1、1两平面的平行判定和性质（含解析）例 1：已知正方体 1-DCBA求证：平面 平面 /1证明： 为正方体，1-AB ， CD1/又 平面 ，故 平面 /1AB1同理 平面 DC又 ，11 平面 平面 /ABD说明：上述证明是根据判定定理 1 实现的本题也可根据判定定理 2 证明，只需连接即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离CA1典型例题二例 2：如图，已知 ， ， /aA/典型例题一例 1 已知 ， ， ，求 点的坐标，使四边形 为等腰梯)3,0(A)0,1(B),3(CDABCD形分析：利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题解：如图，设 ，若 ，则 ， ，),(yx
2、DCDAB/CDABkB2即 .163)(,013222yx由、解得 )5,D若 ，则BCA/,BAkC即 .31)3(,022yx由、式解得 ),(D故 点的坐标为 或 5,6)3,2(说明：(1)把哪两条边作为梯形的底是讨论的标准，解此题时注意不要漏解(2)在遇到两直线平行问题时，一定要注意直线斜率不存在的情况此题中 、 的斜率都存在，ABC故不可能出现斜率不存在的情况典型例题二例 2 当 为何值时，直线 与直线a 01)()2(1yaxal：互相垂直？02)3()1(yxl：分析：分类讨论，利用两直线垂直的充要条件进行求解或利用结论“设直线 和1l的方程分别是 ， ，则 的充要条件是2l
3、 011CyBxAl： 022CyBxAl： 21l”（其证明可借助向量知识完成）解题021BA解法一：由题意，直线 21l(1)若 ，即 ，此时直线 ， 显然垂直；01a013xl： 025yl：(2)若 ，即 时，直线 与直线 不垂直；322： 4xl：(3)若 ，且 ，则直线 、 斜率 、 存在，01a031l21k2， k21ak当 时， ，即 ，21l1 1)32()(a3 .1a综上可知，当 或 时，直线 1a21l解法二：由于直线 ，所以 ，解得 2l0)3()(aa1a故当 或 时，直线 1a21l说明：对于本题，容易出现忽视斜率存在性而引发的解题错误，如先认可两直线 、1l的
4、斜率分别为 、 ，则 ， 2l1k2ak1321k由 ，得 ，即 21l )()(解上述方程为 从而得到当 时，直线 与 互相垂直a1l2上述解题的失误在于机械地套用两直线垂直（斜率形式）的充要条件，忽视了斜率存在的大前提，因而失去对另一种斜率不存在时两直线垂直的考虑，出现了以偏概全的错误典型例题三例 3 已知直线 经过点 ，且被两平行直线 和 截得l)1,3(P011yxl： 062yxl：的线段之长为 5，求直线 的方程分析：(1)如图，利用点斜式方程，分别与 、 联立，求得两交点 、 的坐标（用1l2AB表示） ，再利用 可求出 的值，从而求得 的方程(2)利用 、 之间的距离及kABk
5、 1l2与 夹角的关系求解 (3)设直线 与 、 分别相交于 、 ，则可通过l1 l12l),(1yx),(y求出 、 的值，确定直线 的斜率（或倾斜角） ，从而求得直线 的方程2y21x l解法一：若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，此时与 、 的交点分别l l3x1l2为 和 ，截得的线段 的长 ，符合题意，)4,3(A)9,3(BAB5944若直线 的斜率存在，则设直线 的方程为 l l 1)3(xky解方程组 得 ，,01)3(yxk4,12kA解方程组 得 ,6)( 9,7B由 ，得 5AB 2251413kk解之，得 ，即欲求的直线方程为 0ky综上可知，所求 的方程为 或
6、l3x1解法二：由题意，直线 、 之间的距离为 ，且直线 被平等直线 、1l2 1256dl1l所截得的线段 的长为 5（如上图） ，设直线 与直线 的夹角为 ，则2lABll，故 25sin4由直线 的倾斜角为 135，知直线 的倾斜角为 0或 90，又由直线011yxl： l过点 ，故直线 的方程为 或 l),3(Pl3x1y解法三：设直线 与 、 分别相交 、 ，则：12),(A),(2yxB， 01yx06yx两式相减，得 5)()(2121又 )(21yx联立、，可得 或0521x5021yx由上可知，直线 的倾斜角分别为 0或 90l故所求直线方程为 或 3xy说明：本题容易产生的
