1、第 1 页（共 10 页）导数的放缩的应用1lnxex和1.已知数列 满足 nant(,3,)tNtnt， 为 常 数（）设 ， ，证明：1121nii nSa=+L*；()lnt+（）证明： （ 为自然对数底数）；nae（）设 ， ，试比较与 与 的1231()=()()tttttnk nTa *NnT1大小关系，并说明理由解：（）即证： ，121l()()()()ntatta即证： ，ln23设 ， ，()ln()gx1(xgx当 时， ， 在 上单调递增，00),)当 时， ， 在 上单调递减，1x(x(10 （当且仅当 时等号成立），()ln)ggx即 时，有 ，0xl(1x ，134
2、12nllnl()23 4 分12(1)lntaa（用数学归纳法给分）（）由（）知：当 且 时，有 ，x0ln(1)x即当 且 时，有 ，01l因为 ，所以 ，ntatlnna即 8 分1e第 2 页（共 10 页）（） ，理由如下： 1231()=()()1ntttttk nTaaa+，11(2)()kk+，111()()(2)kkk+L第 3 页（共 10 页）所以当 时，不等式也成立；1tk=+综合 时， ，*3,N2(1)tttt+L即 成立，()()()tt t所以 1231=()1ntttttk nTaa2(2016广州综合测试)已知函数 f(x)m exln x1(1)当 m1
3、时，求曲线 y f(x)在点(1，f(1) 处的切线方程；(2)当 m1 时，证明： f(x)1解：(1)当 m 1 时，f(x) exln x1，所以 f (x)e x 1x所以 f(1)e 1，f(1) e1所以曲线 y f(x)在点(1 ，f(1)处的切线方程为 y(e1)(e1)(x1)，即y(e 1)x(2)证明：当 m1 时，f(x)me xln x1e xln x1( x0)要证明 f(x)1，只需证明 exln x20设 g(x)e xln x2，则 g(x)e x 1x设 h(x)e x ，则 h( x)e x 0，1x 1x2所以函数 h(x)g(x) e x 在(0， )
4、上单调递增1x因为 g e 20，g(1)e 10，(12) 12所以函数 g(x) e x 在(0， )上有唯一零点 x0，且 x0 1x (12，1)因为 g(x 0) 0，所以 ex0 ，即 ln x0x 01x0当 x(0，x0)时， g(x)0；当 x(x0， )时，g(x)0所以当 xx 0时，g( x)取得最小值 g(x0)第 4 页（共 10 页）故 g(x)g(x 0)ex 0ln x 02 x 0201x0综上可知，当 m1 时，f (x)13已知函数 f(x)axbln x1，此函数在点(1，f(1)处的切线为 x 轴(1)求函数 f(x)的单调区间和最大值；(2)当 x
5、0 时，证明： ln ；1x 1 x 1x 1x(3)已知 nN *，n2，求证： ln n1 12 13 1n 12 1n 1解：(1)由题意得 Error!因为 f (x)a ，bx所以Error!解得Error!所以 f(x)xln x1即 f(x)1 ，1x 1 xx又函数 f(x)的定义域为(0，)，所以当 0x1 时，f (x)0，当 x1 时， f( x)0故函数 f(x)的单调递增区间为(0,1) ，单调递减区间为(1，)，函数 f(x)的最大值为 f(1)0(2)证明：由(1)知 f(x)xln x1，且 f(x)0(当且仅当 x1 时取等号)，所以 ln xx 1( 当且仅
6、当 x1 时取等号)当 x0 时，由 1，得 ln 1 ；x 1x x 1x x 1x 1x由 1，得xx 1ln 1 ln ln xx 1 xx 1 1x 1 xx 1 1x 1 x 1x 1x 1第 5 页（共 10 页）故当 x0 时， ln 1x 1 x 1x 1x(3)证明：由(2)可知，当 x0 时， ln 1x 1 x 1x 1x取 x1,2，n1，n N*，n2，将所得各式相加，得 ln ln ln 1 ，12 13 1n 21 32 nn 1 12 1n 1故 ln n1 12 13 1n 12 1n 14.(2016全国丙卷)设函数 f(x)ln xx1.(1)讨论 f(x
7、)的单调性；(2)证明当 x (1，)时， 1 x；x 1ln x(3)设 c1，证明当 x(0,1)时，1(c1)xc x.解：(1)由题设 ，f(x)的定义域为(0，)，f(x) 1，令 f(x)0，解得1xx1.当 0x1 时，f (x)0，f(x)单调递增；当 x1 时，f (x)0，f (x)单调递减(2)证明：由(1)知，f (x)在 x1 处取得最大值，最大值为 f(1)0.所以当 x1 时，ln xx 1.故当 x(1，)时， ln x x1， ln 1，1x 1x即 1 x.x 1ln x(3)证明：由题设 c1，设 g(x)1( c1)xc x，则 g(x) c1c xln
