1、毕 业 论 文欧式期权定价理论及其数值计算方法史超200630980125指导教师 郭子君 副教授学院名称 理学院 专业名称 统计学论文提交日期 2010 年 5 月 论文答辩日期 2010 年 5 月答辩委员会主席 _评 阅 人 _ _摘 要随着全球金融市场的迅猛发展，期权也越来越受到很多人的关注，有必要对期权进行更加深入的研究。前人已经对欧式期权定价进行了很深入的研究，在 1973 年 Fischer Black 和 Myron Scholes 建立了看涨期权定价公式并因此获得诺贝尔学奖。本文对欧式期权的定价的讨论主要在其定价模型和数值计算方法两个方面，探讨其理论知识和进行实例分析，并得出
2、简单的结论。本文将从以下六个方面讨论。第一：介绍问题的背景和意义，先前的研究成果以及本文框架；第二：讨论期权的基础知识，了解期权损益和定价界限；第三：研究二项式模型，由浅入深的分别给出股价运动一期、二期和多期的欧式期权定价公式；第四：研究 Black-Scholes 模型，通过求解 Black-Scholes 方程得到 Black-Scholes 公式，并探讨 Black-Scholes 模型和二项式模型的联系，即得()12(,)()rTtCStNdXed到波动率 ，就可以求出与之相匹配的二项式模型中的 ， 和 ；第五：用数值计算 udq方法求解欧式期权定价，分析了二叉树图法和有限差分法，有限
3、差分方法又包括内含有限差分方法、外推有限差分方法及 Crank-Nicolson 差分方法。两种数值方法都要求得到末期的期权值来推出初期的期权值，然后进行实例分析进行应用，并用计算机语言把数学内容表示出来，实现数学知识与计算机语言的结合。第六：通过以上的内容得出一些结论。本文的重心是基于对期权定价的模型和数值方法的探讨和分析，加以实例辅助突出其应用性，不足之处在于理论的突破性不大。关键词 欧式期权定价 二项式模型 Black-Scholes 模型 有限差分 二叉树图目 录1 前言 11.1 选题的背景和意义 .11.2 前人的研究成果 .21.3 论文的研究框架 .32 期权基本理论 32.1
4、 期权的相关术语 .32.2 期权的损益与期权价格的界限 .42.2.1 期权的损益 42.2.2 欧式期权价格的界限 53 二项式模型 63.1 二项期权定价模型介绍 .63.2 欧式期权定价模型 .73.2.1 一期模型的欧式看涨期权定价 73.2.2 二期模型的欧式看涨期权定价 93.2.3 多期二项式期权定价公式 104 Black-Scholes 模型 124.1 股票价格的行为模式 .124.2 历史回顾 .134.3 Black-Scholes 方程 .144.4 Black-Scholes 公式( 欧式看涨期权的定价) .154.5 二项式模型和 Black-Scholes 的
5、模型的关系 175 欧式期权定价的数值方法 185.1 二项式模型的数值计算 .185.1.1 二叉树图方法 185.1.2 实例分析 195.2 Black-Scholes 公式( 欧式期权定价)的数值计算 .235.2.1 有限差分方法 235.2.2 实例分析 266 总结 286.1 本文结论 .286.2 展望未来 .30致 谢 31参 考 文 献 32Abstract.33附 录 34本科专业毕业论文成绩评定表 3911 前言1.1 选题的背景和意义期权交易的出现已达几个世纪之久。在 17 世纪 30 年代的“荷兰郁金香热” 时期，郁金香的一些品种堪称欧洲最为昂贵的稀世花卉。163
6、5 年，那些珍贵品种的郁金香球茎供不应求，加上投机炒作，致使价格飞涨 20 倍，成为最早有记载的泡沫经济。同时，这股投机狂潮却开启了期权交易的大门。郁金香交易商向种植者收取一笔费用，授予种植者按约定最低价格向该交易商出售郁金香球茎的权利。同时，郁金香交易商通过支付给种植者一定数额的费用，以获取以约定的最高价格购买球茎的权利。这种交易对于降低郁金香交易商和种植者的风险十分有用。1973 年 4 月，芝加哥期权交易所正式成立，标志着期权交易进入了标准化、规范化的全新发展阶段。芝加哥期权交易所先后推出了股票的买权(Call Options)和卖权(Put Options)都取得了成功。之后，美国商品