7、误解是默认直线 的斜率存在，这样由解法一就只能得到 ，l 0k从而遗漏了斜率不存在的情形一般地，求过一定点，且被两已知平行直线截得的线段为定长 的直线，当 小于两aa5平行直线之间距离 时无解；当 时有唯一解；当 时，有且只有两解另外，本ddada题的三种解法中，解法二采取先求出夹角 后，再求直线 的斜率或倾斜角，从方法上看l较为简单；而解法三注意了利用整体思想处理问题，在一定程度上也简化了运算过程典型例题四例 4 已知点 ， ，点 在坐标轴上，且 ，则满足条件的31，A，BC90ACB点 的个数是（ ） C（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解：点 在坐标轴上，可有两种情况，即在 轴或 轴
8、上，点 的坐标可设为xy或 0，x，y由题意， ，直线 与直线 垂直，其斜率乘积为 1，可分别求得90ACBACB或 2， 或 4，所以满足条件的点的坐标为（0，0） ， （2，0） ， （0，4） xy说明：本题还可以有另外两种解法：一种是利用勾股定理，另一种是直角三角形斜边 与 轴交点 恰为斜边 中点，则由 到 、 距离相等的性质可解本题DD易错，可能只解一个坐标轴；可能解方程时漏解；也可能看到 、 各有两解而误以为有xy四点典型例题五例 5 已知 的一个定点是 ， 、 的平分线分别是 ，ABC13，ABC0x，求直线 的方程xy分析：利用角平分线的轴对称性质，求出 关于 ， 的对称点，它
9、们显然0xxy在直线 上B解： 关于 ， 的对称点分别是 和 ，且这两点都在直13，A0xxy13， ，线 上，由两点式求得直线 方程为 CBC052y典型例题六例 6 求经过两条直线 和 的交点，并且垂直于直线13yx43yx的直线的方程0743yx解一：解得两直线 和 的交点为（ ， ） ，由已知垂02yx0yx3597直关系可求得所求直线的斜率为 ，进而所求直线方程为 3404yx6解二：设所求直线方程为 ，将所求交点坐标（ ， ）代入方程得034myx 3597，所以所求直线方程为 9m9解三：所求直线过点（ ， ） ，且与直线 垂直，所以，所求直线方3570743yx程为94x即 0
10、3y解四：设所求直线得方程为 412yxmx即 （1）03由于该直线与已知直线 垂直7yx则 142m解得 代入（1）得所求直线方程为 093yx典型例题七例 7 已知定点 （ 3，1） ，在直线 和 上分别求点 和点 ，使AxyMN的周长最短，并求出最短周长AMN分析：由连接两点的线中，直线段最短，利用对称，把折线转化为直线，即转化为求两点间的距离解：如图 1，设点 关于直线 和xy的对称点分别为 ，0y3，B1，C MNNA又 M周长最小值是： 52BC由两点式可得 方程为：02yxCAxCNOy BM图 17而且易求得： （ ， ） ， （ ，0） ，M35N25此时，周长最短，周长为
11、典型例题八例 8 已知实数 ， 满足 ，求证： ab1252ba解：本题的几何意义是：直线 上的点（ ， ）与定点 的距离的平a，方不小于 因为直线外一点与直线上任一点连线中，垂线段距离最短，而垂线段的长25度即距离 ，251d所以 ，即 )()(ba252ba说明：本题应为不等式的题目，难度较大，证明方法也较多，但用解析几何的方法解决显得轻松简捷，深刻地体现了数形结合的思想典型例题九例 9 在平面直角坐标系中， ， ，点 在 上 ，xOA2BOAa， ，试在 轴的正半周上求一点 ，使 取得最大值bOB0aC分析：要使最大，只需最大，而是直线到直线的角（此处即为夹角） ，利用公式可以解决问题解
