1、常用离散型随机变量的分布函数(1) 离散型随机变量1 概念：设 X 是一个随机变量，如果 X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称 X 为离散型随机变量。其相应的概率 称为 X 的概率分()iiPxp(12)、 布或分布律，表格表示形式如下：X 1x23x ixP pp ip2 性质： 0ip 1nii分布函数 ()iixFp 1()iiiPXF(2) 连续型随机变量1 概念：如果对于随机变量的分布函数 ，存在非 ()x负的函数 ，使得对于任意实数 x，均有：()fx()Ffd则称 X 为连续型随机变量， 称为概率密度()fx函数或者密度函数。2 连续型随机变量的密度函数的性质 ()0fx 1f
2、d ()()PaXbFafxd若 在 x 点连续，则()f (f(3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别：1 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 ，对于任何 x，,；而对于离散型随机变量的00()PXxF分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。2 概率密度 一定非负，但是可以大于 1，而离散型()fx随机变量的概率分布 不仅非负，而且一定不大于 1.ip3 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此 X 取任何给定值的概率都为 0.4 对任意两个实数 ，连续型随机变量 X 在 a 与 b 之ab间取值的概率与区间端点无关，即：()()baPaXbPaXbFfxd即： (
3、)PXbFx(4) 常用的离散型随机变量的分布函数：1 0-1 分布：如果离散型随机变量 X 的概率分布为：1kPXpq（ K=0、1） 01qp称 X 服从参数为 p 的 0-1 分布。2 二项分布：如果离散型随机变量 X 的概率分布为：knkPXCpq01k、 01p1qp称 X 服从参数为 n、p 的二项分布，简记为 (,)XBn注：进行一次实验，若实验的成功率为 p，则在一次实验中成功的次数 X 服从参数为 p 的 0-1 分布二项分布描述 n 重伯努利实验，若每次试验的成功率为 p，则进行 n 次独立重复试验，则成功的总次数 X 服从参数为 n、p 的二项分布如果 X 服从二项分布
4、，则 Y=n-X 服从二项分(,)XBnp只取 0、 1 两个值 的随机变量，称为 0-1 分布，它用来描述只有两种对立的结果（成功与失败、合格与不合格、击中目标与击中目标、时间 A 出现与不出现）的伯努利实验。布 (,1)XBnp3 超几何分布：如果离散型随机变量 X 的概率分布为：12mnNCPX01mn、 称 X 服从参数为 n, 、 的超几何分布，其中 n, 、1N2 1N都为正整数，且 n +2N12当 时，去正概率的 X 值不是从 0 开始，而是从 开2n 2n始；当 时，去正概率的 X 值最大不是 n,而是 1 1N4 泊松分布（Poisson ）如果随机变量 X 的概率分布为：
5、!kPe01kn、 则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，简记为 .()XP5 总结：在离散型的几个常用分布中，二项分布与其他几个分布关系最为密切：1) 参数为 p 的 0-1 分布，就是参数为 n、p 的二项分布当 n=1 时的特例；(,)Bn(5) 常用连续型随机变量的分布函数1 均匀分布：若连续型随机变量 X 的概率密度为：1()0axbfxb其 他则称 X 服从区间 上的均匀分布，其分布函数为：,()1xaxFbb在 上服从均匀分布的随机变量 X 在 内任一子区间上取,a,a值的概率只依赖于该子区间的长度，而与其在 内的位置无关。b即：若 ，则：,cdbcPXa2 指数分布：如果连
6、续型随机变量的概率密度为：则称 X 服从参数为 的指数分布，其0()xefx中 ，相应的分布函数为：001()xeFx 指数分布常用作一些电子元器件的使用寿命。 指数分布具有无记忆性。3 正态分布：A. 正态分布的概率密度为：2()1()2xfxe(.)其中 和 均为常数，且 ，简记为：02(,)XNB. 特别地，当 、 时，称 X 服从标准正态分布，记1作 ，其概率密度为：(,)XN其分布函数用 表示。21()xxe()xC. 标准正态分布 的分布函数 与概率密度(0,1)XN的性质。()xa) 即 是一个偶函数。()x()xb) 即 x 轴是 的水平渐近线。lim0xc) 分布函数 ；概率
7、密度 ()F。1()fxd) 若 ，当 C0 时，(0,)XN21Pc若随机变量 X 服从正态分布 ，2(,)XN则 服从标准正态分布 ，且x0,1x(0,1)N如果 ，当 时， 服2,)X0aXb从正态分布 。特别地，如果 a=1,(ab则 。2(,)XbN如果 , ,11 22(,)XN且 、 相互独立，则12 22121(, )aXaa(6) 随机变量的函数分布的求法设 X 是一个随机变量， 是一个实函数，则 也()ygx()YgX是一个随机变量，所谓求随机变量的函数分布问题，就是已知 X 的分布及函数 ，求随机变量 的概率分布或者概率密度乃()ygx()YX至分布函数。1 离散型随机变
8、量的函数分布的求法如果随机变量的函数 是离散型（无论 X 是不()YgX是离散型的）的，求 Y 的分布只要逐点分析出 Y 的全部可能取值及取各可能值的相应概率即可。2 连续型函数的分布的求法1. 分布函数法：如果随机变量的函数 是连续型的，()YgX最基本的方法是分布函数法，即先求出 Y 的分布函数 ，然后()()()YgxyFyPfd通过分布函数求出 Y 的概率密度，其中 是()fx随机变量 X 的概率密度。2. 公式法如果 X 是连续型的随机变量， 是()ygxx 的单调可到函数，其导数不为 0，则 Y 的概率密度 可直接由 X 的密度 求出：()Yfy()Xfy()0hfyfZg其 他其中 是函数 的反函数，()x()x是 的值域。()Zgy3. 方法总结：确定分布中位置参数的解题方法是建立所 求参数为未知量的方程或者方程组，从中解出所求参数，建立分布中未知参数方程的主要方法有：1) 分布函数 性质、离散型分布律 性()Fxip质、连续型概率密度 性质。()fx2) 、 、 。()01()Fx3) 在 的连续点，Fx(0)()Fx4) 、 。1nip01i5) 、 。()fxd()fx6) 特殊分布函数。
