1、第四章 刚 体一 刚体运动学给出定点转动的欧拉描述二 刚体动力学讨论处理欧拉陀螺和拉格朗日陀螺的一般方法三 刚体转动的稳定性问题一 刚体运动的自由度和广义坐标1刚体的性质：（1） 多个质点组成的质点系（2） 任意两个质点间的距离永远不变（3） 只要确定刚体内部任意三个不在一条直线上的质点的位置，刚体的位置也就确定了（4） 同一时刻，刚体内任意三点与刚体内或刚体外某一个点的相对位置被确定，则刚体的位置就被唯一确定了。2刚体的自由度一个质点自由度：3三个质点自由度：9约束条件：每两个质点之间距离保持不变，约束条件有 3 个刚体的独立坐标为 9-3=6 刚体的自由度为 63刚体运动的分类：（1）平动
2、：空间坐标（惯性系坐标）与固定在刚体上的坐标（不一定在质心）永远平行。性质：A 刚体上各点具有相同的速度和加速度B 取刚体上某一点的运动就可以代表刚体的全部运动C 自由度：3D 不一定是直线运动刚体的平动与质点运动相同运 动 方 程 BAr速 度 和 加 速 度 分 布因为： 所以：dBArvvttdBAvaatt0t（2）定轴转动：刚体运动过程中，至少两个质点保持不动。自由度：1转轴：两点连线，转角： 运动方程： ft角速度和角加速度： ddtt：大 小方 向 ： 逆 时 针 为 正2dtt匀速转动时： 匀变速转动时： d0t 0t0200dcont1tttt（3）平面平行运动：刚体中任意一
3、点始终在平行于某一个固定平面的平面内运动。简称：平面运动（1） 取固定平面 平面0Oxy刚体的平面运动是 相对于 的运动。Cx0Oxy（2） 上面的运动可以分为：（i） 使 相对于 做平动，到达 Cxy0OxyCxy（ii ） 使 绕 点以垂直于 的轴转动转过C的角度为 （3） 自由度：平面平动 自由度为 转动自由度为 21总自由度为： 3（5） 定点转动：刚体转动时，有一点永远保持不动。物理过程： 三个独立运动的合成。（i） 时刻坐标 与 重合，0t0OxyzOxyz（ii ）令 平面绕 转过一个角度 -进动角 -节线xy0oON（iii）令 平面绕节线 转过一个角度 -章动角o N（iv）
4、令 平面绕 转过 一个角度 -自转角xyoz 02002广义坐标（欧拉角）： 另一种方法：（i） 绕 轴转动oz（ii ） 轴可以沿各种方向变化（5）一般运动：可以分解为平动和绕定点转动，自由度为 62刚体的角速度(1) 定轴转动：（2）定点转动：分解为绕不同轴的定点转动，但是必须和顺序有关nkdnk0limttdtA 操作B 操作AB（3）无限小定点转动（满足对易关系）：（i） 刚体绕 点的某一个轴线转动 ， 角位移On（ii ） 为转动前刚体上某一点的位矢r（iii） 为转动后的位矢（iv） rnr（v） 刚体发生了两次绕 点的转动 和 O1n2（vi）先转动 然后转动 1n2n 12 1
5、12 11221nnrrrnrrrrrrnrnrrnrnr r （vii）先转动 然后转动 2n1 21 22122112nnrrrnrrrrrrnrnrrnrnr r 比较前两个转动： 1 22 1 12212112nnnnr rrnrnrnnrr rrrr r 由于 是线位移，所以满足对易关系：r1221nrnrnrnr对于： 21 12nnrandnnr （i） 一般情况下大小和方向都不相等，只有当 和 方向相同时才相等-定轴转动12（ii ） 如果 和 为无穷小量，高阶无穷小量可以忽略，1n2（iii） 无穷小量的角位移是矢量（iv） 0limtndtt（v） 定点转动： （4） 转动
6、变换算符：由： rnr引入： 1nTn则： 1nrTrnrnr 转动引起的位矢的变化： 1n nrTrTr 设： 1nnRT考虑对易关系： 121221121212,nnnRrRrnrR无穷小转动算符 对易，但是，无穷小转动引起的变化算符 不对易。T3刚体的线速度和线加速度刚体上任意一点 的速度为 角速度为 CCv（1） 纯转动（没有平动）：转动包含定轴转动和定点转动当无限小转动为 时，刚体上任意一点 的线位移为 则 n Prrnr点的线速度为：P 00limlit trnrvtt定义： 0litnt则： *drvrt加速度： *dvddrarrrrttttt方程 对定轴和定点转动都适用。*n
7、由于是纯转动，所以 点在转动过程中位矢 只有方向的变化，没有大小的变化，为常模矢量。Pr任意常模矢量 对时间的微商等于代表常模矢量运动的角速度 和常模矢量本身的矢量积。A dAt（2） 既有转动又有平动证明，选取不同的基点， 相同取 点为基点：C PCvrA 基点固定法：选取 为基点， 点的速度为CPCvr点的选取是任意的，不同的 点 和 不同，但 相同Cv点的速度：C CCCvvr 对于坐标系 点的速度相同：0oxyzPCCvrrv而 Crr代入上式： CC CCCCrvvrvrrr 0r因为 点为任意一点，要使上式成立，必须有：P 加速度：由 Cvr得： Cdrdaarrtt对于平面运动：
8、 r2r r 所以：2CdrdaarrttB瞬心法：这相当于取 点为基点，并且基点的速度 为零。这意味着刚体只有转动没有平动。Q0Qv点是转动轴线和平面的交点。点不固定，不同的瞬时， 点的位置不同，Q点：瞬时转动中心 或瞬心Q平面平动： r设已知 和 点的线速度 则：PPvPQPvr定义 点：通过 点作一条与速度 垂直的直线，在该线上总有一点使得 成立。PQPr点：可以在刚体内也可以在刚体外。Q瞬心的确定方法：方法一： 刚体上瞬时速度为零的点。 （如轮子在轨道上纯滚动时，轮子与轨道的接触点）方法二：已知刚体两点的速度，这两点的速度的垂线的交点。点：的速度为零，但加速度不为零。Q例：解法一：基点法解法二：瞬心法半径为 的轮子，在直线轨道上只滚R动，不滑动，质心 点的速度为C求轮子边缘任意一点 的速度和加0v P速度？例半径为 的圆盘，垂直于地面作纯滚动，圆盘中心l以速度 沿着半径为 的圆周运动，求圆C1CvRR盘边缘任意一点的 的速度？P例长为 的直尺 ，其端点被约束在相互正交的直线导轨lAB和 上，求直尺瞬时转动中心的轨迹?oxy