12、：如图 2，设点 0xC， ， ， ，xOAabOB ，sincoa，bB，于是直线 、 的斜率分别为：CA，xaxkcostnCB xCOBA y图 28 CABkA1tan )cos)(cs(inoi2xaxb 2i)o)(cs(iinaxb 2)(ia cos)(inbx axb2 cosintnbACB当且仅当 即 ， 点的坐标为（ ，0） ，由 可知xabaab2为锐角，所以此时 有最大值 rctncos)(2in说明：本题综合性强，是三角、不等式和解析几何知识的交汇点另外本题也是足球射门最大角问题的推广为了更好地理解问题，可以演示用“几何画板”制作的课件.典型例题十例 10 直线
13、，求 关于直线 对称的直线 的方程0421yxl： 1l 0143yxl： 2l分析：本题可有多种不同的解法，给出多种解法的途径是：一类利用直线方程的不同形式求解；另一类采用消元思想进行求解解法一：由 得 与 的交点为 ，显见 也在 上01432yx1l )2,3(PP2l设 的斜率为 ，又 的斜率为 -2， 的斜率为 ，则2lkll4，解得 k)43(1)(431129故 的直线方程为 即 2l )3(12xy 0162yx解法二：在直线 上取一点 ，又设点 关于直线 的对称点为 ，则1l0,AAl ),(0yxB解得.012423,0yxy )58,4(B故由两点式可求得直线 的方程为 l
14、 0162yx解法三：设直线 上一动点 关于直线 的对称点为 ，则2),(Ml ),(yxM.01243, yxy解得 ， 56725874 yx显然 在 上，即 ，也即),(yxM1l 04258746 yx这便是所求的直线 的方程0612x 2l解法四：设直线 上一动点 ，则 关于 的对称点 在直线 上，可设2l),(yxMlM1l的坐标为 ，则 )4,(00x,34)2( ,51)2(51300xy即 .34)2( ,51)2(51000xyx消去 ，得 ，即此所求的直线 的方程016y2l说明：在解法一中，应注意正确运用“到角公式” ，明确由哪条直线到哪条直线的角在具体解题时，最好能准
15、确画出图形，直观地得出关系式在解法四中，脱去绝对值符号时，运用了平面区域的知识否则，若从表面上可得到两种结果，这显然很难准确地得出直线 的方程2l10本题的四种不同的解法，体现了求直线方程的不同的思想方法，具有一定的综合性除此之外，从本题的不同解法中可以看出，只有对坐标法有了充分的理解与认识，并具有较强的数形结合意识，才有可能驾驭本题，从而在解法选择的空间上，真正做到游刃有余，左右逢源典型例题十一例 11 不论 取什么实数，直线 都经过一个定点，m0)1()3()12( myxm并求出这个定点分析：题目所给的直线方程的系数含有字母 ，给 任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程
16、是以 为参数的直线系方程要证明这个直线系的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出 的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点另一思路是由于方程对任意的 都成立，那么就以 为未知数，整理为关于 的一元mmm一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标解法一：对于方程 ，令 ，得 ；0)1()3()12( yx 013yx令 ，得 1m04yx解方程组 得两直线的交点为 13)3,2(将点 代入已知直线方程左边，得：),2()1()3mm 019324m这表明不论 为什么实数，所给直线均经过定点 ),(解法二：将已知方程以 为未知
17、数，整理为：0)13()12(yxyx由于 取值的任意性，有，解得 ， 03yx23所以所给的直线不论 取什么实数，都经过一个定点 m)3,2(说明：(1)曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为 0，从而求出定点(2)分别令参数为两个特殊值，得方程组求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点典型例题十二例 12 一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框旋置桌上，斜靠展出已知镜框对桌面的倾角为 ()镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 、 ( )，学生1809 amba距离镜框下缘多远看画的效果最佳？11分析：建立如图
