寻找相似三角形的4种技巧与方法.pdf

1、 寻 找相似三角形的基本技巧与方法 一 ：直接利用“左看、右看、上看、下看” 即 “三点定型” 法 例 1， 冀教版数学课本 90页 C组第一题： 已知： ACB=900， CD AB。 求证： AC2=ADAB 分析：要证 AC2=ADAB，可 先 证ACABADAC= ，这 时 看 等号的左边 A、 C、 D三点可确定一个三角形，而等号 右边 A、 C、 B三点也可确定一个三角形，即证 ACD ABC。都 看上面 的分子为 A、 B、 C及都 看下面 的分母为 A、 C、 D也 可确定去证 ACD ABC。 例 2， 已知：等边三角形 ABC中， P为 BC上任一点， AP的垂直平分线交

2、AB、 AC于 M、 N两点。 求证： BPPC=BMCN 分析：要证 BPPC=BMCN，只需证PCCNBMBP= 看 等号的 左边 B、 P、 M和等号 右边 C、 N、 P可确定证 PBM NCP。 二 ：当不能直接用“左看、右看、上看、下看” “三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。 例 1， 已知； AD平分 BAC， EF垂直平分 AD与 BC的延长线交于 F。求证： DF2=BFCF 分析：由已知可得 DF=AF，直 接证 DF2=BFCF找不出相似三角形，可改证 AF2=BFCF，即 证AFCFBFAF= ，这 时 用 “左看、右看”或“上看、下看”定出 AB

3、F CAF 例 2， 已知；在 Rt ABC中， A=900，四边形 DEFG为正方形。 求证： EF2=BEFC 分析：要证 EF2=BEFC，可证EFFCBEEF= ，这时我们不论是 “左看、右看”还 是“上看、下看” B、 E、 F、 C都在同一直线上，不能确定两个三角形。但在图形中有相等的线段 DE=EF=FG，这 时 用相等的线段去替换即证FGFCBEDE= 即可。再用 “左看、右看” 的方法确定证 BDE GCF从而完成证明。 三 ：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。 例 1， 已知： 梯形 A

4、BCD中， AD/BC， AC与 BD相交于 O点，作 BE/CD,交 CA的延长线于点 E. 求证： OC2=OA.OE 分析：要证 OC2=OA.OE,这时我们不论是 “左看、右看”还是“上看、下看”都发现 O,C,A,E在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，怎么办呢？这时，我们可以利用 转化的数学思想， 先证ODOBOAOC= ，用“ 上看、下看”定出 OBC ODC,然后 再 证OCOEODOB= ,用 同样 的方法确定证 OBE ODC相似即可。 例 2.已知：如图 3， AC是 ABCD的对角线， G是 AD延长线上的一点， BG交 AC于 F，交 CD于 E 分析： 由 B、

5、 E、 F、 G四点共线可知，本题既不能 直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换 代换是解决本题的关键证明：略 例 3， 已知： BD、 CE是 ABC的两个高， DG BC，与 CE交于 F， GD的延长线与 BA的延长线交于 H。 求证 ： GD2=GFGH 分析：要证 GD2=GFGH,这时我们 发现 G、 D、 E、 F在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，这时，我们可以利用直角三角形斜边上的高分的两个三角形和原三角形相似得出 GD2=BGCG，从而把原题转化为证 BGCG=GFGH，再用 “左看、右看、上看、下看”的方法确定证 BGH FGC相似即可。 四： 辅助平行线法： 利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现 例 1.已知：如图 4，在 ABC中， D是 AC上一点，延长 CB到 E，使 BE=AD， ED交 AB于 F 分析：观察比例式的右边三点 A、 B、 C可构成 ABC， 而左边的三点 D、 E、 F不能构成三角形，因此不能直接利用相似三角形获证