1、1第三章 向 量 空 间I 考试大纲要求1、考试内容：向量的概念；向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的线性相关；向量组的极大无关组和秩；矩阵的秩； 向量的内积、正交矩阵及其性质、线性无关向量组的正交规范化方法.数一还要求：向量空间的概念、基和坐标、基变换、过度矩阵和坐标变换、规范正交基.2、考试要求：1、理解 维向量的概念，向量的线性组合和线性表示.了解向n量组的等价概念.2、理解向量组的线性相关和线性无关的定义，掌握向量组的线性相关和线性无关的有关性质及判别法.3、理解向量组的极大线性无关组和秩的概念，理解矩阵的秩的概念及其与行秩和列秩的关系，掌握求矩阵的秩及向量组的极大线性无关
2、组和秩的方法.4、理解内积和正交矩阵的概念.5、掌握施密特正交化方法.数一还要求：6、理解 维向量空间，子空间，维数，基，坐标等概念.n7、理解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.8、理解规范正交的概念及性质.2II 重要知识点一、向量1、向量的定义 由 个实数 组成的有序数组 称为 维行向量，记作nna,21 ),(21na，其中 称为向量 的第 个分量.同样也可定),(21na),21(nii义 维列向量 .Tnb,212、向量的运算（1） 向量的相等：设 ， ，若 ，),(21na),(21nb),21(nibai则称它们相等，记作 .（2） 零向量： .)0,(（3） 负向量：设 ，令
3、 ，叫作 的负向),21na),(21na量.（4） 向量的加法运算及数乘运算：设 ， 定义：),(21na),(21nb， .,2nb ),(21nkak（5） 向量的加法及数乘满足的运算规律：交换律： ； 结合律： ；)()( ； ； 0 0)( ； ；kk)( lkl ； .ll 1还可推出以下规律：， ， 及若 ，则 或 .0)1(0k0kk03二、线性方程组的基本概念及表达形式非齐次线性方程组的一般形式： (I)mnmnbxaxa 2122 121 A= = ， .mnmnaa 212112Amnmnba 22121 mjjjmnabx212121,叫作(I)的系数矩阵， 叫作(I)
4、的增广矩阵.(I)还可改写为矩阵方程的形式： Ax和向量形式： .nx21齐次线性方程组的一般形式： (II)0 21221nmmxaxa (II)叫作(I)的导出组，其矩阵形式为： A向量形式为： 21 nxx三、向量的线性相关性1、线性组合： （向量形式）.skk21非齐次线性方程组 （矩阵形式）是否有解，相当于 是否可AX由 的列向量线性表示.其中 .A ),(21s2、线性相关与线性无关：设 为一组 维向量，如果存在一组不全s,21 n为零的数 使得 （向量形式）成立，则称向sk,21 0 skk量组 线性相关；如果上述等式仅当 时成立，则s, 021sk称向量组 线性无关.s,21齐
5、次线性方程组 （矩阵形式）是否有非零解，相当于 的列向0AX A4量组是否线性相关.其中 .),(21sA3、基本定理：定理 1 向量组 线性相关 中至少有一个向量可由其m,21 m,21余的 个向量线性表示（逆否命题）.定理 2 若向量组 线性无关，则向量组 线性相关 m,21 ,21m 可由 线性表示，且表示法唯一（逆否命题） .定理 3 若 线性相关，则 也线性相关（逆否）r,21 mr,121 .定理 4 若向量组 线性无关，则在相同位置随意扩充向量组各向m,21量的分量，所得向量组仍线性无关（逆否命题）.定理 5 设 和 是两个向量组，如果r,21 s,21向量组 可以经 线性表出；
