1、第二节 空间几何体的表面积与体积【选题明细表】知识点、方法 题号空间几何体的侧面积与表面积 2,5,7,9空间几何体的体积 1,3,11,13与球有关的问题 6,10,12,14折叠与展开问题 4综合应用 8,15基础巩固(时间:30 分钟)1.(2017北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( D )(A)60 (B)30 (C)20 (D)10解析:由三视图知,该三棱锥的高为 4,底面是直角边长为 3和 5的直角三角形,所以 V= 4=10.选 D.2.(2016全国卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是
2、( A )(A)17 (B)18(C)20 (D)28解析:因为 R 3= ,所以 R=2.S= 4R 2+3 R 2=17,故选 A.3.(2018全国卷)在长方体 ABCD A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC 1与平面BB1C1C所成的角为 30,则该长方体的体积为( C )(A)8 (B)6 (C)8 (D)8解析:如图,连接 AC1,BC1,AC.因为 AB平面 BB1C1C,所以AC 1B为直线 AC1与平面 BB1C1C所成的角,所以AC 1B=30.又 AB=BC=2,在 RtABC 1中,AC1= =4,在 RtACC 1中,CC1= = =2 ,所以 V 长方体 =AB
3、BCCC1=222 =8 .故选 C.4.(2018全国卷)某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图.圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上,从 M到 N的路径中,最短路径的长度为( B )(A)2 (B)2 (C)3 (D)2解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点 M,N的位置如图所示.圆柱的侧面展开图及 M,N的位置(N 位于 OP的四等分点)如图所示,连接 MN,则图中 MN即为 M到 N的最短路径.ON= 16=4,OM=2,所以 MN= = =2 .故选 B.5.(2017福建南平模拟)如图,一个几何
4、体的三视图分别为两个等腰直角三角形和一个边长为 2的正方形(含一条对角线),则该几何体的侧面积为( B )(A)8(1+ ) (B)4(1+ )(C)2(1+ ) (D)1+解析:由已知中的三视图可得该几何体的直观图如图所示.底面为正方形,AB=AD=2,棱锥的高为 SA=2.SB=SD=2 ,CDSD,CBSB,所以 S 侧 =SSAB +SSAD +SSCB +SSCD=2SSAB +2SSCB=2 22+2 22=4+4 .故选 B.6.(2018福建模拟)已知三棱锥 D-ABC中,AB=BC=1,AD=2,BD= , AC=,BCAD,则该三棱锥的外接球的表面积为( B )(A) (B
5、)6(C)5 (D)8解析:由勾股定理易知 ABBC,因为 DABC,所以 BC平面 DAB.所以 CD= = .所以 AC2+AD2=CD2.所以 DAAC.取 CD的中点 O,由直角三角形的性质知 O到点 A,B,C,D的距离均为 ,其即为三棱锥的外接球球心.故三棱锥的外接球的表面积为 4 ( )2=6.7.已知圆锥的母线长为 2,高为 ,则该圆锥的侧面积是 . 解析:由圆锥的性质知其底面圆的半径为 =1,所以圆锥的侧面积为 S 侧 =rl=12=2.答案:28.(2018六安模拟)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸
6、,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是 寸. (注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于 十寸)解析:因为圆台的轴截面为等腰梯形,上底为 2.8尺,下底为 1.2尺,所以中位线为 =2,所以盆中积水的上底面半径为 1尺,所以盆中积水为V= h(S 上 +S 下 + )= 0.9(0.6 2+1 2+ )= 0.31.96=0.588.又盆口面积为 S=1.4 2=1.96 .所以平地降水量为 =0.3尺=3 寸.答案:3能力提升(时间:15 分钟)9.(2016全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面
7、积为( B )(A)18+36 (B)54+18(C)90 (D)81解析:由三视图知此多面体是一个斜四棱柱,其表面积 S=2(33+36+33 )=54+18 .故选 B.10.(2018合肥模拟)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥 S-ABCD,该四棱锥的体积为 ,则该半球的体积为( A )(A) (B) (C) (D) 解析:设所给半球的半径为 R,则棱锥的高 h=R,底面正方形中有AB=BC=CD=DA= R,所以其体积 R3= ,则 R3=2 ,于是球的体积为 V= R 3= ,则半球的体积为 V= .11.(2018日照一模)如图
8、,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( A )(A) (B) (C) (D) 解析:该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个 圆锥,然后挖掉一个相同的 圆锥,所以该几何体的体积和半球的体积相等.由题图可知,球的半径为 2,则 V= r 3= .故选 A.12.(2018全国卷)设 A,B,C,D是同一个半径为 4的球的球面上四点,ABC 为等边三角形且其面积为 9 ,则三棱锥 D ABC体积的最大值为( B )(A)12 (B)18(C)24 (D)54解析:由等边ABC 的面积为 9 可得 AB2=9 ,所以 AB=6,所以等边ABC 的外接圆的半径
9、为 r= AB=2 .设球的半径为 R,球心到等边ABC 的外接圆圆心的距离为 d,则 d= =2.所以三棱锥 D-ABC高的最大值为 2+4=6,所以三棱锥 D-ABC体积的最大值为 9 6=18 .故选 B.13.(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为 30,若SAB 的面积为 8,则该圆锥的体积为 .解析:在 RtSAB 中,SA=SB,S SAB = SA2=8,解得 SA=4.设圆锥的底面圆心为 O,底面半径为 r,高为 h,在 RtSAO 中,SAO=30,所以 r=2 ,h=2,所以圆锥的体积为 r 2h= (2 )22=8.答案
10、:814.(2017全国卷)已知三棱锥 S ABC的所有顶点都在球 O的球面上,SC 是球 O的直径.若平面 SCA平面 SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥 S-ABC的体积为 9,则球 O的表面积为 . 解析:O 为球心,SBC,SAC 为等腰直角三角形,SAC=SBC=90.AOSC.BOSC.所以AOB 为二面角 A-SC-B的平面角,又因为平面 SCA平面 SCB,所以AOB=90,且 SC平面 AOB,设球的半径为 r,SAOB = r2,= +VC-AOB=2=2 SAOB SO=2 r2r= ,所以 =9,所以 r=3.所以球的表面积为 S 球 =4r 2=36.答案:3615.(2018兰州模拟)已知正三角形 ABC三个顶点都在半径为 2的球面上,球心 O到平面 ABC的距离为 1,点 E是线段 AB的中点,过点 E作球 O的截面,则截面面积的最小值是 . 解析:由题意知,正三角形 ABC的外接圆半径为 = ,因为球心 O在ABC 内的投影为ABC 的重心,所以 AB= ,所以 AB=3,过点 E的截面面积最小时,截面是以 AB为直径的圆,截面面积 Smin=( )2= .答案:
