1、第 3 节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题【选题明细表】知识点、方法 题号二元一次不等式(组)表示的平面区域 2,6,8线性目标函数的最值(或范围) 1,3,7非线性目标函数的最值(或范围) 4,13含参数的线性规划问题 5,12线性规划的实际应用与综合应用 9,10,11基础巩固(时间:30 分钟)1.(2017全国卷)设 x,y 满足约束条件则 z=2x+y 的最小值是( A )(A)-15 (B)-9 (C)1 (D)9解析:先作出满足约束条件的平面区域.因为 z=2x+y,所以 y=-2x+z,向下平移,过 A 点时 z 最小,z=2(-6)-3=-15.选 A.2.(201
2、8梅州模拟)在坐标平面内,不等式组 所表示的平面区域的面积为( B )(A)2 (B) (C) (D)2解析: 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易得 A( , ),B(3,4),C(1,0),D(-1,0),故 SABC = CD(4- )= 2 = .3.(2017全国卷)设 x,y 满足约束条件则 z=x-y 的取值范围是( B )(A)-3,0 (B)-3,2(C)0,2 (D)0,3解析: 作出可行域和直线 l:y=x 平移直线 l,当过点 M(2,0)时,z max=2-0=2,当过点 N(0,3)时,z min=0-3=-3,所以 z 的范围是-3,2,故选 B.4.
3、(2018宜昌模拟)设实数 x,y 满足不等式组 则 =的取值范围是( B )(A)(- ,1)(B)- ,1)(C)( ,1) (D) ,1)解析:作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,由于 可以看作直线的斜率形式,于是问题可以转化为求可行域内的哪些点与点 A(-1,1)连线的斜率最大、最小问题.如图,当直线过点 B(1,0)时,斜率最小,此时 = =- ;当直线与 x-y=0 平行时,斜率最大,此时 =1,但它与阴影区域无交点,取不到.故 = 的取值范围是 - ,1.故选 B.5.(2018上饶模拟)x,y 满足约束条件若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值
4、为( D )(A) 或-1 (B)2 或(C)2 或 1 (D)2 或-1解析: 作出可行域(如图),为ABC 内部(含边界).由题设 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一可知:线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合.由 kAB=-1,kAC=2,kBC= 可得 a=-1 或 a=2 或 a= ,验证:a=-1 或a=2 时,成立;a= 时,不成立.故选 D.6.(2018泉州模拟)已知 M,N 是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点,则|MN|的最大值是( B )(A) (B) (C)3 (D)解析: 由题意作出可行域,如图所示.当|MN|=|AC|或|MN|=|BD|时,|MN|能
5、取得最大值.可求得 A 点坐标为( , ),B 点坐标为(1,2),C 点坐标为(1,1),D 点坐标为(5,1),所以|AC|= = = ,|BD|= = .因为 ,所以|MN|的最大值为 .故选 B.7.(2018浙江卷)若 x,y 满足约束条件 则 z=x+3y 的最小值是 ,最大值是 . 解析:不等式组所表示的平面区域如图所示,当 时,z=x+3y 取最小值,最小值为-2;当 时,z=x+3y 取最大值,最大值为 8.答案:-2 88.(2018台州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组所表示的区域内一动点,则|OM|的最小值是 . 解析:不等式组表示的平面区域如图所示,|
6、OM|表示区域内的点到坐标原点的距离,其最小值为 O 到直线 x+y-2=0的距离,所以|OM| min= = .答案:能力提升(时间:15 分钟)9.(2018宿州模拟)某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( C )(A)31 200 元 (B)36 000 元(C)36 800 元 (D)38 400 元解析:设租 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,租金为 z 元,则 即
7、画出可行域(图中阴影区域中的整数点),则目标函数 z=1 600x+2 400y 在点 N(5,12)处取得最小值 36 800 元.10.(2018盐城模拟)已知集合 表示的平面区域为 ,若在区域 内任取一点 P(x,y),则点 P 的坐标满足不等式 x2+y22 的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:画出平面区域 ,即OAB 的内部及边界,x 2+y22 表示的区域为以原点 O 为圆心,半径为 的圆的内部及边界,如图,由 得 A(4,-4).由 得 B( , ).则|OA|=4 ,|OB|= ,且AOB= ,于是 SOAB = 4 = .而扇形的面积为 ( )2= .故所求
8、的概率为 P= = .11.设 x,y 满足约束条件 则下列不等式恒成立的是( C )(A)x3 (B)y4(C)x+2y-80 (D)2x-y+10解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由图象可知x2,y3,A,B 错误;点(3,8)在可行域内,但不满足 2x-y+10,D 错误;设z=x+2y,y=- x+ z,由图象可知当其经过点(2,3)时,z 取得最小值 8,故x+2y-80.故选 C.12.(2018亳州模拟)设不等式组 所表示的平面区域为 M,若函数 y=k(x+1)+1 的图象经过区域 M,则实数 k 的取值范围是( D )(A)3,5 (B)-1,1(C)-1,3
9、(D)- ,1解析:画出不 等式组 所表示的平面区域 M,如图中阴影部分所示,函数 y=k(x+1)+1 的图象表示一条经过定点 P(-1,1)的直线,当直线经 过区域 M 内的点 A(0,2)时斜率最大,为 1,当直线经过区域 M 内的点 B(1,0)时斜率最小,为- ,故实数 k 的取值范围是- ,1,故选D.13.(2018赣州模拟)若 x,y 满足|x|+|y|1,则 z= 的取值范围是 .解析:|x|+|y|1 表示的平面区域如图,由 z= = ,及斜率公式可知,其几何意义是平面区域内的点(x,y)与点(3,0)所在直线的斜率,由图可知,z min=kAP=- ,zmax=kBP= ,故 z 的取值范围是- , .答案:- ,