18、所示的直角坐标系， 为镜框边， 为画的宽度， 为下边缘上AOABO的一点，则可将问题转化为：已知 ， ， ，在 轴的正方向向上求一点 ，使 取最大xOAabOBxCAB值因为视角最大时，从理论上讲，看画的效果最佳（不考虑其他因素） 解：设 点坐标为 ( )，从三角函数定义知 、 两点坐标分别为C0,xAB、 ，于是直线 、 的斜率分别为)sin,co(asinco(bC， xaAkAt xbxkBCcosinta于是 ，2)(i1tanbkCBAC即 cos)(int axbA由于 是锐角，且在 上，则： ，CB2,0cos)(2intanbaACB当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 取最大值
19、，对应的点为xabab，因此，学生距离镜框下缘 处时，视角最大，即看画效果最佳)0,( m说明：解决本题有两点至关重要：一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求 的最大值如果坐标系选择不当，或选择ACBtan求 的最大值，都将使问题变得复杂起来ACBsin本题是一个非常实际的数学应用问题，它不仅考查了直线的有关概念以及三角知识的结合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力典型例题十三例 13 知实数 ， 满足 ，求 的最小值xy0422)1()(yx分析：本题可使用减少变量法和数形结合法两种方法： 可看成点2)(yx与 之间的距离),(yx1
20、,(解：(法 1)由 得 ( )，04yxxR12则 2222 )14()()1()( xxyx96082x，)(2 的最小值是 2.22)1()(yx(法 2)实数 ， 满足 ，04yx点 在直线 上),yxP而 可看成点 与点 之间的距离(如图所示)221(),(yxP1,A显然 的最小值就是点 到直线 的距离：22)1()(yx )1,(A04yx，142d 的最小值为 2)()(yx说明：利用几何意义，可以使复杂问题简单化形如 的式子即可22)()(byax看成是两点间的距离，从而结合图形解决典型例题十四例 14 直线 是 中 的平分线所在的直线，且 ， 的坐标分别为xy2ABCAB，
21、 ，求顶点 的坐标并判断 的形状),4(A)1,3( BC分析：“角平分线”就意味着角相等，故可考虑使用直线的“到角”公式将“角相等”列成一个表达式解：(法 1)由题意画出草图（如图所示） 13点 在直线 上，设 ，Cxy2)2,(aC则 ， ， 4akA31kBlk由图易知 到 的角等于 到 的角，因此这两个角的正切也相等ll ，lBClACl kk1 2324aa解得 的坐标为 ，C),( ， ，31AkBC 是直角三角形(法 2)设点 关于直线 的对称点为 ，则 必在直线)2,4(xyl2： ),(baA上以下先求 BCbaA由对称性可得 ,24,1解得 ， 24ba),(A直线 的方程
22、为 ，即 BC341xy01y由 得 03yx),2(14 ， ，31ACkBC 是直角三角形说明：(1)在解法 1 中设点 坐标时，由于 在直线 上，故可设 ，而Cxy2)2,(a不设 ，这样可减少未知数的个数(2)注意解法 2 中求点 关于 的对称点),(ba ),4(Al的求法：原理是线段 被直线 垂直平分AAl典型例题十五例 15 两条直线 ， ，求分别满足下列myxml352)3(1： 16)5(42yxl：条件的 的值(1) 与 相交； (2) 与 平行； (3) 与 重合；1l21l2 1l2(4) 与 垂直； (5) 与 夹角为 45分析：可先从平行的条件 (化为 )着手21b
