1、晶体物理学基础 1 主讲人： 李飞 电信学院电子系 晶体物理学 第一章 第一章：晶体物理学基础 本章内容 1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群 1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性 1. 6 诺埃曼原理 1. 7 张量的变换方法 2 1.3.1 为什么要进行坐标变换 3 有助于我们分析材料物理性能 通过坐标变换，可以掌握晶体物理性质的各向异性； 可以对材料物理性质进行几何表示，有助于问题的分析； 是有限元方法分析多晶材料性能的基础； O Y Z X 面对角线方向 Y Z 1.3.2 坐标变换 4 坐标变换方法 O 1 2 1 X
2、 Y X c o sc o sXYXX c o sc o s YXX A 空间中某点 A在新坐标轴上的坐标（投影），可以由该点在原坐标系中的坐标表示： 数学 解释 1 1 特殊点：该点在新坐标轴上。 O 1 2 1 X Y X B c o sc o s YXX 5 数学 解释 1 2. 一般点：该点在新 1坐标轴上坐标仍为 X c o sc o s YXX 该点在原坐标系中 1轴和 2轴的坐标分别为 X和 Y： c o sc o sc o sc o slXYlXXO 1 2 1 X Y X C l 数学 解释 2 O 1 2 1 X Y X 1.3.2 坐标变换 6 坐标变换方法：推广到三维情
3、况 O Y Z X a11 X a12 a13 c o sZc o sc o s YXXZaYaXaX 131211 ZaYaXaY 232221 ZaYaXaZ 333231 ZYXaaaaaaaaaZYX333231232221131211jijjjiji ZaZaZ Y Z 矩阵形式 张量形式 1.3.2 坐标变换 7 坐标变换方法：推广到三维情况 ZYXaaaaaaaaaZYX333231232221131211jijjjiji ZaZaZ 矩阵形式 张量形式 1.3.2 坐标变换 逆 变换形式： 332313322212312111ZYXaaaaaaaaaZYXjjijjjii Za
4、ZaZ 张量形式 8 正交条件（ orthogonality conditions） 111233232231223222221213212211aaaaaaaaa000132312221121231322122111323122211211aaaaaaaaaaaaaaaaaaijkjkijkik aaaa 1.3.2 坐标变换 9 正交条件（ orthogonality conditions） 如何证明？ ZYXaaaaaaaaaZYX333231232221131211333231232221131211ZYXaaaaaaaaaZYXTZYXaaaaaaaaaaaaaaaaaaZYX333
5、2312322211312113323133222123121111000100011.3.2 坐标变换 第一章：晶体物理学基础 本章内容 1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群 1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性 1. 6 诺埃曼原理 1. 7 张量的变换方法 10 1.4.1 张量及其用途 11 描述晶体物理性质 321333231232221131211321EEEDDDij张量形式（ Tensor） 介电性质、压电性质、热点效应、光电效应 1.4.2 张量的运算 12 张量的运算 张量的外积 pqrijkpqrijk C
6、ST 张量的内积 一个 t阶张量与一个 s阶张量的外积为一个（ t+s）阶张量 pqkli j p qi j k l CST T阶张量与 s阶张量有 n个相同的下标，则二者乘积为一个（ t+s-2n）介张量。 i jijijk lijijk lkl babac13 张量的运算 张量的微分 相比于矩阵乘法，张量在进行内积时，两个张量可以调换位置！ 张量的内积与矩阵乘积 一个 m阶张量的微分是一个（ m+1）阶张量 )( jpqrjxTx jkikijikkjkjikij abdababbaccba 1.4.2 张量的运算 14 张量的坐标变换 ija为关联新旧坐标系的方向余弦 一阶张量，即矢量。
7、 321333231232221131211321DDDaaaaaaaaaDDDjiji DaD 1.4.2 张量的运算 15 张量的坐标变换 证明： 二阶张量，如介电常数、应变张量。 jiji ED jjlkliklklikkiki EaaEaDaD kljlikjlklikij aaaa 1.4.2 张量的运算 kljlikjlklikij aaaa 16 张量的坐标变换 ija为关联新旧坐标系的方向余弦 三阶、四阶张量，如介电常数、应变张量。 1.4.2 张量的运算 pqrkrjqipijk daaad p q r tltkrjqipij k l daaaas p q r slskrjq
8、ipij k l TaaaaT 1.4.3 张量的分类 17 张量的分类 极张量（ Polar tensors） 轴张量（ Axial tensors） 极张量： 与坐标系的手性无关； 轴张量： 与坐标系的手性有关； 1.4.3 张量的分类 18 张量的分类 O Y Z X O Y Z X P 100010001 P O Y Z X 坐标变换 A 坐标变换 A O Y Z X 极张量： 轴张量： 坐标系的手性变化，使轴张量不满足坐标变换方法！ 1.4.3 张量的分类 19 张量的分类 O Y Z X O Y Z X P 100010001-P O Y Z X 坐标变换 B 坐标变换 B O Y Z X 极张量： 轴张量： 坐标系的手性变化，使轴张量不满足坐标变换方法！ 1.4.3 张量的分类 20 张量的分类 轴张量的坐标变换方法： p q r slskrjqipij k l TaaaaaT 坐标变换矩阵的模值为 1或 -1，正负与坐标系的手性是否发生变化有关； 对于第一类对称操作 ， 坐标变换矩阵模为 1； 对于第二类对称操作，即镜面和中心反演，矩阵模为 -1。
