1、第 5节 双曲线【选题明细表】知识点、方法 题号双曲线的定义和标准方程 1,2,7,10双曲线的几何性质 3,4,5,8,11双曲线的综合问题 6,9,12,13基础巩固(时间:30 分钟)1.已知 F1,F2是双曲线 x2- =1的两个焦点,过 F1作垂直于 x轴的直线与双曲线相交,其中一个交点为 P,则|PF 2|等于( A )(A)6 (B)4 (C)2 (D)1解析:由题意令|PF 2|-|PF1|=2a,由双曲线方程可以求出|PF 1|=4,a=1,所以|PF 2|=4+2=6.故选 A.2.(2018黑龙江模拟)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线方程是 y= x,它的一
2、个焦点坐标为(2,0),则双曲线的方程为( C )(A) - =1 (B) - =1(C)x2- =1 (D) -y2=1解析:双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线方程是 y= x,可得 = ,它的一个焦点坐标为(2,0),可得 c=2,即 a2+b2=4,解得 a=1,b= ,所求双曲线方程为 x2- =1.故选 C.3.(2018辽宁辽南协作校一模)设 F1和 F2为双曲线 - =1(a0,b0)的两个焦点,若 F1,F2,(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是( B )(A)y= x (B)y= x(C)y= x (D)y= x解析:因为|F 1F2|=2c,点(
3、0,2b)到 F2的距离为 ,所以 2c= ,所以 4c2=4b2+c2,即 3c2=4b2,所以 3c2=4(c2-a2),得 c=2a,所以 b= = a.所以双曲线的渐近线方程为 y= x,即 y= x,选 B.4.(2018全国卷)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的离心率为 ,则点(4,0)到 C的渐近线的距离为( D )(A) (B)2 (C) (D)2解析:由题意,得 e= = ,c2=a2+b2,得 a2=b2.又因为 a0,b0,所以 a=b,渐近线方程为 xy=0,点(4,0)到渐近线的距离为 =2 .故选 D.5.(2017湖南娄底二模)给出关于双曲线的三个命题:双
4、曲线 - =1的渐近线方程是 y= x;若点(2,3)在焦距为 4的双曲线 - =1上,则此双曲线的离心率 e=2;若点 F,B分别是双曲线 - =1的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段 FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:双曲线 - =1的渐近线方程是 y= x,故错误;双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),2a=| - |=2,a=1,从而离心率 e= =2,所以正确;F(c,0),B(0,b),FB 的中点坐标( , )均不满足渐近线方程,所以正确.故选 C.6.(2018四川成都二诊)已知 A,B是双曲线 E
5、的左、右焦点,点 C在E上,ABC= ,若( + ) =0,则 E的离心率为( D )(A) -1 (B) +1(C) (D)解析:因为( + ) =0,所以 = ,又ABC= ,所以 BC=2c,AC=2 c,所以 2 c-2c=2a,所以 e= = = .故选 D.7.已知圆 C1:(x+3)2+y2=1和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M同时与圆 C1及圆 C2相外切,则动圆圆心 M的轨迹方程为 . 解析:如图所示,设动圆 M与圆 C1及圆 C2分别外切于 A和 B.根据两圆外切的条件,MC2-MC1=BC2-AC1=2,所以点 M到两定点 C1,C2的距离的差是常数且小于 C1
6、C2.又根据双曲线的定义,得动点 M的轨迹为双曲线的左支(点 M与 C2的距离大,与 C1的距离小),其中 a=1,c=3,则 b2=8.故点 M的轨迹方程为 x2- =1(x-1).答案:x 2- =1(x-1)8.(2018湖南两市九月调研)已知 F为双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点,定点 A为双曲线虚轴的一个端点,过 F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在 y轴右侧的交点为 B,若 =3 ,则此双曲线的离心率为 .解析:根据题意知 F(-c,0),A(0,b).设 B(x0,y0),由 =3 得(x 0,y0-b)=3(c,b),则 4b= 3c.所以 e= = .答案:能力提升(
7、时间:15 分钟)9.(2018四川模拟)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点到抛物线y2=2px(p0)的准线的距离为 2,点(5,2 )是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,则双曲线的标准方程为( B )(A) - =1 (B) - =1(C) - =1 (D) - =1解析:双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点为(-c,0),双曲线的左焦点到抛物线 y2=2px(p0)的准线 l:x=- 的距离为 2,可得 c- =2,点(5,2 )是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,可得 20=10p,即 p=2,c=3,双曲线的渐近线方程为 y= x,可得 2 a=5b,且 a2+b2
8、=c2=9,解得 a= ,b=2,则双曲线的标准方程为 - =1.故选 B.10.(2018云南五市联考)设 P为双曲线 x2- =1右支上一点,M,N 分别是圆(x+4) 2+y2=4和(x-4) 2+y2=1上的点,设|PM|-|PN|的最大值和最小值分别为 m,n,则|m-n|等于( C )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:易知双曲线的两个焦点分别为 F1(-4,0),F2(4,0),恰为两个圆的圆心,两个圆的半径分别为 2,1,所以|PM| max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF 1|+2)-(|PF2|-1)=(|PF
9、1|-|PF2|)+3=5,同理|PM|-|PN|的最小值为(|PF 1|-2)-(|PF2|+1)=(|PF1|-|PF2|)-3=-1,所以|m-n|=6,故选 C.11.(2018湖北省重点高中联考)已知双曲线 C - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若|PF 1|-|PF2|=2a, = ,且OMF 2为等腰直角三角形,则双曲线 C的离心率为( B )(A) (B) +1(C) (D)解析:双曲线中,|PF 1|-|PF2|=2a,所以 P点在双曲线右支上,= ,则 M为 PF2的中点,所以在OMF 2中,|OM|MF2|,所以MF 2O=90,又OMF 2为等腰直角
10、三角形,所以|PF 2|=|F1F2|=2c,|PF1|=2 c,所以 2 c-2c=2a,所以 e= +1.故选 B.12.(2018天津卷)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A,B两点.设 A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为( C )(A) - =1 (B) - =1(C) - =1 (D) - =1解析:如图,不妨设 A在 B的上方,则 A(c, ),B(c,- ).其中的一条渐近线为 bx-ay=0,则 d1+d2= =2b=6,所以 b=3.又由 e= =2,知 a2+b2=4a2,所以 a= .所以双曲线的方程为 - =1.故选 C.13.(2018沈阳质量监测)已知 P是双曲线 -y2=1上任意一点,过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为 A,B,则 的值是 . 解析:设 P(x0,y0),因为该双曲线的渐近线分别是 -y=0, +y=0,所以可取|PA|= ,|PB|= ,又 cosAPB=-cosAOB=-cos =- ,所以 =| | |cosAPB= (- )= (- )=- .答案:-