23、a121ba解：由 得 ，解得 ， m52430781m72由 得 161(1)当 且 时， ， 与 相交；721bal2(2)当 时， ；m2121c2/l(3)当 时， ， 与 重合；2121bal2(4)当 ，即 ， 时， ；0120)5(4)3(m3121l(5) ， 3mkk52由条件有 14tan12将 ， 代入上式并化简得 ， ；k 0292m52715， 0152m35或当 或-5 或 3 时 与 夹角为 71l245说明：由 解得 或 ，此时两直线可能平行也可能重合，可524m7将 的值代入原方程中验证是平行还是重合当 时两直线一定相交，此时m5243应是 且 1m7典型例题
24、十六例 16 点 ， 和 ，求过点 且与点 ， 距离相等的直线)3,2(1P)5,4(2)2,1(AA1P2方程分析：可以用待定系数法先设出直线方程，再求之；也可从几何意义上考察这样的直线具有的特征解：(法 1)设所求直线方程为 ，即 ，由点 、 到)1(2xky02ky12P直线的距离相等得：1541322kk化简得 ，则有： 或 ，13k 33k即 或方程无解方程无解表明这样的 不存在，但过点 ，所以直线方程为 ，它与 ， 的kA1x1P2距离都是 3所求直线方程为 或 )1(32xy(法 2)设所求直线为 ，由于 过点 且与 ， 距离相等，所以 有两种情况，如下ll1P2l图：(1)当
25、， 在 同侧时，有 ，此时可求得 的方程为 ，1P2l21/Pll )1(2435xy16即 ；)1(32xy(2)当 ， 在 异侧时， 必过 中点 ，此时 的方程为 P2ll21P)4,(l1x所求直线的方程为 或 )(3xy说明：该题如果用待定系数法解易漏掉 ，即斜率不存在的情况所以无论解什么题目，只要图形容易画出，就应结合图形，用代数法、几何法配合来解典型例题十七例 17 经过点 且与直线 平行的直线 的方程)1,2(P0623yxl分析：已知直线 与直线 平行，故 的斜率可求，又 过已知点 ，利l l P用点斜式可得到 的方程另外由于 与已知直线平行，利用平行直线系方程，再由已知点l，
26、也可确定 的方程Pl解法一：由已知直线 ，知其斜率 0623yx23k又由 与直线 平行，所以直线 的斜率 l ll又由直线 经过已知点 ，所以利用点斜式得到直线 的方程为：)1,(P，即 )2(31xy083yx解法二：因为直线 平行于直线 ，所以可设直线 的方程为l62l03Cyx又点 在直线 上，所以 ，解得 )1,2(Pl 0)1(3C8故直线 的方程为 l 0823yx说明：解法二使用的是平行直线系，并用了待定系数法来解典型例题十八例 18 过点 且与直线 垂直的直线 的方程)1,(P0132yxl分析：已知直线 与直线 垂直，故 的斜率可求，又 过已知点 ，利l llP用点斜式可得
27、到 的方程另外由于 与已知直线垂直，利用垂直直线系方程，再由已知点l，也可确定 的方程l解法一：由直线 ，知其斜率 0132yx32k17又由 与直线 垂直，所以直线 的斜率 l0132yxl231kl又因 过已知点 ，利用点斜式得到直线 的方程为),(P，即 21xy5y解法二：由直线 与直线 垂直，可设直线 的方程为：l0132xl2Cy又由直线 经过已知点 ，有 l),(P0)1(解得 因此直线 的方程为 5Cl53yx说明：此题的解二中使用垂直直线系方程，并使用了待定系数法典型例题十九例 19 知直线 经过两条直线 与 的交点，且与直线l 021yxl： 01432yxl：的夹角为 ，
28、求直线 的方程03253yxl： 4分析：先求 与 的交点，再列两条直线夹角公式，利用 与 夹角为 ，求得 的斜1l2 l34l率也可使用过两直线交点的直线系方程的方法省去求交点的过程，直接利用夹角公式求解解法一：由方程组 解得直线 与 的交点 0143yx1l2)1,(于是，所求直线 的方程为 l )(xk又由已知直线 的斜率 ，而且 与 的夹角为 ，故由两直线253yx： 253l34夹角正切公式，得，即 314tankk2514tan有 ， ，251k5k当 时，解得 ；当 时，解得 37152k73k18故所求的直线 的方程为 或 ，l )2(731xy)2(371xy即 或 0137