7、期货交易委员会放松了对期权交易的限制，有意识地推出商品期权交易和金融期权交易。1982 年，作为试验计划的一部分，芝加哥期货交易所推出了长期国债期货的期权交易。1983 年 1 月，芝加哥商业交易所推出了S&P 500 股票指数期权，随着股票指数期权交易的成功，各交易所将期权交易迅速扩展至其它利率外汇等金融品种上。1984 年到 1986 年间，芝加哥期货交易所先后推出了大豆、玉米和小麦等品种的期货期权。除美国之外，全球有影响的期权市场还有欧洲期货交易所(Eurex) 、伦敦国际金融期货期权交易所 (Liffe)、香港交易所(Hkex)、韩国期货交易所(Kofex)等。期权市场无论从品种上还是
8、地域上都获得了长足的发展。2000 年以来，全球期权交易发展更为迅猛。美国期货业协会(Fututes Industry Association，FIA) 的统计数据表明，2001 年至 2003 年，全球期权的交易量连续超过了期货。2003 年全球期货与期权交易量为 81 亿手，其中期权 51 亿手，增长率为 32，期权市场呈现出良好的发展态势和前景。2003 年分资产的成交量统计表明，股指、利率、股票与农产品的期货与期权交易量排名靠前。韩国的 Kospi200 指数期权合约以 28 亿手的全年成交量成为全球最活跃的合约。韩国期货交易所亦凭此成为全球交易量最大的交易所。1973 年 4 月，芝
9、加哥交易所(CBOT)成立了一个新的交易所芝加哥期权交易所，特别用来交易股票期权。从此以后，期权交易在投资者当中日益普及。美国股票交易所(AMEX)和费城股票交易所(PHLX) 从 1975 年开始期权交易。太平洋股票交易所 (PSE)从1976 年开始期权交易来到了 80 年代初期，期权交易规模越来越大，每日卖出的期权合2约规定的标的股票总数超过了纽约股票交易所日交易量。在 80 年代，美国期权合约已经扩展到了外汇期权、股票指数期权、期货期权等领域。费城期权交易所主要从事外汇期权交易；芝加哥期权交易所交易 S&P100 和 500 的股票指数期权；美国股票交易所交易主要市场股票指数(Majo
10、r Market Stock Index)期权；纽约股票交易所交易 NYSE 指数期权。现在绝大部分提供期货合约交易的交易所也同时提供期货期权交易服务。芝加哥交易所提供谷物期货期权交易；芝加哥商品交易所提供家畜期货期权交易服务。期权交易所现在已经遍布全世界。改革开放三十年以来，中国同国际金融界的联系越来越密切，如何防范和化解金融风险已引起有关放面的高度重视。自 1995 年始，中国期权市场发展仅有十余年的历史，但期权市场需求已相当成熟。如何对期权风险进行有效的管理控制，已关系到期权开发能否从研究阶段过渡到试运行阶段。然而，要对期权风险进行有效的管理和控制，首先就必须对期权进行合理的定价。因此，
11、对期权定价方法的研究更为重要了。1.2 前人的研究成果1900 年法国金融专家 Louis Bachelier 就发表了第一篇关于期权定价的学位论文“Theorie de la Speculation”(投机交易理论) 1，它被公认为是现代金融学的里程碑，他在论文中首次提出用随机游动思想给出股票价格运行的随机模型。1964 年 Paul Samuelson对 Louis Bachelier 的模型进行了修正，以股票的回报代替原模型中的股票价格，他还研究了看涨期权的定价问题(C.Sprenkle(1965) 和 J.Baness(1964)也同样研究了这个问题)，但是他们都没有得出的具体的公式。
12、1973 年 Fischer Black 和 Myron Scholes 发表了论文“The pricing of options and corporate liabilities”2，在文中他们建立了看涨期权定价公式，并与 1997 年获得了诺贝尔经济学奖。1976 年，罗斯和()12(,)()rTtCStNdXed约翰考科斯 (John Cox)在金融经济学杂志上发表论文“The valuation of options for alternative stochastic process”，提出了风险中性定价理论。1979 年，Cox，J.,S.Ross 和M.Rubinstein 在