8、 c.第 6 页（共 10 页）令 g(x) 0 ，解得 x0 .lnc 1ln cln c当 xx 0时，g( x)0，g(x)单调递增；当 xx 0时，g( x)0，g(x)单调递减由(2)知 1 c，故 0x 01.c 1ln c又 g(0)g(1)0，故当 0x1 时，g(x)0.所以当 x(0,1)时，1( c 1)xc x.5、已知函数 ，其中 a 为实数，-xfea若 ，求函数 的最小值；1（ ） af若方程 在 上有实数解，求 a 的取值范围；2（ ） 0f(,2设 均为正数，且 ，求证：3（ ） ,(1,)kbn 1212nnbb 12.nba【答案】（1）0（2） （3）见
9、解析2,e【解析】（1） f（ x） =ex 1，由 f（ x） =0 得 x=0当 x0 时， f（ x）0， f（ x）在（0， +）内递增；当 x 0 时， f（ x） 0， f（ x）在（ ，0）内递减；故函数 f（ x）在 x=0 处取得最小值 f（1） =0（2） f（ x） =ex a（0 x 2）当 a 1 时， f（ x）0， f（ x）在（0，2内递增；f（ x） f（0） =0，方程 f（ x） =0 在（0，2上无实数解；当 a e2时， f（ x） 0， f（ x）在（0，2内递减；f（ x） f（0） =0，方程 f（ x） =0 在（0，2上无实数解；当 1 a
10、e2时，由 f（ x） =0，得 x=lna，当 0 x lna 时， f（ x） 0， f（ x）递减；当 lna x 2 时， f（ x）0， f（ x）递增；又 f（0） =0， f（2） =e2 2a 1由 f（2） =e2 2a 1 0 得2e故 a 的取值范围为2,（3）由（1）知，当 x （0， +）时， ex x+1，即 ln（ x+1） x ak， bk0，从而有 lnak ak 1，得 bklnak akbk bk（ k=1，2， n），求和得 1lnllknnkb即 ，12l.0k第 7 页（共 10 页）故 12.nkka3.已知函数 2eexxfa（1）讨论 的单调性
11、；（2）若 有两个零点，求 的取值范围f a【解析】 （1）由于 2eexxf故 2e121x xf 当 时， ， 从而 恒成立 0a00x0f在 上单调递减fxR当 时，令 ，从而 ，得 fe1xalnxalna， lln，fx 0单调减 极小值 单调增综上，当 时， 在 上单调递减；0a()fR当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增x,ln)a(ln,)a（2）由（1）知，当 时， 在 上单调减，故 在 上至多一个零点，不满足条件f fx当 时， 0amin1llnfaa令 1lg令 ，则 从而 在 上单调ln0a21 0gaga0，增，而 故当 时， 当 时 当 时1g110a若 ，则
12、 ，故 恒成立，从而 无零点，minl0fag0fxfx不满足条件若 ，则 ，故 仅有一个实根 ，不满足1ain1lf fln0xa条件若 ，则 ，注意0minl0fa到 lna21eef 第 8 页（共 10 页）故 在 上有一个实根，而又 fx1lna，31lnllnaa且33l1ln1l()e2la33l1ln10aaa 故 在 上有一个实根fx3ln1，又 在 上单调减，在 单调增，故 在 上至多两ln，fxR个实根又 在 及 上均至少有一个实数根，故 在fx1lna，3l1a， fx上恰有两个实根R综上， 04.设实数 ，整数 ， 。（）证明：当 且 时， ；（）数列 满足 ， 。证
13、明： 。（）当 时， ，原不等式成立；假 设 时不等式 成立，当 时 ，所以 时，原不等式也成立。综合可知，当 且 时，对一切整数 ，不等式 均成立。（）证法 1：先用数学归纳法证明 。当 时 ，由题设 知 成立。假 设 时，不等式 成立。由 易知 。当 时，因为 ，由 得 ，由（）中的结论得 ，第 9 页（共 10 页）因此 ，即 ，所以当 时，不等式 也成立；综合可知对一切正整数 ，不等式 均成立。再由 可得 ，即 ；综上所述， 。证法 2：设 ， ，则 ，并且 ；由此可知 在 单调递增，当 时， 。当 时 ，由 ，即 可知 ，并且，从而 ，故当 时，不等式 成立；假 设 时不等式 成立，
14、则当 时， ，即有，所以当 时，原不等式也成立。综合可知对一切正整数 ，不等式 均成立。5.函数 。（）讨论 的单调性。（）设 ， ，证明： 。（） 的定义域为 ， 。（i）当 时，若 ，则 ， 在 是增函数；若 ，则 ， 在 是减函数；若 ，则 ， 在 是增函数。（ii ）当 时， ， 成立当且仅当 ， 在 是增函数。（iii ）当 时，若 ，则 ， 在 是增函数；若 ，则 ， 是减函数；第 10 页（共 10 页）若 ，则 ， 在 是增函数。（）由（）知，当 时， 在 是增函数。当 时， ，即 （ ）。又由（）知，当 时， 在 是减函数。当 ， ，即 （ ）。下面用数学归纳法证明 。（i）当 时，由已知 ，故结论成立；（ii ）设当 时结论成立，即 ，当 时， ， ，即当 时有 ，结论成立。根据（i）、（ii）知对 任何 结论都成立。
