1、,1.1 函数,1.2 极限的概念,1.3 极限的四则运算法则 与函数的连续性,1.4 复利与贴现,学习目标,教学建议,第一章 函数与极限,一. 数列的极限,二. 函数的极限,1.2 极限的概念,三. 无穷小与无穷大,一. 数列的极限,案例1,战国时期哲学家:庄周,“一尺之棰，日取其半，万世不竭”,庄子 天下篇,即“一根长为一尺的棒头，每天截去一半，这样的过程可以无限地进行下去.”,实际上，每天截后剩下的棒的长度是（单位为尺）：,第3天剩下 ； ；,第1天剩下 ；,第2天剩下 ；,第21天剩下 ；,第 天剩下 ；,；,这样，我们就得到一列数,；,第22天剩下 ；,这一列数就是一个数列.,随着时
2、间的推移，剩下的棒的长度越来越短.显然, 当天数无限增大时, 剩下的棒的长度将无限缩短, 即剩下的棒的长度接近于数0.,这时我们就称由剩下的棒的长度构成的数列以常数0为极限.并记作,一般地，按正整数顺序排列的无穷多个数, 称为数列, 数列通常记作,定义1.2 设数列,第一项,第二项,第 项, 也称为通项或一般项,若当 无限增大时, 趋向于常数 , 则称数列 以 为 极限，记作,或,有极限的数列称为收敛数列.没有极限的数列称为发散数列.,当 无限增大时, 由于 无限接近于数0, 所以 无限接近于数1, 因此数列以1为极限. 即,数列,当 无限增大时, 也无限增大, 它不趋于任何常数, 该数列就没
3、有极限.,(1)数列,注意到 随着无限增大，它有确定的变化趋势，即取正值且无限增大，对这种情况，我们借用极限的记法表示它的变化趋势，记作,或,正无穷大,可分别记作,负无穷大,同样，对数列,无穷大,(2)数列 通项为 , 其数值 -1 和 +1 上跳来跳去，也不能接近某一常数，这样的数列也没有极限.,将数列 取值计算, 列表如下.考察其极限是否存在.,当无限增大时,练习1,数列增加得越来越慢,由上表可看出，该数列是单调增加的; 若再仔细分析表中的数值会发现, 随着 增大, 数列后项与前项的差值在减少, 而且减少得相当快.,这表明, 数列的通项 当无限增大时. 它将趋于一个常数.,可以推出, 该数
4、列 有极限, 且其极限为 ,即,是一个无理数, =2.718281828459.,在这里 作为函数的自变量.,若 取正值且无限增大, 记作,若 取负值且其绝对值无限增大, 记作,若 既取正值又取负值, 且其绝对值无限增大, 记作,这里，“当 时，函数 的极限”，就是讨论当自变量 的绝对值无限增大时，函数 的变化趋势.若 无限接近常数 , 就称当 趋于无穷大时，函数 以 为极限.,二. 函数的极限,案例2,图中竖轴表示学习中记住的知识数量，横轴表示时间(天数)，曲线表示记忆量变化的规律,德国心理学家:艾宾浩斯 (H.Ebbinghaus),这条曲线告诉人们在学习中的遗忘是有规律的, 遗忘的进程不
5、是均衡的, 到了相当长的时候后, 几乎就不再遗忘了, 这就是遗忘的发展规律. 该问题可理解为:当时间 趋于正无穷大时, 记忆的数量将以 为极限.,或,定义1.3 设函数 在 时有定 义, 若当 时, 函数 趋于常 数 , 则称函数 当 趋于无穷大时 以 为极限，记作,定义1.3的几何意义: 曲线沿着 轴的正向和负 向无限远伸时,与直线 越来越接近.此时,称直线 为曲线的水平渐近线.,例如, 由下图可知,它的左侧分支沿着轴的负 向无限远伸时,与直线 越来越接近,即以直线 为水平渐近线.,它的右侧分支沿着轴的正 向无限远伸时,与直线 越来越接近,即以直线 为水平渐近线.,一般地，对曲线 , 若,或
