1、输油管的布置数学系信息 0901 张帅 徐智慧 白斌摘要 随着人们对石、液化燃料需求的不断增加，油田加大了对石液燃料的开采。与此同时，如何更好、更廉价的解决石液化气的运输成为了当前最重要的一个问题。本文针对两炼油厂到铁路线距离的各种不同情形和管线费用的差异，把最优化理论、最短路径算法及贪心算法通过综合运用，建立了几个不同的模型来对输油管的布置方案进行了探讨。针对问题一，主要分为两种情况。首先，在不考虑共用管线和非共用管线价格的差异时，所需铺设管线的最少费用问题即变为求管线最短的问题，此时利用费马点的性质来建立管线距离模型，就可以得到最优解。其次，当共用管线和非共用管线价格存在差异时，需要对是否
2、共用管线的问题进行讨论并列出相应的函数（价格）表达式，从而选择最优方案。针对问题二，由于城区的管线还需拆迁和工程补偿等附加费用，而附加费又是一个估计值，因此我们用加权法来确定附加费的值。此时问题转化为问题一的第二种形式，由于计算量较大，所以我们用 Maple 作图分析图像的估值方法，确定近似值。然后通过简单的计算来逐步求取最优解。针对问题三，沿用第二问的模型，并在同时考虑附加费用和共用管线费用的前提下，采用控制变量和分布计算相结合的方法，求出所给模型的最优解。最后，对所建的模型进行优劣评价和改进。关键词：费马点；Maple ；最优解；加权法1. 问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同
3、时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中 A 厂位于郊区（图中的 I 区域），B 厂位于城区（图中的 II 区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为 a = 5， b = 8， c = 15， l = 20。4若所有管线的铺
4、设费用均为每千米 7.2 万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送 A 厂成品油的每千米 5.6 万元，输送B 厂成品油的每千米 6.0 万元，共用管线费用为每千米 7.2 万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。2. 问题分析问题一中给出四个变量，分别为两炼油厂到铁路线
5、距离、两炼油厂间距离和管线的价格，因此我们所要得到的最优方案至少是受这四个变量影响的。又因为在解题过程中存在共用管线的问题且共用管线和非共用管线在价格上存在有差异和无差异之分，故对问题的分析需要考虑两种情况，即在有差异的条件下和无差异条件下的最优方案。问题二是在问题一的基础上提出更为具体的要求，即增加了附加费用，考虑到附加费是三家不同资质公司的估计值，存在一定的偏差。所以为了更为精确的解题，需要对各个公司给出的值进行加权计算。同时可知对本题影响较大的即是附加费用，因此最大限度的减少附加费用是解决问题的关键。问题三需要把最优化理论、最短路径算法及贪心算法求解综合起来运用，由于同时存在着共用管线和
6、非共用管线，所以既要考虑不同管线的铺设价格，又要兼顾不同地区的附加费，从而最终决定所建立模型的最优解。3. 模型假设工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 205HC图一A,，B 为两炼油站，EF 为铁轨， C 为火车站的可能建址。C假设一：A，B 共处于垂直于轨道的一条直线上时，无论共用管线和非共用管线价格是否相同，最省钱的铺管方案总为：A 到铁轨的垂线段。假设二：A，B 不处于垂直于轨道的一条直线上时，则 A，B 间可能出现共用管线，即需要考虑共用管线与非共用管线价格的差别。故而，需进一步分情况讨论：）共用管线与非共用管线价格相同时，铺设管线所需费用可直接
7、反映在使用管线的总长度。图二FCEBAH如图二所示，在三角形 内，费马点 到三顶点距离之和最小，故铺设时按照ABH， ， 三条线段所需管线长度最短，铺设所需费用最省。AHBC）共用管线与非共用管线价格不同时，所求目标函数为：。其中 表示单位距离内输送 A 厂成品油的管线铺设的价格，H3211表示 单位距离内输送 B 厂成品油的管线铺设的价格 、 表示铺设单位距离公共管线2 3ABFE6的价格。其中的 H 点仍然为三角形 所在区域的点，只是由于价格差别，导致此时ABC的费马点 不再是最优点。同时，由于价格差别不大，使得所求最优点区域应该还在费马点的附近。4. 模型建立4.1：A，B 共处于垂直于
8、轨道的一条直线上时：如图三所示，CAB图三以 为原点，以铁路轨道所在直线为 X 轴，以 所在直线为 Y 轴，建立直角坐标CAB系,各点坐标分别设为： ， 。),0(aA),(bB存在共用管线时，最短的铺设路径为：沿 铺设非共用管线，再沿 铺设共用BC管线。则目标函数的最优值为： C31不存在共用管线时，最短的铺设路径为：沿 铺设 厂输送成品油的管线，再沿A铺设 厂输送成品油的管线。这目标函数最优值：BC比较两最优选择公用管线的情况铺设管线。4.2：A，B 处于垂直于轨道的不同直线上时：共用管线与非共用管线价格相同7HHOC” CFEDCBAO图四如图四，以 所在直线为 X 轴，以 中垂线所在直
9、线为 Y 轴建立直角坐标系，ABAB为铁路轨道， 为直线 上任意点。EFEF在三角形 中，根据费马点的性质知费马点必在劣弧 上。不妨设 点为最CABH优点并延长 交 于 ，即 到 、 、 三点的距离之和最短。由图四知，存HDHC在 使 垂直于 ，根据点到直线距离垂线段最短定理，知： HBA同理推出：只有当 时，才有 取得最小值。EF故在已知 ， 到 的距离为 a， 到 距离为 b 的情况下：RBEF不妨设：A( ，0)，B( ，0)，D( ，0)，O(0, )2l2ll23l63直线 的方程：EFdkxy直线 的方程：DB1由 两点到直线 的距离，得方程组： A,8bkdlalk12)(用Ma
10、ple解方程组得： )22(21 222 lbalbalblalbad 22lk过点 作直线 垂直 于 ，直线 过 ( ，0)，且斜率为 ，则直线DCEFDCl23k1的方程为： klxy23图四中以 为半径的圆 的方程为： ，联立圆 与直线lO3)6(22lyxO的方程，解得交点 的坐标为：CDH)84(,)(332( 223222 labalablla 联立直线 和直线 的方程：EFCD 22 22222 )(lballblaxlbaylbal解得点 坐标：C9)323224 2(81 ),2(322)(481( 22 23222 2lbalbalbla blll balbalball l
