1、课时作业 50 圆的方程一、选择题1已知圆 C 的圆心是直线 xy10 与 x 轴的交点，且圆 C与直线 x y30 相切，则圆 C 的方程是 ( A )A( x1) 2y 22 B(x1) 2y 28C (x1) 2y 22 D(x1) 2y 28解析：直线 xy 1 0 与 x 轴的交点为( 1,0)根据题意，圆C 的圆心坐标为(1,0)因为圆与直线 xy 30 相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 rd ，则圆的方程为| 1 0 3|12 12 2(x1) 2y 22.故选 A.2(2019河北邯郸联考) 以(a,1)为圆心，且与两条直线2x y40 与 2xy 60 同时相切的圆的标准
2、方程为 ( A )A( x1) 2( y1) 25B (x1) 2(y1) 25C (x1) 2y 25Dx 2(y1) 25解析：因为两平行直线 2xy 40 与 2xy60 的距离为d 2 .故所求圆的半径为 r ，所以圆心( a,1)到直线| 6 4|5 5 52x y40 的距离为 ，即 a 1 或 a4.又因为圆心5|2a 3|5(a,1)到直线 2xy60 的距离也为 r ，所以 a1.因此所求圆5的标准方程为( x1) 2 (y1) 25.故选 A.3已知直线 l：xmy40，若曲线 x2y 26x 2y10 上存在两点 P，Q 关于直线 l 对称，则 m 的值为 ( D )A2
3、 B2C 1 D1解析：因为曲线 x2y 26x2y10 表示的是圆，其标准方程为( x3) 2( y1) 2 9，若圆(x 3) 2(y 1)29 上存在两点P，Q 关于直线 l 对称，则直线 l：xmy 40 过圆心(3,1)，所以3m40，解得 m1.4(2019贵阳市监测考试) 经过三点 A(1,0)，B(3,0)，C (1,2)的圆与 y 轴交于 M，N 两点，则 |MN|( A )A2 B23 2C 3 D4解析：根据 A，B 两点的坐标特征可知圆心在直线 x1 上，设圆心为 P(1，m)，则半径 r|m2|，所以( m2) 22 2m 2，解得m0，所以圆心为 P(1,0)，所以
4、圆的方程为( x1) 2y 24，当 x0时，y ，所以|MN |2 .3 35(2019西安八校联考) 若过点 A(3,0)的直线 l 与曲线(x1)2y 21 有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为( D )A( ， ) B ， 3 3 3 3C ( ， ) D ， 33 33 33 33解析：解法 1：数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y k(x3)，则圆心(1,0) 到直线 yk (x3) 的距离应小于等于半径 1，即 1，解得 k ，故选 D.|2k|1 k2 33 33解法 2：数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设为 k，当 k1时，直线 l 的方程为 x
5、y 30，圆心(1,0)到直线 l 的距离为 1，直线与圆相离，故排除 A，B；当 k 时，|1 0 3|12 12 2 33直线 l 的方程为 x y30，圆心(1,0)到直线 l 的距离为31，直线与圆相切，排除 C，故选 D.|1 30 3|12 326(2019河南豫西五校联考) 在平面直角坐标系 xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线 xby2b10 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( B )Ax 2(y1) 24 Bx 2(y 1) 22C x2( y1) 28 Dx 2(y 1) 216解析：直线 xby 2b 10 过定点 P(1,2)，如图圆与直线 xby2b10
6、相切于点 P 时，圆的半径最大，为，此时圆的标准方程为 x2(y1) 22，故选 B.2二、填空题7已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， )在圆 C 上，5且圆心到直线 2xy 0 的距离为 ，则圆 C 的方程为(x2)4552y 29.解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且a0，所以圆心到直线 2xy0 的距离 d ，解得 a2，2a5 455所以圆 C 的半径 r| CM| 3，4 5所以圆 C 的方程为(x 2)2y 29.8(2019贵阳市摸底考试) 过点 M(2,2)的直线 l 与坐标轴的正方向分别相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若
7、OAB 的面积为 8，则OAB 外接圆的标准方程是(x 2) 2(y2) 28.解析：设直线 l 的方程为 1(a0，b0)，由直线 l 过点xa ybM(2,2)，得 1.又 SOAB ab8，所以 a4，b4，所以2a 2b 12OAB 是等腰直角三角形，且 M 是斜边 AB 的中点，则 OAB 外接圆的圆心是点 M(2,2)，半径 |OM|2 ，所以OAB 外接圆的标准方程2是(x 2) 2 (y2) 28.9(2019湖南湘东五校联考) 圆心在抛物线 y x2(x0)因为圆 C 经过 A，B 两点，所以 2 2 2(74) (174 b) ( 318)2，(338 b)即 bb 2 b
8、b 2，解得 b4.716 28916 172 3164 1 08964 334又易知 r2 2 2 ，(74) (174 4) 12所以圆 C 的方程为 x2(y 4) 2 .12(2)当直线 l 的斜率不存在时，由 l 与 C 相切得 l 的方程为 x，此时直线 l 与 C1 交于 P，Q 两点，不妨设 P 点在 Q 点的上方，22则 P ， ，Q ， 或 P ， ，Q ，22 22 22 22 22 22 ( 22， 22)则 0，所以 OPOQ，满足题意OP OQ 当直线 l 的斜率存在时，易知其斜率不为 0，设直线 l 的方程为 ykxm(k0，m0) ，OPOQ 且 C1 的半径为
9、 1，O 到 l 的距离为 ，22又 l 与圆 C 相切，Error!由知|m| m4|， m2，代入得 k ，7l 的方程为 y x 2.7综上，l 的方程为 x 或 y x2.22 712(2019 江西新余五校联考) 已知圆 O：x 2y 29，过点 C(2,1)的直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，直线 l 的方程为( D )Ax y 30 或 7xy150B x y30 或 7x y150C x y30 或 7x y150Dx y 30 或 7xy150解析：当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x2，则 P，Q 的坐标为(2， )，(2 ， )，所以
10、 SOPQ 22 2 .当直线 l5 512 5 5的斜率存在时，设 l 的方程为 y1k (x2) ，则圆心到直线(k 12)PQ 的距离 d ，由平面几何知识得 |PQ|2 ，S OPQ|1 2k|1 k2 9 d2 |PQ|d 2 d 12 12 9 d2 9 d2d2 ，当且仅当 9d 2d 2，即 d2 时，S OPQ取(9 d2 d22 )2 92 92得最大值 .因为 2 0，a2，且 a0，解得 x1 ，4 2a2故抛物线 C 与 x 轴交于 A(1 ，0)，B(1 ，0)两4 2a2 4 2a2点故可设圆 E 的圆心为 M(1，t) ，由|MP| 2|MA |2，得 12(ta) 2( )2t 2，4 2a2解得 t ，a2 14则圆 E 的半径r|MP| .1 14 a22所以圆 E 的方程为( x 1)2(y )21( )2，a2 14 14 a2所以圆 E 的一般方程为x2y 22x (a )y 0，12 a2即 x2y 22x ya( y )0.12 12由Error!得Error!或Error!故圆 E 过定点(0 ， )，(2 ， )12 12