6、,则直线 是曲线的水平渐近线,或,若当 时, 函数 趋于常数 , 则称函数 当 趋于负无穷大时以 为极限, 记作,或,若当 时, 函数 趋于常数 , 则称函数 当 趋于正无穷大时以 为极限, 记作,极限 存在且等于 的充分必要条件是:,极限 与 都存在且等于 , 即,练习3 求,解 由图易看出,由极限存在的充分必要条件知,不存在.,曲线沿着 轴的负方向 无限延伸时, 以直线 为水平渐近线.,是一个定数.,若 且 趋于 , 记作,若 且 趋于 , 记作,若 和 同时发生, 则记作 .,这里，“当 时, 函数 的极限”, 就是在点 的左右邻近讨论当自变量 无限接近定数 (但不取 )时，函数 的变化
7、趋势 .,若当 趋于 时, 函数 的对应值趋于常数 , 则称当时, 函数 以为 极限.,相应的函数值的变化情况见表:,案例3,设函数 ,试讨论当 时，函数 的变化情况.,当 时, 函数,当 , 时, 函数,当 时, 函数,案例3,设函数 ,试讨论当 时，函数 的变化情况.,由图也可看出:,当 , 时, 函数 以2为极限，记作:,或,定义1.4 设函数 在 点 的左右邻近有定 义(在点 可以有定义, 也可以没有定义)若当(但 始终不等于 )时,函数 趋 于常数 , 则称函数 当 趋于无穷大时 以 为极限,记作,例如, 由图可知,另, 由右图可知,由左图可知,或,若当 时, 函数 趋于常数 , 则
8、称 函数 当 趋于 时以 为左极限, 记作,或,若当 时, 函数 趋于常数 , 则称 函数 当 趋于 时以 为右极限, 记作,都存在且等于 . 即,极限 存在且等于 的充分必要条件是左极限 与右极限,练习3,解 由图可看出,在 处, 函数 的左、右极限都存在, 但不相等,故 不存在,练习4,考察当 时, 的极限是否存在.,解 由图可看出,由于当 时, 有确定的变化趋势，这时也称当 时,的极限是负无穷大，并记作,当 时, 取负值, 且其绝对值无限增大, 即当 时 , 的极限不存在,该曲线在 轴右侧沿轴负方向无限延伸 时,与直线 无限 接近,称 为曲线 的铅垂渐近线.,一般地, 对曲线 , 若,或
9、,则直线 是曲线 的铅垂渐近线,以上我们引入了下述七种类型的极限, 即,说明,为了统一地论述它们共有的运算法则, 本书若不特别指出是其中的哪一种极限时, 将用 或 泛指其中的任何一种, 其中的 或 常称为变量.,三. 无穷小与无穷大,极限为零的变量称为无穷小.,（1）无限变小的量不是无穷小，应绝对值无限变小；,（3）在常量中,惟有数 0 是无穷小；,（2） 应先说明自变量的趋势；,（4）当 x0时, x，x2, 2x 都是无穷小。,(1) 两个无穷小的代数和仍是无穷小;,注意:无限多个无穷小量的和不一定是无穷小量,有限个,(2) 无穷小与有界变量的乘积是无穷小；,是有界变量:,于是, 由无穷小的运算性质(2), 便有,再如:,例如:当 x 时, 是无穷小, 而 ,(3) 有限个无穷小的乘积是无穷小;,(4) 无穷小与常量的乘积是无穷小.,绝对值无限增大的变量 y 称为无穷大.记作,lim y =.,练习,考察当 时, 的极限是否存在.,解 由图可看出,由于当 时, 有确定的变化趋势，这时也称当 时,的极限是负无穷大， 并记作,当 时, 取负值, 且其绝对值无限增大, 即当 时 , 的极限不存在,由无穷小与无穷大的定义可以得到二者之间有如下结论., (1) 若 y 是无穷大,则 是无穷小;,(2) 若 y 是无穷小且 y0, 则 是无穷大.,是无穷小,在同一变化过程中:,