6、 .r s,21 sr那么向量组 必线性相关.r,21定理 如果向量组 可以经 线性表出，且向量组5 r,21 s,21线性无关，那么 .r,21 s定理 6向量组的个数大于向量组的维数，则此向量组线性相关（逆否命题）.定理 7 个 维向量线性无关 由它们所构成的矩阵对应的行列式不等于n零（逆否命题）.四、向量组的秩和矩阵的秩1、极大线性无关组：设 为一个 维向量组，如果向量组中有 个向s,21 nr量线性无关，且任意 个向量线性相关，则称这 个线性无关的向量为向r r量组 的一个极大线性无关组.s,21若 是 的线性无关部分组，它是极大线性无关组rjj21 s,215的充分必要条件是： 中每
7、一个向量都可由 线性表示.s,21 rjj,212、向量组的等价性：设有向量组 和 ，如果向量rI,:)(21 sI:)(组 中每一个向量都可由向量组 线性表示，则称向量组 可以由向量)(I )(I组 线性表示. 如果向量组 和向量组 可以互相线性表示，则称向)(I)(I量组 和向量组 等价，记为 .)(I)(I ,21r ,21s向量组等价具有性质：反身性、对称性、传递性.3、向量组的秩：向量组 的极大线性无关组中所含向量的个数称为s,21此向量组的秩，记作秩 或 .)(s ),(21sr4、极大线性无关组和向量组秩的性质：（1）任何向量组和它的极大线性无关组等价，从而同一向量组的所有极大无
8、关组之间等价.（2） 等价的线性无关组所含向量的个数相等，从而等价的向量组的秩相等.（3） 若向量组 的秩为 ，则这个向量组中任意 个线无关的部分s,21 rr组都是这个向量组的一个极大线性无关组.（4） 若向量组 可以由向量组 线性表示，则秩 秩 .)(I)(I)(I)I（5） 若两个向量组的秩相等，且其中一个向量组可由另外一个向量组线性表示，则这两个向量组等价.（6） 可由 线性表示 .s,21 1212(,)(,)s srr （7） 可由 唯一线性表示 .s s s （8） 可由 线性表示12,t s,2112()(,)st srr （9）若 线性无关，且 ，则s,21 12,(,)t
9、sA .12(,)(trrA5、矩阵的秩：设 ，则矩阵 的行向量组的秩和列向量组的秩相等，nmija)(A6统称为矩阵 的秩，记为秩 或 .也可用行列式来定义： 的充A)(Ar rA)(要条件是：矩阵 中至少有一个 阶子式不等于零，而所有 阶子式都等1r于零.初等变换不改变矩阵的秩.若两个向量个数相同的向量组 和 使得向量方程12,s 12,s和 同解，即齐次线性方程组120sxx 120sx和 同解，则称这两个向量组有相同线性关系.(,)sX 2(,)sX当向量组 和 有相同线性关系时，1s 12,s（1） 它们对应的任何一个部分组有相同的线性相关性.（2） 它们的极大线性无关组相对应，从而
10、它们的秩相等.（3）它们有相同的内在线性关系表示式.定理 初等行变换不改变矩阵的 行秩，也不改变矩阵的 列向量之间的线性关系，进而不改变矩阵的列秩.证明：设矩阵 经过一次初等行变换化为矩阵 ， 的行()ijmnAa ()ijmnBbA向量组为： ，则 的行向量组为：12,ij B，或 ，或12,jim 12,ijmk ，无论是那种情形 的行向量组和 的行向量组都,ijjk A等价，故初等行变换不改变矩阵的行秩.矩阵 经过一次初等行变换化为矩阵 ，体现在齐次线()ijmnAa ()ijmnBb性方程组 和 上，相当于 经过了一次线性方程组的初等变0XB0AX换化为 ，故 和 同解，再设 和 的列
11、向量组分别为： 和 ，则这两个齐次线性方程组的向量形式：12,n 12,n和 同解，从而 和0xx 120nxx 12,n有相同的线性关系，有相同的秩，进而 和 的列秩相等. 12,n AB同样初等列变换不改变矩阵的列秩，也不改变矩阵的行向量之间的线7性关系，进而不改变矩阵的行秩. 12122212 10000n n rmmnmaab EOA B 显然 的秩、行秩、列秩三者相等，因此矩阵 的秩、行秩、列秩三者相等.B A6、向量组的秩和矩阵的秩的计算矩阵秩的计算：用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩.向量组的极大线性无关组和秩的计算：用向量组 的各个分量12,
