1、第二课时 参数方程【选题明细表】知识点、方法 题号参数方程与普通方程的互化 1参数方程及应用 3参数方程与极坐标方程的综合应用 2,41.(2018河南濮阳市一模)在直角坐标系 xOy 中,圆的参数方程为( 为参数),直线 C1的参数方程为 (t 为参数).(1)若直线 C1与圆 O 相交于 A,B,求弦长|AB|;(2)以该直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆 C2的极坐标方程为 =2cos +2 sin ,圆 O 和圆 C2的交点为 P,Q,求弦 PQ 所在直线的直角坐标方程.解:(1)由直线 C1的参数方程为 (t 为参数)消去参数 t,可得 x-y+1=
2、0,即直线 C1的普通方程为 x-y+1=0.圆的参数方程为 ( 为参数),根据 sin2+cos 2=1 消去参数 ,可得 x2+y2=2,那么圆心到直线的距离 d= = ,故得弦长|AB|=2 = .(2)圆 C2的极坐标方程为 =2cos +2 sin ,利用 2=x2+y2,cos =x,sin =y,可得圆 C2的普通方程为x2+y2=2x+2 y.因为圆 O 为:x 2+y2=2.所以弦 PQ 所在直线的直角坐标方程为 2=2x+2 y,即 x+ y-1=0.2.(2018福建南平市一模)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 co
3、s(+ )= ,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数).(1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程;(2)曲线 C 交 x 轴于 A,B 两点,且点 A 的横坐标小于点 B 的横坐标,P 为直线 l 上的动点,求PAB 周长的最小值.解:(1)因为直线 l 的极坐标方程为 cos(+ )= ,所以由直线 l 的极坐标方程,得 cos cos -sin sin = ,即 cos -sin =1,所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y=1,即 x-y-1=0.因为曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),所以由曲线 C 的参数方程得 C 的普通方程为(x-5) 2+y2=1.(2)由(1)知
4、曲线 C 表示圆心(5,0),半径 r=1 的圆.令 y=0,得 x=4 或 x=6,所以 A 点坐标为(4,0),B 点坐标为(6,0).作 A 关于直线 l 的对称点 A1得 A1(1,3),由题设知当 P 为 A1B 与 l 的交点时,PAB 的周长最小,所以PAB 周长的最小值为|AP|+|PB|+|AB|=|A 1B|+|AB|= +2.3.(2018安徽宿州市一模)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: (t为参数,tR),曲线 C2: ( 为参数,0,2).(1)以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,求曲线 C2的极坐标方程;(2)若曲线 C1与曲线
5、C2相交于点 A,B,求|AB|.解:(1)由 消去参数后得到其普通方程为 x2-4x+y2=0,把 x=cos ,y=sin 代入得 =4cos ,所以曲线 C2的极坐标方程为 =4cos .(2)法一 由消去参数后得到其普通方程为 x+y-3=0.曲线 C2是以(2,0)为圆心,以 2 为半径的圆,圆心到直线 C1的距离为 = ,所以弦长|AB|=2 =2 = .法二 把 C1:代入 x2-4x+y2=0 得 8t2-12t+1=0,则有 t1+t2= ,t1t2= ,则|t 1-t2|= = = ,根据直线方程的参数几何意义知|AB|=2 |t1-t2|= .4.(2017杭州调研)在直
6、角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数),若以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 = cos (+ ).(1)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长;(2)若 M(x,y)是曲线 C 上的动点,求 x+y 的最大值.解:(1)直线 l 的参数方程为 (t 为参数),消去 t,可得3x+4y+1=0,由于 = cos (+ )= ( cos - sin ),即有 2=cos -sin ,则有 x2+y2-x+y=0,其圆心为( ,- ),半径为 r= ,圆心到直线的距离 d= = ,故弦长为 2 =2 = .(2)可得曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),则设 M( + cos ,- + sin ),则 x+y= cos + sin =sin (+ ),由于 R,则 x+y 的最大值为 1.
