1、第 5 节 直线、平面垂直的判定与性质【选题明细表】知识点、方法 题号与垂直有关的命题判断 1,2,3直线与平面垂直的判定与性质 4,7,9平面与平面垂直的判定与性质 5,10,13垂直关系的综合问题 11,12,14基础巩固(时间:30 分钟)1.“直线 l 垂直于平面 ”的一个必要不充分条件是( D )(A)直线 l 与平面 内的任意一条直线垂直(B)过直线 l 的任意一个平面与平面 垂直(C)存在平行于直线 l 的直线与平面 垂直(D)经过直线 l 的某一个平面与平面 垂直解析:若直线 l 垂直于平面 ,则经过直线 l 的某一个平面与平面 垂直,当经过直线 l 的某一个平面与平面 垂直时
2、,直线 l 垂直于平面 不一定成立,所以“经过直线 l 的某一个平面与平面 垂直”是“直线 l 垂直于平面 ”的必要不充分条件.故选 D.2.若平面 , 满足 ,=l,P,Pl,则下列命题中是假命题的为( B )(A)过点 P 垂直于平面 的直线平行于平面 (B)过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 内(C)过点 P 垂直于平面 的直线在平面 内(D)过点 P 且在平面 内垂直于 l 的直线必垂直于平面 解析:由于过点 P 垂直于平面 的直线必平行于平面 内垂直于交线的直线,因此也平行于平面 ,因此 A 正确.过点 P 垂直于直线 l 的直线有可能垂直于平面 ,不一定在平面 内,因此 B 不
3、正确.根据面面垂直的性质定理知,选项 C,D 正确.3.(2018岳阳模拟)已知 , 表示平面,m,n 表示直线,m,给出下列四个结论:n,n;n,mn;n,mn;n, mn.则上述结论中正确的个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由于 m,所以 m 或 m.n,n 或n, 斜交或 n,不正确;n,mn,正确;n,mn或 m,n 相交或互为异面直线,不正确;正确.故选 B.4.如图所示,已知ABC 为直角三角形,其中ACB=90,M 为 AB 中点,PM 垂直于ABC 所在平面,那么( C )(A)PA=PBPC(B)PA=PBPC(C)PA=PB=PC(D)PAPBPC
4、解析:因为在 RtABC 中,M 为斜边的中点,所以 MB=MC=MA.又因为 PM 垂直于ABC 所在平面,所以 PB=PC=PA.5.(2018锦州模拟)如图,四边形 ABCD 中,ADBC,AD=AB,BCD= 45,BAD=90,将ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD.则在三棱锥 A-BCD 中,下列命题正确的是( D )(A)AD平面 BCD (B)AB平面 BCD(C)平面 BCD平面 ABC (D)平面 ADC平面 ABC解析:在四边形 ABCD 中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,所以 BDCD,又平面 ABD平面 BCD
5、,且平面 ABD平面 BCD=BD,所以 CD平面 ABD,所以 CDAB,又 ADAB,ADCD=D,故 AB平面 ADC,又 AB平面 ABC,从而平面 ABC平面 ADC.6.(2018开封模拟)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱长为 2,AC= BC=1,ACB=90,D 是 A1B1的中点,F 是 BB1上的动点,AB 1,DF 交于点 E.要使 AB1平面 C1DF,则线段 B1F 的长为( A )(A) (B)1(C) (D)2解析:设 B1F=x,因为 AB1平面 C1DF,DF平面 C1DF,所以 AB1DF.由已知可得 A1B1= ,设 RtAA 1B1斜边 AB
6、1上的高为 h,则 DE= h.又 2 =h ,所以 h= ,DE= .在 RtDB 1E 中,B 1E= = .由面积相等得 = x,得 x= .7.(2018鄂尔多斯模拟)在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,E,F 分别是棱AB,BC 的中点,O 是底面 ABCD 的中心(如图),则 EF 与平面 BB1O 的关系是 . 解析:由正方体的性质知,ACBD,BB 1AC,因为 E,F 分别是 AB,BC 的中点,所以 EFAC,所以 EFBD,EFBB 1,又 BDBB 1=B,所以 EF平面 BB1O.答案:垂直8.(2018临汾模拟)在ABC 中,ACB=90,AB=8,ABC=6