11、 则， CHBA42232243 3224225 225226 355 5342323 32457252366625437 242 425 522 8008)(9801 )(96)(7118 109 8990)(3 )(3)(6 )(6(41(1 blalalballa lll laba lbalblb labllll lala balblb llll blllaa labbllbl ll 222323 2244 226226 2253 30)(960158 3191)( blabllablalbla lllll ballabalba ll 103 63)(6)(36126 )(328)(34
12、80 324322 )()(96156408 )(3283223960156 )(34822 222 4224 23322222 22426 blabllablaba llllabll bllalbabla lalll alll blablblablla llalalll bllblbalal 4.3： 不处于垂直于轨道的一条直线上时：共用管线与非共用管线价格不同BA,由4.2知点 只有在点 和点 运动时，才有可能使得管线铺设费用最少。即，可能存CEFC” C FE DC BA O图五11在点 在三角形 内，使得铺设线路费用目标函数： 取得HBEF BHCA321最小值。由直线 过 , 点，得
13、直线 方程：DD)21(3xy即，目标函数的极值条件为： 02)(203)2(1 2222 lballblaxlbaxl而目标函数为： blalblalbal ll lablabaa lllalblala lbablb lalllll blabla llalllbl bll lalabablalblllbll)(348021 219235 )(362280 320434 238)(962023152 )(396)(7 204768140527819406 392862193)( 236)(36)(36()4(11226 25 2225 2265 5335 72534657 242 552122
14、2 4 4222224 2332 3222224 32222323224 63)(36)(36136)(380 38)()(9615608 )(8960156 blabllablab lalll blabllbal lalbl llalla blablbll lllalalla 在上述线性规划中输入确定的两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离等数据，即可求得最廉价的铺管方式。5. 模型结果5.1 问题二：若所有管线的铺设费用均为每千米 7.2 万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资
15、质）进行了估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。根据权重值求出三家公司附加费的平均值，其中三家公司的权重为：0.4，0.3，0.3。 3.0)24(.021通过对问题二的分析影响它的主要因素是附加费用。因此为使所花铺设费用最少，应尽量使在城区内的管线最短。为达到此目的，我们需要进行以下计算： 首先过B点作平行于轨道的平行线交城郊分界线于点 ，并且设 点为城郊分界D1线上的可移动点。当 点为分界线上任意一点时（假设在郊区处使用的管线的造价都1D是相同的） ，郊区所需的最小费用实际上等价于A、B确定时需要的最少费用。根据问题一，我们很容易找到这个目标函数，此时的目标函数是随
16、点的移动而变化的函数。1工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 2013这时我们就得到在郊区时 点的函数，而在城区处的费用也是 的函数。上述两个函1D1D数在 点变化时的最小值为我们所要找的最优解。1D以 的垂直平分线与 的交点为原点， 为X轴，建立坐标系。ABABAB解的寻求过程见附录。最小费用为279.4372105（万元） 。根据所列的方程可以求出此时车站的具体位置点 和管线共用的始点 为：CH， 。)85.,473(C)84.3,10(H5.2 问题三：可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送 A 厂成品油的每千米
17、5.6 万元，输送 B 厂成品油的每千米 6.0 万元，共用管线费用为每千米 7.2 万元，拆迁等附加费用同上。在问题二所建的坐标系中，铁路线所在直线的方程的斜率和 Y 轴截距满足方程组：bklakl2121)()(解得：，22balk )2(21 abll根据方程： xablylx222)(336(继续求解最佳的费马点 坐标为：H)684(3,)(32( 2222 lablalbla 代入目标函数（见附录）解得铺设管线所需最小费用：249.4231537 万元，点， 点的坐标分别为： 。C)21.4,5(C)7.0,5(6. 模型评价本文建立的模型较少但比较复杂，使得使用软件求解比较困难。问
18、题二的求解较容易的，只要运用最优化理论、最短路径算法及贪心算法求解即可得。模型较简单，但很清晰，问题三具体考虑到了线路铺设阶段可能出现的更多更细的问题，诸如，要考虑到铺设管线的多种可能性，不同管线的铺设价格以及不同地区的附加费，故而根据题意建立的简化模型，并不能很真实的反映出铺设时的可能遇到的所有问题，从方14法上还存在一定的缺憾，在实际操作中还需进一步完善、改进。7. 参考文献 1. 韩中庚,数学建模方法及其应用M,北京,高等教育出版社,2009.2. 华东师范大学数学系,数学分析M,北京,高等教育出版社,2008.3. 吕林根,徐子道,解析几何M,北京,高等教育出版社,2007.4. 费马,费马点,http:/ 年 9 月 11 日5. 何青,王丽芬,Maple 教程M,科学出版社,2006.6. 袁亚湘,孙文瑜,最优化理论与方法M,科学出版社,2003.15数学建模白斌 09404301张帅 09404351徐智慧 0940434616