12、s作为一个矩阵 的列，并且只用初等行变换将此矩阵化为阶梯形矩阵 ，由A B于 和 同解，故 的列向量组和 的列向量组有相同线性关系，0XBB从而它们的极大线性无关组相对应，秩相等.因此此阶梯形矩阵 的非零行数就是这个向量组的秩，并此阶梯形矩阵的各台角所在列号对应的部分组便是极大线性无关组.进一步只用初等行变换将此矩阵化到最简形式 ，同C样 的列向量组和 的列向量组有相同线性关系，故它们的极大线性无关组AC相对应且有相同的内在线性关系表示式，进而得到 由这个极大线12,s性无关组线性表示的表达式.7、向量的内积、长度及正交定义 在 中，设 ， ，定义 与 的内积为nR12(,)na 12(,)n
13、b ，这是行向量的内积.12(,) Tnabb同样也可以定义列向量的内积，设 ， ，12(,)Tna 12(,)Tnb定义 与 的内积为： .12(,)nab于是两个实矩阵 和 的乘积也可以用内积表示出来，nmijA()ijsB设 的行向量组为： ， 的行向量组为：nmijaA)( 12,m ()ijns8，则12,s.1211211121222 2121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)ns smmnnnsmmsaabbAB 内积具有的基本性质：（1） ； （2） ；),(, ),(),(k（3） ； （4） .(,)00内积具有的其他性质：（1） ； （2） ；(,0), (,)(
14、,)k（3） ； （4） .,(,),111, (,)rsrsij ijijijlkl向量的长度： . .221, naaa 2(,),k显然 ，当 ，取 ，则 ，令 是一个单位向量.0k10向量间的夹角： .2212211),(),(cos nnnbbaa 正交：若 ，则称 与 正交，记为 .12(,) 0Tnabb 例如： 维零向量和任何 维向量正交.n正交向量组：非零向量组 ，且两两正交.12,s定理 正交向量组必是线性无关的线性无关的向量组. 反之不成立. 标准正交向量组：向量组 各向量都是单位向量，且两两正交.12,s例如： 维基本单位向量组 .n12,n8、向量组的正交化方法（施密
15、特正交化方法）设 为一个 维线性无关向量组，令s,21， .1 19， .122),( 2 ， .121(,)(,)(,)ssss s s定理 是和 等价的正交向量组， 是和12,s s,21 12,s等价的标准正交向量组.s,219、正交矩阵定义 若 阶实矩阵 满足 ，则称 为正交矩阵.例如：n()ijnAaTAEA.E正交矩阵的性质：（1）若 为正交矩阵，则 ， 都是正交矩阵；A1TA（2）若 和 都是正交矩阵，则 也是正交矩阵；BB（3）若 为正交矩阵，则 ；1（4）方阵 为正交矩阵 的行（列）向量组为标准正交向量组.()ijnAaA（4）的证明：设 的行向量组为： ， 的列向量组为：1
16、2,n TA，则 为正交矩阵 ，即12,TTn TE，1212111121222 2121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)nn nTnnnnnnnaaaA E ，(,)(,)(,),()0ijij的行向量组 为标准正交向量组.A12,n设 为 中线性无关的列向量组，先将其正交化得n,21 R，再将其单位化得 ， ， .令n,21 12n，则 为正交矩阵.这是以后我们构造正交矩阵的主要方法.nQ,21Q1010、向量空间维向量空间 ：全体 维实向量构成的集合在向量的加法和数乘运算下nnR做成的向量空间.子空间：若 的非空子集 对 的加法和数乘运算封闭，则称 是 的一nRVnRVnR个子