7、0,PC平面 ABC,PC=4,M 是 AB 上一个动点,则 PM 的最小值为 . 解析:因为 PC平面 ABC,CM平面 ABC,所以 PCCM.所以 PM= .要使 PM 最小,只要 CM 最小,此时应有 CMAB.因为 AB=8,ABC=60,ACB=90.所以 BC= AB=4,AC=4 .所以 CM= =2 .所以 PM= =2 .即 PM 的最小值为 2 .答案:2能力提升(时间:15 分钟)9.(2018泉州质检)如图,在下列四个正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过 E,F,G 作正方体的截面,则在各个正方体中,直线 BD1与平面 EFG 不垂直的
8、是( D )解析:如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M,N,Q 均为所在棱的中点,是一个平面图形,直线 BD1平面 EFMNQG,选项 A,B,C 中的平面均与平面EFMNQG 重合,只有 D 中平面 EFG 不与该平面重合,故选 D.10.如图,在三棱锥 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列命题中正确的有 (写出全部正确命题的序号). 平面 ABC平面 ABD;平面 ABD平面 BCD;平面 ABC平面 BDE,且平面 ACD平面 BDE;平面 ABC平面 ACD,且平面 ACD平面 BDE.解析:由 AB=CB,AD=CD 知 AC
9、BE,ACDE,从而 AC平面 BDE,故正确.其他均不正确.答案:11.(2018南宁模拟)如图,将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得平面 ADC平面 ABC,在折起后形成的三棱锥 D ABC 中,给出下列三个命题:DBC 是等边三角形;ACBD;三棱锥 D ABC 的体积是 .其中正确命题的序号是 .(写出所有正确命题的序号) 解析:取 AC 的中点 O,连接 OD,OB.则 ACOD,ACOB,所以BOD=90,所以 BD=1=CD=BC,故正确;易知 AC平面 BOD,所以 ACBD,故正确; = 11 = ,故不正确.答案:12.(2018宿迁模拟)假设平面
10、平面 =EF,AB,CD,垂足分别为 B,D,如果增加一个条件,就能推出 BDEF,现有下面四个 条件:AC;AC 与 , 所成的角相等;AC 与 BD 在 内的射影在同一条直线上;ACEF.其中能成为增加条件的是 .(把你认为正确的条件序号都填上) 解析:如果 AB 与 CD 在一个平面内,可以推出 EF 垂直于该平面,又 BD 在该平面内,所以 BDEF.故要证 BDEF,只需 AB,CD 在一个平面内即可,只有能保证这一条件.答案:13.(2018全国卷)如图,矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直,M 是 上异于 C,D 的点.(1)证明:平面 AMD平面 BMC;(2)在线段
11、 AM 上是否存在点 P,使得 MC平面 PBD?说明理由.(1)证明:由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD,所以 BC平面 CMD,故 BCDM.因为 M 为 上异于 C,D 的点,且 DC 为直径,所以 DMCM.又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.(2)解:当 P 为 AM 的中点时,MC平面 PBD.证明如下:连接 AC 交 BD 于 O.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 AC 的中点.连接 OP,因为 P 为 AM 的中点,所以 MCOP.又 MC平面 PBD,OP平面 PB
12、D,所以 MC平面 PBD.14.四面体 ABCD 中,ABC 是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD 是直角三角形,AB=BD.若 E 为棱 BD上与 D 不重合的点,且 AEEC,求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体 积比.(1)证明:取 AC 中点 O,连接 OD,OB,因为 AD=CD,O 为 AC 中点,所以 ACOD,又因为ABC 是等边三角形,所以 ACOB,又因为 OBOD=O,所以 AC平面 OBD,又 BD平面 OBD,所以 ACBD.(2)解:设 AD=CD=2,所以 AC=2 ,AB=CB=2 ,又因为 AB=BD,所以 BD=2 ,所以ABDCBD,所以 AE=EC,又因为 AEEC,AC=2 ,所以 AE=EC=2,在ABD 中,设 DE=x,根据余弦定理cosADB= ,所以 = .解得 x= ,所以点 E 是 BD 的中点,则 = ,所以 =1.
