1、.第二章 随机变量及其数字特征一、教学要求1. 理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；2. 理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率；3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。二、重点与难点本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种分布，随机变量函数的分布、数学期望和方差的计算；难点是随
2、机变量函数的分布及数学期望的计算。2.1 随机变量及其分布一、 随机变量1引入随机变量的必要性1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中，抽样中 出现的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等。2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。如：掷硬币问题中，记出现正面时为“1” ，出现反面时为“0” 。注：这些例子中，试验的 结果能用一个数字 X 来表示，这个数 X 是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。2引例先看一个具体的例子:例 1 袋中有 3 只黑球，2 只白球，从
3、中任意取出 3 只球，观察取出的 3 只球中的黑球的个数我们将 3 只黑球分别记作 1，2，3 号，2 只白球分别记作 4，5 号，则该试验的样本空间为45145235， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为 1，2，3因此， X 是一个变量但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X 的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量.X 的取值情况可由下表给出：由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间 上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随
4、机事件例如表示取出 2 个黑球这一事件；2X：表示至少取出 2 个黑球这一事件，等等X3定义1）描述性定义：定义在样本空间 上的实值函数称为随机变量,常用大写 X,Y,Z 等表示；随机变量的取值用小写字母 x,y,z 等表示。2）严格定义：设 为一概率空间， 是定义在 上的实值函数，(,)P(),X若对任一实数 ， ，则称 为随机变量。x:Xx4.随机变量的例子例 2 上午 8:009:00 在某路口观察，令：Y：该时间间隔内通过的汽车数则 Y 就是一个随机变量它的取值为 0，1，表示通过的汽车数小于 100 辆这一随机事件；表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件5例
5、3 观察某生物的寿命（单位：小时） ，令：Z：该生物的寿命则 Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数 表示该生物的寿命不超过 1500 小时这一随机事件150二、分布函数及其性质1.分布函数的概念定义 设 为一概率空间，X 为定义在其上的随机变量,对任意实数 x,称(,)P样 本 点 黑 球 数 X 样 本 点 黑 球 数 X 321， 3 541， 1 4， 2 ， 2 5， ， ， 2 ， 1 31， 543， .()FxPXx为随机变量 X 的分布函数,且称 X 服从 ,记为 X .有时也可用 表明是 X 的(F()XFx分布函数.2.例子例 4 向半径为 r 的圆内随机抛一点,求此
6、点到圆心之距离 X 的分布函数 ,并求 P(X()x).23r解 事件“ ”表示所抛之点落在半径为 的圆内，故由几何概率知Xx(0)xr从而2()().xFPr225PX =1-1-().3393.分布函数的性质 定理：任一分布函数 都有如下三条基本性质:()Fx（1）单调性: 是定义在整个实数轴 上的单调非减函数，即对任意的 ，(,)12x有 ；2()Fx（2）规范性: = ；()lim()0xF= 。1x（3）右连续性: 是 x 的右连续函数，即对任意的 ，有() 0x，0li()xF即 。0x证明 略。注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。（2）有了分布函数的定义
7、，可以计算：， ，()()PaXbFa()()PXFa等。1三、离散随机变量及其分布列1离散型随机变量的概念 若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量 X 的统计规律必.须且只须知道 X 的所有可能取值以及 X 取每一个可能值的概率。 2分布列 设 X 是一个离散随机变量，如果 X 的所有可能取值是 ，则称 X12,nx 取 的概率ix(),12,iiipxPxn 为 X 的概率分布列或简称为分布列，记为 。iXp分布列也可用下列形式表示：或12()()nxxpp X12P3.分布列的基