17、空间.设 是 中一个向量组，令12,s，1212()| ,s ssVLkkk 则上述集合就是 的一个子空间，叫做由 生成的 的子空间.nR12,s nR如：齐次线性方程组的解空间就是由它的基础解系生成的 的子空间.基、维数、坐标： 维向量空间 的子空间 的一个极大线性无关组，叫nnRV做的一个基.基中所含向量的个数叫做 的维数，记为 .设V dimV12,s是 的一个基，则 中每一个向量 都可唯一的表示为V，则 维向量 叫做向量 在 的基12skk 12(,)sk12,s下的坐标.如果 的一个基 是标准正交组，则称 是 的V12,s 12,s V一个标准（规范）正交基.若 在 的基 下的坐标分
18、别V12,s， ，则 在 的基 下的坐标分别12(,)sk 12(,)sll ,ks， .如： 个未知数的齐次线性方程组,sk 2,)sl n的解空间的维数为 ，它的基础解系便是它的一个基.AXO(nrA过渡矩阵、坐标转换公式：设 和 都是 的基.而12,s 12,s V，令 ，1212212ssssaa 1212sssaaA 11便有 ，则 叫做基 到 的过渡1212(,)(,)ssA A12,s 12,s矩阵，过渡矩阵是可逆的.若 中向量 在 的基 下的坐标为VVs，在 的基 下的坐标为 ，则有12(,)TsXx 12,s 12(,)TsYy1222212sssssxyaaXAy 同一向量
19、空间 的两个标准（规范）正交基的过渡矩阵是正交矩阵.VIII 题型归纳及思路提示题型 1 讨论向量组的线性表示及线性相关性解题方法：（1）利用线性表示及线性相关的定义和性质；（2）判别向量 是否为向量组 的线性组合：s,21 令 ；skk21 写出与上式等价的线性方程组： ssnnsbkaka 21 22 1211 若方程组无解，则 不能由 线性表示；s,21若方程组有解，则 为 线性组合.s例 1 设向量组 线性无关，若向量组 也线性无关，321, 1321,ml则参数 的关系是 .ml,例 2 设 均为 维向量，则下列结论不正确的是 .s21 n12（1）若对于任意一组不全为零的数 ，都有
20、sk,21，则 线性无关；021 skks,（2）若 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 ，有s, sk,21；21 skk（3） 线性无关的充要条件是此向量组的秩为 ；s, s（4） 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.s21例 3 设 是两两互不相同的数，令 ，)(,nra ),1(12riii a，问 是否线性无关.(ira,21例 4 设有三维列向量 ,),0(,)1,(,),(,)1( 232 TTTT 问 取何值时，（1） 可由 线性表示，且表达式唯一；321,（2） 可由 线性表示，且表达式不唯一；（3） 不能由 线性表示.321,例 5 设有三维列向量组 和TTT
21、aI )2,1(,)31(,)0(:)(2 向量组 ，问 取何值时，TaaI 46,:)(21 和 等价？问 取何值时， 和 不等价？) )(I例 6设向量组 不能由向量组123(,0)(,1,5TTT线性表示.123(,)4)Ta（1）求 的值；a（2）将 用 线性表示.123,123,题型 2 有关向量线性相关性命题的证明（主要利用定义和性质）例 7证明：若 线性相关，而 线性无关，则：)(,121m m,2（1） 可由 线性表示； （2） 不可由 线性表示. 11,m13例 8 设 为 矩阵， 为 矩阵，其中 ， 为 阶单位矩阵，若AmnBnmnEn，证明： 的列向量线性无关.EB例 9
