则：,27,6.3.2 FIR DF中系数量化产生误差的最高限度,若令 即 Z 取在单位圆上，则 所以,28,6.3.2 FIR DF中系数量化产生误差的最高限度,上式说明，在FIR DF 的系数量化时，会使传递函数产生误差，此误差不会超过 而已知舍入处理时，有,所以,29,一个FIR DF其阶数（最大延迟数）M = 20，如果要求由于系数量化产生的误差小于1/100，问字长需要几位？,例,30,解：如果则满足：已知 所以,31,即 所以 即需要11比特的字长才能满足需要。强调：不论是IIR DF或FIR DF，系数量化后的频率响应都必须用计
11、算机校核，以确保其性能符合要求。,32,主题概述,1 -绪论 2 -离散时间信号和离散时间系统 3 -离散傅立叶变换及其快速计算方法 4 -IIR数字滤波器设计和实现 5 -FIR数字滤波器设计和实现 6 数字信号处理中的有限字长效应6.1) 数的表示及其对量化的影响6.2) A/D变换的字长效应6.3) 系数量化效应6.4) 运算中的有限字长效应,33,6.4 运算过程中的有限字长效应,常数乘以某数-乘法 舍入或截尾处理 -非线性过程 DF的基本运算两数相加-加法 溢出问题舍入或截尾处理都是非线性过程，非线性问题的分 析很复杂，而且有许多问题并不清楚，所以下面只讨论一 些简单的情况。,34,
12、6.4 运算过程中的有限字长效应,典型的相乘： y(n) = a x(n)(B+C)位 B位 C位长对(B+C)位的y(n)进行舍入或截尾，产生量化误差（或称量化噪声）。,统计模型：进行分析之前，假定：(1).e (n) 是白噪声序列(2).在一个量化区间内e (n) 是等概率密度分布(3).e (n) 与输入信号、输出信号及中间计算结果不相关。,35,6.4.1 IIR DF的有限字长效应,设IIR系统的方程为：且设各乘积的舍入处理都具有相同的量化步长。 下面计算输出噪声功率，即乘积舍入误差通过系统后的方差值。,36,6.4.1 IIR DF的有限字长效应,设各乘积作了舍入处理之后的输出为
13、，则：式中 和 分别为 和 的乘积量化误差。,37,6.4.1 IIR DF的有限字长效应,令则进行Z变换得：式中,38,6.4.1 IIR DF的有限字长效应,现在研究乘积量化误差 e (n) 通过系统1/A(z) 后在输出处的方差：由帕塞瓦定理，并令 则现在 e (n)所通过的系统的系统函数为 1/A(z)，所以,39,6.4.1 IIR DF的有限字长效应,下面求 由于， 取e (n)的方差，有：,40,6.4.1 IIR DF的有限字长效应,因为 和 不相关，而且各噪声之间亦不相关，所以：代入 中，得：,41,6.4.1 IIR DF的有限字长效应,如将单位圆周取作积分曲线，则下面举例
14、说明上述方法用于各种不同数字网络结构时所得到的输出噪声的方差 ，从而表明高阶IIR系统不宜采用直接型实现。,42,例,一个二阶IIR数字网络的系统函数为试求不同网络结构形式下的输出噪声的方差。,43,直接型结构,根据H (z) ，将系统函数作直接型式的实现。(a) 输入信号与舍入噪声迭加经过线性网络 (b) 三个舍入噪声通过线性网络 e0(n)、-f1(n)、-f2(n) 分别表示与系数0.4、1.7、-0.72 相乘后的舍入噪声。所以可将噪声单独作用于网络直接得出其输出噪声的方差 Ev2(n)。,44,直接型结构,其方差为：,45,级联型结构,即H(z) = H1(z) H2(z)(a) 输
15、入信号与舍入噪声迭加经过线性网络 (b) 三个舍入噪声通过线性网络,46,级联型结构,在不考虑量化噪声的情况下，两级输出的差分方程各为：如果考虑量化噪声，则两级的输出分别为：,47,级联型结构,从图中可以看出，输出噪声v(n)，取其Z变换得：所以，v(n)的方差为：,48,并联型结构,先将H(z)部分分式，得：,49,并联型结构,从图中可以看出，e0(n) -e1(n) 只通过 网络而 f0(n)-f1(n) 只通过 网络所以,50,并联型结构,设e0(n) 与e1(n) 互不相关，f0(n) 与 f1(n) 互不相关，则由于v1 (n)与v2 (n)是互不相关的，所以，输出噪声v (n)的方
16、差为：,51,小结,实现同一函数的三种网络结构其输出噪声的方差是不同的。（1）直接型的方差最大所有舍入噪声要通过全部网络，并且要经过反馈产生积累效应。（2）级联型次之每个舍入噪声只通过其后面的反馈网络，而不通过其前面的反馈网络，因此噪声经反馈产生的积累效应要小些。（3）并联型最小每个并联子网络的舍入噪声仅通过本支路网络，所以反馈积累效应最小。因此，从乘积项有限字长效应看，并联结构优于级联结构，级联优于直接型，应避免在高阶时采用直接型。,52,级联次序对输出误差的影响,在级联型结构中，各子网络级联的次序不同，由乘积的舍入误差所引起的输出噪声方差不同。,例：其流图为：e1(n)、e2(n)、e3(
