1、第 11 节 导数在研究函数中的应用第一课时 导数与函数的单调性【选题明细表】知识点、方法 题号判定函数的单调性、求单调区间 2,5,6,8由单调性理解导函数图象 1比较大小或解不等式 3,10,11由单调性求参数的取值范围 4,7,12由导数研究函数单调性的综合问题 9,13,14基础巩固(时间:30 分钟)1.已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( B )解析:由导函数的图象知,在-1,1上 f(x)0,故函数 f(x)在-1,1上是单调递增的.又因为在-1,0上 f(x)的值逐渐增大,在0,1上f(x)的值逐渐减小,所以
2、在-1,0上,f(x)的增长率逐渐增大,在0,1上 f(x) 的增长率逐渐变小.故选 B.2.函数 f(x)=x-ln x 的单调递减区间为( A )(A)(0,1) (B)(0,+)(C)(1,+) (D)(-,0)(1,+)解析:函数的定义域是(0,+),且 f(x)=1- = ,令 f(x)f(3)f() (B)f(3)f(2)f()(C)f(2)f()f(3) (D)f()f(3)f(2)解析:因为 f(x)=1+x-sin x,所以 f(x)=1-cos x,当 x(0,时,f(x)0,所以 f(x)在(0,上是增函数,所以 f()f(3)f(2).4.(2018山东淄博桓台二中月考
3、)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(2,+)上单调递增,则 k 的取值范围是( B )(A)(-,-2 (B) ,+)(C)2,+) (D)(-, )解析:f(x)=k- ,因为函数 f(x)=kx-ln x 在区间(2,+)上单调递增,所以 f(x)0 在区间(2,+)上恒成立.所以 k ,而 y= 在区间(2,+)上单调递减,所以 k ,所以 k 的取值范围是 ,+).5.(2018湖南长沙长郡中学月考)求形如 y=f(x)g(x)的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得 ln y=g(x)ln f(x),再两边同时求导得 y=g(x)ln f(x)+g(x) f(x
4、),于是得到y=f(x) g(x)g(x)ln f(x)+g(x) f(x),运用此方法求得函数 y= 的单调递增区间是( C )(A)(e,4) (B)(3,6)(C)(0,e) (D)(2,3)解析:由题设,y= (- ln x+ )= (x0).令 y0,得 1-ln x0,所以 00,则(-x 2+2)ex0,因为 ex0,所以-x 2+20,解得- 0,解得 a-3,所以实数 a 的取值范围是(-3,0)(0,+).答案:(-3,0)(0,+)8.已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,且 a=f( ).(1)求 a 的值;(2)求函数 f(x)的单调区间.解:(1)由 f(x)=
5、x3+ax2-x+c,得 f(x)=3x 2+2ax-1.所以 a=f( )=3( )2+2a -1,解得 a=-1.(2)由(1)可知 f(x)=x3-x2-x+c,则 f(x)=3x 2-2x-1=3(x+ )(x-1),令 f(x)0,解得 x1 或 x0 在 f(x)的定义域上恒成立,即 f(x)+f(x)0 在 f(x)的定义域上恒成立.对于选项 A,f(x)+f(x)=2 -x-2-xln 2=2-x(1-ln 2)0,符合题意.经验证,选项 B,C,D 均不符合题意.故选 A.10.(2018惠州调研)已知函数 f(x)=xsin x+cos x+x2,则不等式 f(ln x)+
6、f(ln )0,所以 f(x)在(0,+)上单调递增,在(-,0)上单调递减,所以 f(ln x)2f(0),f(2)e2f(0)(C)f(ln 2)e2f(0)(D)f(ln 2)2f(0),f(2)0,20,故 g(ln 2)0,即 x(x+2)ex0,得 f(x)在区间(-,-2),(0,+)上单调递增,在区间(-2,0)上单调递减.(3)由(2)知,f(x)在区间(-2,0)上单调递减,在区间(0,2)上单调递增,fmin(x)=f(0)=0.当 x-2,2时,不等式 f(x)2a+1 能成立,须 2a+1f min(x),即 2a+10,故 a- .故 a 的取值范围为- ,+).1
7、4.已知函数 f(x)=exln x-aex(aR).(1)若 f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线 y= x+1 垂直,求 a 的值;(2)若 f(x)在(0,+)上是单调函数,求实数 a 的取值范围.解:(1)f(x)=e xln x+ex -aex=( -a+ln x)ex,f(1)=(1-a)e,由(1-a)e =-1,得 a=2.(2)由(1)知 f(x)=( -a+ln x)ex,若 f(x)为单调递减函数,则 f(x)0 在 x0 时恒成立,即 -a+ln x0 在 x0 时恒成立.所以 a +ln x 在 x0 时恒成立.令 g(x)= +ln x(x0),则 g(x)=- + = (x0),由 g(x)0,得 x1;由 g(x)0 时恒成立,即 -a+ln x0 在 x0 时恒成立,所以 a +ln x 在 x0 时恒成立,由上述推理可知 a1.故实数 a 的取值范围是(-,1.