29、yx0解法二：由已知直线 经过两条直线 与 的交点，则可设直线 的方程为l1l2l， （*）)2()4(yxyx即 03又由 与 的夹角为 ， 的方程为 ，有l43l 0325yx，214tanBA即 ，也即 ，)4()3(5512314从而 ， 2412解得 ， 代入（*）式，可得直线 的方程为1397l或 07yx0yx说明：此题用到两直线的夹角公式，注意夹角公式与到角公式的区别。解法二还用到了过两相交直线的交点的直线系方程，用它可以省去求交点的过程，但不一定这样的运算就简单，还要根据具体题目选择合适的方法。典型例题二十例 20 直线 ，一束光线过点 ，以 的倾斜角投射到02yxl： )1
30、3,0(P20上，经 反射，求反射线所在直线的方程ll分析：此题解法很多如图，入射线与 交于 点，则 点的坐标易得求反射线的lQ方程只缺少一个条件，寻求这个条件的主要思路有：19思路一：已知 的倾斜角为 ，入射线的倾斜解为 ，可由三角形外角定理得到l135120反射线的倾斜角思路二：如图，由光线的反射定律可知， 到 的角等于 到反射线的角，可得到反PQll射线的斜率思路三：由光的反射性质，可知反射线所在直线除经过 点外，还经过 点关于 的Pl对称点 ，求得 的坐标，反射线方程也可求得P思路四：由直线 为入射线和反射线所在直线交角的平分线， 上任意一点到入射线和l l反射线的距离相等，也可求得反
31、射线的斜率思路五：可求得 ，直线 为 ，入射线和反射线关于 对称，利用)1,(QOxyxy反函数性质，由入射线的方程可以求出反射线的方程解法一：由已知入射线的倾斜角为 ，其斜率为 ，又入射线过点203120tan，所以入射线所在直线的方程为： )13,0(P 3xy解方程组 得交点 ,0213yx)1,(Q又因 的倾斜角为 ，入射线 的倾斜角 ，所以入射线与 的夹角为 l5P20l15于是据外角定理 ，即反射线所在直线的斜率为 故反10x 30tan射线所在直线的方程为 ，即：)(3y0)13(yx解法二：由已知可得 ， ，设反射线的斜率为 ，则由入射线到1lk入 射 线 k的角等于 到反射线
32、的角，可得ll，即 入 射 线入 射 线kkll131k解得 3以下求出 点坐标，再由点斜式得反射线所在直线的方程（略） Q解法三：由已知得入射线所在直线方程为 ，再与直线 的方程联立13xyl得交点 )1,(20利用关于直线对称点的知识，求得点 关于 的对称点 )13,0(Pl )2,31(P又由反射线所在直线过 与 两点，它的方程为 ，即：Q32xy0)13(yx解法四：可求得入射线所在直线方程为 ，即x，入射线与 交点为 0)13(yxl),(Q于是可设反射线所在直线的方程为： ，即 1xky01ky由于直线 为入射线与反射线夹角的平分线，则 上的任一点到它们的距离相等，于是l l在 上
33、取点 ，有：l)0,2(10231)(02k所以 ，即 2132k42k故 ， （等于入射线斜率，舍去） 3k于是反射线的方程为： ，即 )1(3xy 0)13(y解法五：由点 ，得直线 的方程为 )1,(QO又因入射线与反射线所在直线关于 对称，点 关于直线 对称的xy)13,0(Pxy点 的坐标为 P)0,3(由于反射线所在直线经过 与 两点，所以它的方程为：PQ，即 310xy 0)13(y典型例题二十一例 21 已知直线 ，试求：02yxl：(1)点 关于直线 的对称点坐标；)1,2(Pl21(2)直线 关于直线 对称的直线 的方程；21xyl： l2l(3)直线 关于点 的对称直线方