22、 设 是 阶方阵， 是 维列向量.若对于某一自然数 有 ，x 01xAm（规定 ）证明： 线性无关.0xAmEA0 xAm1,例 10设 维向量组（I） 可以用（II） 维向量组 线性表出，n12,r n12,r则下列命题正确的是（ ） （1）若（I）线性无关，则 ； （2）若（I）线性相关，则 ；rsrs（3）若（II）线性无关，则 ；（4）若（II）线性相关，则 .题型 3 求向量组的极大线性无关组解题思路：求向量组的秩及其极大线性无关组可通过其所构成的矩阵的秩来完成，具体步骤为：（1） 将向量组中的各向量作为矩阵的列；（2） 对上述矩阵作行初等变换；（3） 变成阶梯形矩阵后，即可知道这个
23、向量组的秩，然后每一阶梯上取一列，则对应的向量所构成的向量组即为其极大线性无关组.例 11 求向量组TTTTT )1,42(,)61,5(,)01,2(,)314,07(,)23,1( 542 的秩及其极大线性无关组，并将其余向量用这个无关组来表示.例 12 设四维向量组 ，令 ，且方程组 4321, ),(4321A0Ax的通解为 ，求向量组 的极大线性无关组.Tkx)0(题型 4 有关向量组或矩阵秩的计算与证明解题思路：（1）利用初等变换求矩阵的秩；（2）利用公式求秩.例 13 设 为两个 阶矩阵，证明： .BA,n()()rABr14例 14 设 为两个 阶矩阵，证明： .BA,n()A
24、OrrB例 15设 ， ，证明：若 ，则 .nmija)(snijb)( nrA)(例 16 设 为两个 阶非零矩阵，且 ，则关于 说法正确的是（ , AB,）（1）必有一个等于零； （2）都小于 ；n（3）一个小于 ，一个等于 ； （4）都等于 .nn例 17设 均为 阶方阵且 ，证明： . BA, 1BAnABErr)()(例 18 设 均为 阶可逆矩阵，证明： .*)(B例 19 是 阶方阵 的伴随矩阵，证明：*)2(n（1） ； （2） .1)(,01,)(*nArr 1*nA例 20设 为 阶方阵 ，证明： .An3An2*)(例 21 设 均为 阶实矩阵，证明： .m)(rT例 2
25、2设 是线性无关的 维向量组， 是 阶方阵，如果s,21 nn，证明： 是不可逆矩阵.12()(,)ssrAr A例 23设 为 实矩阵， ，且方程组 有唯一解，证明： 可逆.nmmbxAT例 24 设 ， ，证明：存在常数 ，使得 .ija)()(nAr k*2*)(k例 25 设三阶矩阵 ，若 的伴随矩阵的秩为 1，则必有：abA（1） ； （2） ；02a或 02ba或（3） ； （4） .且 且题型 5 有关过渡矩阵及正交矩阵的命题解题思路：主要利用过渡矩阵与正交矩阵的定义及性质.15例 26 已知三阶矩阵 满足 ，其中 ，A)3,21(iiT)2,1(， ，求矩阵 .T)1,2(2T
26、),2(3A例 27 求 中的向量 在基 ， ， 和基3R1 ),(2 ),73(， ， 下的坐标变换公式.)4,(1),5(2)6,(3例 28 设 为 维非零列向量， 为 阶单位矩阵，试证：nEn为正交矩阵.TEA例 29在 中，设向量组 是线性无关的，且与向量 都正交，试nR121,n 12,证明：向量 线性相关.12,IV 本章小结重点难点：1、向量的线性相关与线性无关的定义及判断；2、含参数的向量的线性表示；3、向量组的极大线性无关组.数一：4、 维向量空间，子空间，维数，基，坐标等概念.n5、过渡矩阵、基变换和坐标变换公式.向量既是重点又是难点，从以往试题来看，首先应理解向量的线性组合，掌握求线性表示的方法；其次（也是重点）要理解线性相关、线性无关等概念，要掌握向量线性相关、线性无关的有关性质及判别方法，这一类题目出现频率最高；16第三，要理解向量组的极大线性无关组的概念，掌握其求法，要理解向量组秩的概念，会求向量组的秩；第四，要了解内积的概念，掌握施密特正交化方法.
