1、课时作业 29 平面向量数量积的应用一、选择题1(2019株洲模拟 )在ABC 中，( ) | |2，则BC BA AC AC ABC 的形状一定是( C )A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：由( ) | |2，BC BA AC AC 得 ( ) 0，AC BC BA AC 即 ( ) 0,2 0，AC BC BA CA AC BA ，A90.AC BA 又根据已知条件不能得到| | |，AB AC 故 ABC 一定是直角三角形2已知点 A(2,0)，B (3,0)，动点 P(x，y)满足 x 2，则PA PB 点 P 的轨迹是( D )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物
2、线解析： (2x，y)， (3x，y) ，PA PB (2x)(3 x)y 2x 2，PA PB y2x6，即点 P 的轨迹是抛物线3已知向量 m(1，cos)，n(sin，2)，且 mn，则sin26cos 2 的值为( B )A. B2 C2 D212 2解析：由题意可得 mnsin2cos0，则 tan2，所以sin26cos 2 2.故选 B.2sincos 6cos2sin2 cos2 2tan 6tan2 14(2019安徽江南十校联考) 已知ABC 中，AB6，AC 3，N 是边 BC 上的点，且 2 ，O 为ABC 的外BN NC 心，则 的值为( D )AN AO A8 B1
3、0C 18 D9解析：由于 2 ，则 ，取 AB 的中点为 E，BN NC AN 13AB 23AC 连接 OE，由于 O 为ABC 的外心，则 ， EO AB AO AB 2 6218，同理可(12AB EO )AB 12AB 12得 2 32 ，所以 AC AO 12AC 12 92 AN AO (13AB 23AC )AO 13AB 18 639，故选 D.AO 23AC AO 13 23 925(2019广东广雅中学等四校联考) 已知两个单位向量 a，b 的夹角为 120，k R ，则 |akb|的最小值为( B )A. B. C1 D.34 32 32解析：两个单位向量 a，b 的夹
4、角为 120，|a| b|1，a b ，|akb| 12 a2 2kab k2b2 1 k k2， kR，当 k 时，| akb| 取得最小值 ，故选 B.(k 12)2 34 12 326在ABC 中，已知向量 (2,2)，| |2， 4，AB AC AB AC 则ABC 的面积为( C )A4 B5 C2 D3解析： (2,2)，| | 2 .AB AB 22 22 2 | | |cosA2 2cosA4，AB AC AB AC 2cosA ，00)，则 (a,3)， (xa，y )， (x，by )，PA AM MQ 由 0，得 a(xa)3y 0. PA AM 由 ，得AM 32MQ
5、(xa，y) (x， by ) x， (yb)，32 32 32Error!Error!b0，y0 ，把 a 代入到中，x2得 3y0，整理得 y x2(x0)x2(x x2) 14动点 M 的轨迹方程为 y x2(x0) 1412在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 m ，n(c ，b2a)，且 mn0.(cosB，2cos2C2 1)(1)求角 C 的大小；(2)若点 D 为边 AB 上一点，且满足 ， | | ，c2 ，求ABC 的面积AD DB CD 7 3解：(1) 由题意知 m (cosB，cosC)，n(c，b2a)，mn0，则 ccosB( b2a)
6、cos C0.在 ABC 中，由正弦定理得sinCcosB(sinB2sinA)cosC0，整理得 sinCcosBsinBcosC2sinAcosC0 ，即 sin(BC)2sin AcosC.故 sinA2sinAcosC，又 sinA0，cosC ，12C(0，) ， C .3(2)由 知， ，AD DB CD CA CB CD 2 ，CD CA CB 两边平方得 4| |2b 2a 22bacosACBb 2a 2ba28.CD 又 c2a 2 b22abcos ACB，a2b 2ab 12.由得 ab8， SABC absinACB2 .12 313已知 O 是平面上的一定点，A，B
7、，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 ，(0，)，则( D )OP OA (AB |AB |cosBAC |AC |cosC)A动点 P 的轨迹一定通过ABC 的重心B动点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心C动点 P 的轨迹一定通过ABC 的外心D动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心解析：由条件，得 ，AP (AB |AB |cosBAC |AC |cosC)从而 AP BC (AB BC |AB |cosBAC BC |AC |cosC) 0，所以 ，则|AB |BC |cos180 B|AB |cosB|AC |BC |cosC|AC |cosC AP BC 动点 P 的轨迹
8、一定通过ABC 的垂心14已知向量 a，b 满足：|a| |b| 1，且 ab ，若12cx ay b，其中 x0，y 0 且 xy 2，则 |c|的最小值是 .3解析：|a| |b|1，且 ab ，12当 cxayb 时，c 2x 2a22xyaby 2b2x 2xy y 2(xy )2xy ；又 x0，y0 且 xy 2，xy( )21，当且仅当 xy1x y2时取“” ， c2(xy) 2( )22 21 3，|c|的最小值是 .x y2 3尖 子 生 小 题 库 供 重 点 班 学 生 使 用 ，普 通 班 学 生 慎 用15(2019 重庆市质量调研) 已知 RtABC 中，AB3，
9、BC 4，AC5，I 是ABC 的内心，P 是IBC 内部(不含边界) 的动点，若 (， R) ，则 的取值范围是( AP AB AC A )A( ，1) B( ，2)23 23C ( ，1) D(2,3)712解析：以 B 为原点，BA，BC 所在直线分别为 x，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(0,0)，A (3,0)，C (0,4)设 ABC 的内切圆的半径为 r，因为 I 是ABC 的内心，所以(5 34) r43，解得 r1，所以 I(1,1)设 P(x，y) ，因为点P 在 IBC 内部 (不含边界 )，所以 00)上，3 3如图，数形结合可知| ab| min| | | 1.故选 A.CA CB 3解法 2：由 b24eb30 得 b24e b3e 2(be )(b3e) 0.设 b ，e ，3e ，所以 be ，b3e ，所OB OE OF EB FB 以 0，取 EF 的中点为 C，则 B 在以 C 为圆心，EF 为直径EB FB 的圆上，如图设 a ，作射线 OA，使得AOE ，所以OA 3|a b|(a2e )(2eb)| a2e |2eb| | | | 1.故CA BC 3选 A.