17、n) 分别代表各系数相乘后的舍入噪声。,53,级联次序对输出误差的影响,54,级联次序对输出误差的影响,又令其流图为：,55,级联次序对输出误差的影响,其输出噪声方差为：所以， ，在用级联型结构实现IIR DF时，要选择较好的级联次序，使由乘积的舍入误差所引起的输出误差较小。,56,6.4.2 FIR DF的有限字长效应,FIR DF的差分方程为：如果设输入信号为 x (n-r) = (n-r)， 则有：,所以, 因此同时由上式可得：,57,直接型实现,其数字网络结构如图所示，包括输入信号x (n) 和运算舍入噪声ei (n)；及输出信号 y (n)和舍入噪声的输出 v(n)。,58,直接型实
18、现,其数字网络结构如图所示，包括输入信号x (n) 和运算舍入噪声ei (n)；及输出信号 y (n)和舍入噪声的输出 v(n)。因为舍入噪声 e0 (n), , eM (n) 都直接在输出端，所以输出噪声v(n) 就是这些舍入噪声的直接相加，即,59,直接型实现,由于假设舍入噪声互不相关，所以其数学期望为：其方差为：由上可以看到在直接实现时（1）如果输出噪声限制在某一水平，则阶数越高，所需的字长也就越长。（2）乘积的舍入噪声根本不经过系统而直接出现在输出端，所以与系统中系数没有关系。,60,级联型实现,在级联型下，系统函数写成：为了使各级系统函数中的系数都是实数，将各级都用二阶型式式中k=(
19、M+1)/2，当M 为奇数；k=M/2，当M为偶数。,61,级联型实现,第I 级的内部结构为：讨论第 i 级噪声ei(n) 在最后一级（k 级）的 输出方差,62,级联型实现,令及于是,63,级联型实现,而 所以 由于i = 1, 2, , k ，而各级的乘积舍入量化噪声在最后一级输出处的噪声方差为各级产生的方差之和，即K个级的排列不同会得出不同的噪声输出。,64,6.4.3 IIR DF的极限振荡环,对于一个稳定的IIR DF，如果它的输入自 nn0 后永远是零，那么它的输出在无限精度运算下必然逐渐衰减到零。但在有限字长运算时，其输出却会出现不衰减的非零的情况或不衰减的正负交替振荡的情况，这
20、种振荡不是我们所希望的。,65,6.4.3 IIR DF的极限振荡环,设差分方程 设 ， ，都用4bit字长，第1位为符号位，其余3位为小数点后的尾数。设,66,6.4.3 IIR DF的极限振荡环,如果运算用舍入处理，则其输出为：（此次运算没有乘法运算，故也没有舍入处理，因y(-1)=0。） 当x (1) = 0输入后，表示对二进制数作舍入处理。,67,6.4.3 IIR DF的极限振荡环,同理，当x (2) = 0输入后，,68,6.4.3 IIR DF的极限振荡环,从此以后在运算中经舍入处理后的输出都为0.001，不再衰减了，即n=3以后的输出总保持为0.001。 如果1/2，而是=-1
21、/2，则输出的绝对值仍和上面的一样，但符号则是交替的，这样就形成了等幅振荡（周期为2）。,69,6.4.3 IIR DF的极限振荡环,从上面的讨论可知，在n=3之后，虽然=1/2，但 对 作舍入处理后又进位为0.001，这实际上是将等效为1，即=1，即把传递函数的极点从单位圆内移到了单位圆上，所以呈现临界稳定情况。这种现象称为极限环振荡。,70,6.4.3 IIR DF的死带效应,上面我们讨论了在x(n)=0时的情况，下面讨论输入x(n) = C（常输入）时，输出的情况 死带效应。 设有一个IIR DF，极点在单位圆内，是稳定的。输入x(n)=C 当n相当大时，其输出 某定值y0某输出在一个区
22、间内取值 死带效应,无限精度运算,收敛,有限精度,从死带外不能进入死带之内逼近精确值，而在死带内可以随便停在任何给定的值。,71,6.4.3 IIR DF的死带效应,系统差分方程：,72,6.4.3 IIR DF的死带效应,死带范围y2：式中 ，q为量化步长， (1)从 的某数 进行迭代，则将停在 而不会逼近精确值y。(2)从 的某数 进行迭代，则 将略大于 而不会逼近精确值y。,73,6.4.3 IIR DF的死带效应,(3)从 的范围内以任意一个值 y 2 (0) 开始进行迭代，则 y 2就会停在给定的 y 2 (0) 这个值上。因此，死带效应：死带 从死带外不能进入死带之内逼近精确值，而在死带内则可以随便停在任何给定的值。,74,例,一个离散时间系统的差分方程为:给定 求在量化步长为 的情况下，系统的输出是多少？,75,例,解：设经多次迭代之后输出的精确值稳定为y，则有所以死带效应：所以,