34、程),(分析：对称问题可分为四种类型：点关于点的对称点；点关于直线的对称点；直线关于直线的对称直线；直线关于点的对称直线对于利用中点坐标公式即可对于需利用“垂直” “平分”两个条件若在对称中心（轴） ，及一个曲线方程已知的条件下给出，则通常采取坐标转移法，其次对于对称轴（中心）是特殊直线，如：坐标轴、直线 ，采取特殊代换法，应熟练掌握bxy解：(1)设点 关于直线 的对称点为 ，Pl),(0yxP则线段 的中点 在对称轴 上，且 Ml 0212,)(00yx解之得： 5190y即 坐标为 P,2(2)直线 关于直线 对称的直线为 ，则 上任一点 关于 的对1xyl： l2l ),(yxPl称点
35、 一定在直线 上，反之也成立),( 1l由 .022, yxy得 .5834, yxy把 代入方程 并整理，得：),( 20147yx即直线 的方程为 2l 0147yx22(3)设直线 关于点 的对称直线为 ，则直线 上任一点 关于点 的l)1,(All),(1yxPA对称点 一定在直线 上，反之也成立),(yxPl由 得12,yyx2将 代入直线 的方程得： ),(1xl 04x直线 的方程为 l 042yx说明：本题是求有关对称点、对称直线的问题，主要用到中点坐标公式和直线垂直的斜率关系典型例题二十二例 22 已知直线 和两点 、 082yxl： )0,2(A)4,(B(1)在 上求一点
36、 ，使 最小；lPB(2)在 上求一点 ，使 最大分析：较直接的思路是：用两点间的距离公式求出 的表达式，再求它的最PBA小值这样计算量太大也不可行我们可以求出 关于直线 的对称点 ，从而将 转l AP化为 ，从而当 、 、 三点共线时， 才最小，对于 最大也PA BA可以利用这样的方法解：(1)如图，设 关于 的对称点为l),(nm则 082,nm23 ， 2m8n ),(A 的的是 ， 与 的交点是 ，B xBAl)3,2(故所求的点为 )3,2(P(2)如下图，是方程 ，AB)2(40xy即 2x代入 的方程，得直线 与 的交点 ，lABl)10,2(故所求的点 为 P)10,(说明：本
37、例利用求对称点的方法巧妙地求出了所求点 的坐标P典型例题二十四例 24 已知点 ， 和直线 ，求一点 使 ，)3,4(A)1,2(B0234yxl： PBA且点 到 的距离等于 2Pl分析：为使 （如图） ，点 必在线段 的垂直平分线上，又点 到直线PPAB的距离为 2，所以点 又在距离 为 2 的平行于 的直线上，求这两条直线的交点即得所l ll求点 解：设点 的坐标为 ),(ba24 ， )3,4(A)1,2(B 的中点 的坐标为 M)2,3(又 的斜率 4ABk 的垂直平分线方程为 ，即 xy05y而 在直线 上),(baP05x 05又已知点 到 的距离为 2l点 必在于 平行且距离为
38、 2 的直线上，设直线方程为 ，034myx由两条平行直线之间的距离公式得： 25m 或 81点 在直线 或 上P0834yx01234yx 或 baba由得： ， 或 ， 178b点 或 为所求的点)4,()8,72(说明：在平面几何中，常用交轨法作图得点 的位置，而在解析几何中，则是将直线P用方程来表示，用求方程组的解的方式来求得点 的坐标这是解析法的重要应用，也是其方便之处求证： a证明：过直线 作一平面 ，设 ，1ab / a1又 / b25在同一个平面 内过同一点 有两条直线 与直线 平行A1,ab 与 重合，即 a1a说明：本题也可以用反证法进行证明典型例题三例 3：如果一条直线与
39、两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交已知：如图， ， /Al求证： 与 相交l证明：在 上取一点 ，过 和 作平面 ，由于 与 有公共点 ， 与 有公BlA共点 B 与 、 都相交设 ， ab / b又 、 、 都在平面 内，且 和 交于 lalaA 与 相交所以 与 相交l典型例题四例 4：已知平面 ， ， 为夹在 ， 间的异面线段， 、 分别为 、/ABCDaEFAB的中点CD求证： ， /EF/证明：连接 并延长交 于 G CAG26 ， 确定平面 ，且 ， AGCDACDG ，所以 ，/ ，F又 ， ， AC G又 ，BE ， F/故 同理 /E说明：本题还有其它证法，要点是