8、本性质 (1)非负性： ()0,12,;ipx(2)正则性： 1.ii注 1）离散随机变量的分布函数为： 。()()iixFp2）设离散型随机变量 X 的分布函数为 ， 为其间断点，k =1, 2, , 则X 的分布律为 0,12,kkkkpPx4.例子例 5 设离散随机变量 X 的分布列为，1230.5.试求 ，并写出 X 的分布函数。(0.5),(1.)P解 略。例 6 从 110 这 10 个数字中随机取出 5 个数字，令：X：取出的 5 个数字中的最大值试求 X 的分布列解：X 的取值为 5，6，7，8 ，9，10并且410610kCP， ， ，.具体写出，即可得 X 的分布列：例 7
9、 设随机变量 X 的分布列为112,4nPc c， ， 试 求 常 数 解：由分布列的性质，得，所以1141nnnXc3c四、连续随机变量及其密度函数1.连续型随机变量的概念定义 设随机变量 的分布函数为 ，如果存在实数轴上的一个非负可积函数 ，使()Fx ()px得对任意 ，有，()()xptd则称 X 为连续随机变量，称 为 X 的概率密度函数， 简称为密度函数。2.密度函数的基本性质（） 非负性： ；()0px（） 正则性： ；1d反过来，若已知一个函数 满足上述性质(1)和(2),则 一定是某连续型随机变量()x()pxX 的概率密度函数另外，对连续型随机变量 X 的分布，还具有如下性
10、质：（1） 。 ,(),()()()baabRPabFxd更一般的，对一般的区间 ，有B().BPXpxd（2）连续型随机变量 X 的分布函数 是连续的,但反之不真；()x（3）连续型随机变量 X 取任一确定值的概率为 0；即对于任意实数 ， ；c()0PXc事实上， .0,()()chhPchXpxdX 5 6 7 8 9 10 P 2 51 23 57 26 .令 0,()0,P(X=c)0chpxd即 得 。注：因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,概率为零的事件未必是不可能事件；概率为 1 的事件也不一定是必然事件。(4) 若 在 处连续，则有()Px0 0()()xFp3例子
11、例 8 设 ，求:(1)常数 K；(2) X 的分布函数；(3)2()30KxXp令5(1).2P解 (1)由性质 。解之得2302()1, 1pxdxdx得 6.31。2631()0X令(2)X 的分布函数为26310631202() 3xxtdxFt 3214002()3xFx（3） 。23558(1)()()13124PXF51()pxd2.2 随机变量的数字特征概率分布能完整、全面地刻画随机变量的统计规律，但是：(1)在实际应用中概率分布常常难以精确地求出；(2)在实际问题中,有时关心的问题仅是随机变量的某些统计特征，而不是随机变量全面的变化规律,如测量误差的平均误差,评定射击手的稳定
12、性的离散度等；(3)对很多重要分布，只要知道它的某些数字特征，就可以完全确定其概率分布。数字特征通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。一、随机变量的数学期望1引例某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：掷得点数 1 点 2，3 点 4，5，6 点.获得（元） 1 2 4求：一次游戏平均得多少钱？解：假设做了 n 次游戏， 123nn得 元 次 数 ， 得 元 次 数 ， 得 元 次 数 ，。每次平均得：12323, 4则 获 得 ：当 n 很大时，14.nn123 1766pp2.离散型随机变量的数学期望1）定义 设离散随机变
13、量 X 的分布列为(),12,iiipxPXxn 如果 ，1|iii则称 1()()iiEXxp为随机变量 X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数不收敛，则称 X 的数学期望不存在。1|()iiixp注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，其与 X 取值顺序无关。2）例子例 9 设 服从几何分布， 求 k-1P(=)p,(2,).E解： k1k1k1k1E(p).由于 故 2k1k1xx,()2k1(p),Ep例 10 设 X 取 (k=1,2,)对应的概率为 ，证明 E(X)不存在。(1)kx12kxp证明 且 。但级数02kxp112kxkp.发散1112kk
14、xk kp所以 E(X)不存在，但级数(交错级数满足 Leibniz 条件)( 收敛) 111()()ln22kkkxk k要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。 2 连续型随机变量的数学期望1） 定义 设连续随机变量 X 的密度函数为 p(x),如果，|)d则称 ()Ex为 X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若 不收敛，|()xpd则称 X 的数学期望不存在。2）例子例 11 设随机变量 X 服从 (-0，n 是正整数，若 ，则有 lim0,nplim(1),01,2.!kknnCpe即当随机变量 XB(n, p)，(n0,1,2,) ， n 很大，p 很小且 np 适中