13、金融经济学杂志上发表论文“Option Pricing：A Simplified Approach”3，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为 Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。1979 年，Cox，J.,S.Ross 和 M.Rubinstein 对二叉树图数值方法进行了介绍，采用倒退定价法对期权进行定价，同年 Rendleman, R., and B. Bartter 在“Two State Option Pricing,”也对二叉树法进行了一定的研究。1977 年，Phelim P. BOYLE 发表论文”Options: A Monte Carl
14、o approach”将蒙特卡罗模拟方法应用到求期权定价中。同样是在 1977 年，3Brennan，M.J.,and E.S.Schwarts 发表了论文“The Valuation of American Put Options”首次将有限差分方法运用到期权的定价中，有限差分方法主要有内含的有限差分方法和外推的有限差分方法。本文主要基于对基础知识的研究和探讨，研究期权定价模型的二项式模型和 Black-Scholes 模型。分析期权定价的数值方法：二叉树图法和有限差分方法，详细说明它们的计算方法和步骤，并进行实例分析，探讨方法的有效性和总结自己的结论。1.3 论文的研究框架整篇论文共分为
15、6 章，第一章是对整个论文体系的介绍，包括研究背景和意义和论文的框架两部分；第二章是对期权的相关知识和期权定价的性质进行阐述；第三章研究欧式期权定价模型的二项式模型；第四章主要研究 Black-Scholes 模型的发展和定价公式；第五章就重点分析欧式期权定价的两种数值方法：二叉树图方法和有限差分方法，然后举例进行实例分析；第六章对全文进行总结。2 期权基本理论2.1 期权的相关术语定义 1.1：期权(Options)，又称选择权，是一份合约，持有合约的一方有权(但没有义务)向另一方在合约中事先指定的时刻(或此时刻之前)以合约中指定的价格购买或出售某种指定数量的特殊物品。这些物品大多为战略物资
16、，如石油、小麦、有色金属等，也可以是某公司股票，可提前兑换的债权等。期权有两种基本类型，看涨期权(call options) 和看跌期权(put options)。定义 2.2：看涨期权指期权合约中，一方有购买的权利，另一方有出售的义务，简称 call。定义 2.3：看跌期权指期权合约中，一方有出售的权利，另一方有购买的义务，简称 put。定义 2.4：执行价格(exercise price)，又称敲定价格就是期权合约规定的买卖基础资产的价格。根据期权的执行方式不同，期权又分为欧式期权(European Options)和美式期权(American Options)。定义 2.5：欧式期权指只
17、能在到期日那一天执行的期权。定义 2.6：美式期权指可在到期日之前(包括到期日)任何时刻执行的期权。4定义 2.7：期权价格是指有购买(或出售)一单位基础资产权利的期权的价格，是由买期权者支付给卖期权者(也称写期权者)的。定义 2.8：一个期权是否执行依赖于对期权持有者有利的机会是否出现，故也称期权为相机权益。在任何一个时刻 ,对一个 call，如果当时的股票价格 ，则称 call 为价内的(in t tSXthe money)；如果 ，称为平价的(at the money)；如果 ，称为价外的(out the tSXtmoney)。对 put 正好把不等式反过来，即如果 ，则称此时的 put
18、 为价内的；如果t，称它为平价的；如果 ，则称它为价外的。tSXt2.2 期权的损益与期权价格的界限2.2.1 期权的损益在期权交易市场上，有人买进期权(称为期权持有者)，相应地必须有人出售这个期权(称为写期权者) ，一个欧式看涨期权的持有者希望价格看涨，写期权者希望价格看跌，二者的利益是完全对立的。任何时候，一方面获益必是另一方面的损失。一个以价格 购进一个欧式看涨期权的持有者，在到期日 ，如果股票价格 ，CTTSX则他就执行权力，以 购进，以 出售，从而获利 ；如果 ，则他选XTS()TSCXT择不执行买的权力，从而损失初始投资 。因此，有如下命题。C命题 2.1：在到期日 的“利润” 或