40、对异面直线的处理典型例题六例 6 如图，已知矩形 的四个顶点在平面上的射影分别为 、ABCD1A、 、 ，且 、 、 、 互不重合，也无三点共线1BC1D11求证：四边形 是平行四边形证明： ， 1A1 /D不妨设 和 确定平面 1同理 和 确定平面 BC又 ，且1/A1 同理 /D又 A1 /又 ，1D1CB27 11/CBDA同理 四边形 是平行四边形1典型例题七例 7 设直线 、 ，平面 、 ，下列条件能得出 的是（ ） lm/A ， ，且 ， B ， ，且l/l/lml/C ， ，且 D ， ，且/分析：选项 A 是错误的，因为当 时， 与 可能相交选项 B 是错误的，理由ml/同 A
41、选项 C 是正确的，因为 ， ，所以 ，又 ， 选m/项 D 也是错误的，满足条件的 可能与 相交答案：C说明：此题极易选 A，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况典型例题八例 8 设平面 平面 ，平面 平面 ，且 、 分别与 相交于 、 ，ab求证：平面 平面 ba/分析：要证明两平面平行，只要设法在平面 上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与 平行（如图） 证明：在平面 内作直线 直线 ，在平面 内作直线 直线 PQaMNb28平面 平面 ， 平面 ， 平面
42、，PQMN /又 ， ， ，paab平面 平面 /说明：如果在 、 内分别作 ， ，这样就走了弯路，还需证明 、PQMNPQ在 、 内，如果直接在 、 内作 、 的垂线，就可推出 MNabMNP/由面面垂直的性质推出“线面垂直” ，进而推出“线线平行” 、 “线面平行” ，最后得到“面面平行” ，最后得到“面面平行” 其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要典型例题九例 9 如图所示，平面 平面 ，点 、 ，点 ， 是 、/ACDB、 aA的公垂线， 是斜线若 ， ， 、 分别是 和 的中CDbBDcMNC点，(1)求证： ；/MN(2)求 的长分析：（1）要证 ，取 的中点
43、 ，只要证明 所在的平/MNADPMN面 为此证明 ， 即可(2)要求 之长，在 中，/PP/ CA、 的长度易知，关键在于证明 ，从而由勾股定理可以求解CC证明：(1)连结 ，设 是 的中点，分别连结 、 是 的中点， ABB/又 ， DM同理 是 的中点， NAPN/ ， C/29 ， ，平面 /PMN/N 平面 ， /(2)分别连结 、 CD ， ，bBAaB21又 是 、 的公垂线， ，90DBMCA ， ，MRtt 是等腰三角形DC又 是 的中点， NN在 中， t 22241cab说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行” ，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行” ，这是一
44、种以退为进的解题策略(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解(3)面面平行的性质：面面平行，则线面平行；面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行典型例题十例 10 如果平面 内的两条相交直线与平面 所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是_分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究解：设 、 是平面 内两条相交直线ab(1)若 、 都在平面 内， 、 与平面 所成的角都为 ，这时 与 重合，根ab0据教材中规定，此种情况不予考虑(2)若 、 都与平面 相交成等角，且所成角在 内；ab )9,( 、 与 有公共点，这时 与 相交若 、 都与平面 成 角，则 ，与已知矛盾此种情况不可能90ba/(3)若 、 都与平面 平行，则 、 与平面 所成的角都为 ， 内有两条直线ab 0与平面 平行，这时 /综上，平面 、