15、时，记 =np，则(0.时 较 好 )(1,0,12.!kknnPCe对称的，若 n 很大而 q=1-p 很小且 nq 适中时，有 ()() ,0,12.)!nkknknkqXpqpen例 27 设每次射击命中目标的概率为 0.012，现射击 600 次，求至少命中 3 次目标的概.率（用 Poisson 分布近似计算） 解：设 B= 600 次射击至少命中 3 次目标 进行 600 次射击可看作是一 600 重 Bernoulli 试验.X：600 次射击命中目标的次数则 60.12B， 用 Poisson 分布近似计算，取 则60.127.27.27.7.3310945.PPXee例 28
16、 一批二极管的次品率为 0.01,问一盒中至少装多少只这样的二极管才能使得至少有100 个正品的概率在 95%以上 ?解：设每箱应装 件二极管，s 是一个小整数，从而 由10n(10).1,nps题条件知 ,据题意应有 查表知).(BX 00.95(),!skPXe321100.98,.7!kkee故 s 取 3 符合题意，也就是说每箱应至少装 103 只二极管才能以 95以上的概率正品有100 个。4）泊松分布的数学期望与方差 0011()()!()!()!kkkkkttEXPee 22 222()()()(1)DEXEX其中 22020()()!()!.k kkttEXee 6. 几何分布
17、1）定义设随机变量 X 的可能取值是 1,2,3,且 1(),2,kPXqp.其中 01 时， X 的全部取值为：m,m +1,m+2,1()(),.kkCpp二、连续型随机变量1均匀分布）定义 若随机变量 的密度函数为1,;()0axbpxb其 他 。则称 服从区间 上的均匀分布，记为 。(,)ab(,)XU均匀分布 的分布函数为U.0,;()1,.xaFxbb2）均匀分布的数学期望与方差若 ，则(,)XUab 2()(),).21abaEXVrX2指数分布1）定义 若随机变量 的密度函数为：,0;().xep则称 服从指数分布，记作 。其中，参数 。()XE指数分布的分布函数为：1,0;(
18、).xeF生活中，指数分布应用很广像电子元件的使用寿命、电话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述因此，指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的应用）指数分布的数学期望与方差若 ，则 。()XExp211(),()XVar这里 为失效率，失效率愈高，平均寿命就愈小。3）指数分布的无记忆性定理：如果 ，则对任意的 s0,t0,有()x。|)()PXtPXt例 30 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为 T，设0 ，t时段内过桥的汽车数 服从参数为tXt 的泊松分布，求 T 的概率密度。解 ()FPt当 t0 时，F(t)=0;当 t0 时，F (t)=P(Tt)=1-P(Tt)=
19、1-P(在 t 时刻之前无汽车过桥)=1- P( =0)=tX1te于是.0()teptt.3.正态分布1)定义 若随机变量 X 的密度函数为,21()()exp2px:则称 X 服从正态分布，称 X 为正态变量，记为 。其中参数 ，2(,)XN。0正态分布的分布函数为：。21()()exp2Fxdx:其中， 称为位置参数， 称为尺度参数。正态分布密度函数 p(x)的性质(1) 单峰对称 密度曲线关于直线 x=对称，即p( +x)=p( -x)，x(- ,+)(2)x= 时，p(x)取得最大值 p()= ； 12(3)x= 处有拐点；(4)的大小直接影响概率的分布， 越大，曲线越平坦， 越小，
20、曲线越陡峭。(5)曲线 p(x)以 x 轴为渐近线。2)标准正态分布定义 称 的正态分布 为标准正态分布。0,1(0,1)N的密度函数和分布函数分别为： (,)N，2exp,uu。21(),2utdu例 31 设 ，利用附表 2，求下列事件的概率：（1） （2）(0,1)UN(1.5);PU（3） （4） （5）(1.5);P.5;P(0.751.2);PU|解 略。3）一般正态分布的标准化定理 若 ，则 。2(,)XN(,)XUN证明 略。.例 32 若 ,求：(1) (2)常数 ，使得2(1083)XN(1027);PXa()0.95PXa解 略。4）正态分布的数学期望与方差若 ，则2(,
21、)222 2()1)()110.xtt tEXxpdxedteded 令222 22()22()()()11xtt tDXEfxxedttedde 令222 22(0).t t 5）正态分布的 原则3设 ，则2(,)XN0.682,1;(|)()954.73,.kPkk由此可见，正态变量的 99.73%的值落在 内，这个性质被称为正态分布的(,)原则。34.其它常见的连续型分布（1） 分布如果一个随机变量 具有密度函数X1(),00,rxepx.这里 为参数， 为 函数，则称 服从参数为 的0,r10()rxedX,r分布，记作 。,rX注：(i)当 时， 就是参数为 的指数分布 。1r()()E(ii) 函数具有如下性质：(),);21(.当 为 自 然 数 n时 ， 有 (+1)=n(!.（2） 分布如果随机变量 的密度函数为X/212(),0()0,nnxepx这里 为参数，则称 服从参数为 的 分布，并记Xn22().Xn:注： 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从 。n（3）对数正态分布如果随机变量 的密度函数为 21(ln)exp,0;()20, .xpx则称 服从参数为 和 的对数正态分布。X2注：设随机变量 ，则 服从对数正态分布。(,)NXYe作业：