19、损益为 (),TSyT(2.1)max,0TXC命题 2.2：写期权者在到期日的损益为 (),TTSy(2.2)ax(,0)TCX同理，当一个人以价格 购进一个欧式看跌期权，则在到期日 ，有如下命题。PT命题 2.3：持有者的利润函数为 (),TTSPy(2.3)max(,0)TX命题 2.4：写期权者的利润函数为5(),TTPXSy(2.4)max(,0)T2.2.2 欧式期权价格的界限我们先考虑欧式期权的评价问题。以欧式看涨期权为例， ，讨论一个期权“合理” 价格应该是多少。一个欧式看涨期权，如果在到期日 ，股票价格 ，则行使权利的期权的价为TTSX，如果 ，不行使权利则期权价值为零。()
20、TSXTSX因此，期权在 时的价值：(2.5)max(,0)TTCS在当前( 时)， 是一个随机变量。如果 ST 不是随机变量，而是确定性知道的，0tTS为了不存在套利机会， 时期权价格 C0 应满足t，0ax(,0)1TTffXrr其中 为 年无风险利率，事实上，若实际期权价 ，则在 时借 元并购买期frT 0tC权，从而在 时，行使权利得 。这就是无风险套利，反之，0()(1)TffSXC若 ,则在 时，卖期权并把得来的钱贷出即可无风险套利。0Ct当 为随机变量时，自然把 时的“合理”价格定义为TSt(2.6)0Emax(,0)11TTf fCSXrr:此处数学期望是以某个适当的概率分布计
21、算的。故用 表示这个数学期望。E:由此看出，写在一个标的资产上的期权的价值依赖于标的资产的价格，故把标的资产称为基础证券，把像期权这类(价值依赖于基础资产价格的)证券称为衍生证券。一般说来，人们并不知道这个概率分布，只能给出 的估计结果。下面命题给出期权价值的0C上、下界估计，并且证明如果期权的价格超过上界或低于下界，就存在套利机会。命题 2.5：欧式看涨期权开始价值(2.7)01fXSr6命题 2.6：对一个欧式看涨期权，若在到期日 ，有 ，且 ，则TTSLX(2.8)01fCSr命题 2.7：对一个欧式看跌期权，若在 时有 ，且 ，则有TU(2.9)001fPSr由于欧式看跌期权的初始价值
22、 。所以有00fX(2.10)0011f fUSPSrr命题 2.8：对同一种股票，同一个执行价格及同样到期日且股票在到期日之前不分红的欧式看涨和看跌期权价格有如下关系：(2.11)00 011f frSXCPr介绍了关于期权的一些知识和欧式期权价格的性质，接下来就要了解期权定价的模型。第三章和第四章就是介绍离散型的二叉树模型和连续型的 Black-Scholes 模型。原理 2.1：风险中性定价原理，任何依附于股票价格的衍生证券可以在风险中性世界的基础上进行估值。这个原理在期权定价中不容忽视，风险中性原理意味着：为了计算期权的价值，我们可以假设：(1)所有可交易的证券的期望收益都是无风险利率
23、；(2)未来现金可以用其期望值按无风险利率贴现来计算 4。3 二项式模型3.1 二项期权定价模型介绍二 项 期 权 定 价 模 型 最 早 由 考 克 斯 (Cox)、 罗 斯 (Ross)和 鲁 宾 斯 坦 (Rubinstein)提 出的 一 种 期 权 定 价 模 型 ， 主 要 用 于 计 算 美 式 期 权 的 价 值 。 其 优 点 在 于 比 较 直 观 简 单 ， 不需 要 太 多 数 学 知 识 就 可 以 加 以 应 用 。二 项 期 权 定 价 模 型 假 设 股 价 波 动 只 有 向 上 和 向 下 两 个 方 向 ， 且 假 设 在 整 个 考 察 期内 ， 股 价
24、 每 次 向 上 (或 向 下 )波 动 的 概 率 和 幅 度 不 变 。 模 型 将 考 察 的 存 续 期 分 为 若 干 阶段 ， 根 据 股 价 的 历 史 波 动 率 模 拟 出 该 股 在 整 个 存 续 期 内 所 有 可 能 的 发 展 路 径 ， 并 对 每7一 路 径 上 的 每 一 节 点 计 算 权 证 行 权 收 益 和 用 贴 现 法 计 算 出 的 权 证 价 格 。3.2 欧式期权定价模型二叉树模型的假设条件 5(1).股票市场是有效的；(2).存在着股票的卖空机制，但不存在套利机会；(3).股票和期权合约的买卖不设计交易成本、也不考虑税收；(4).市场参与者
25、可按已知的无风险利率无限制地借入借出资金；(5).无风险利率为常数；(6).金融市场上的投资者都是风险中立者；(7).假设基础资产的价格在离散的或不连续的时间内服从一个倍增的二项式过程。3.2.1 一期模型的欧式看涨期权定价为简单起见，假设不存在交易费用、税收等成本，还假设资本市场上存在一种无风险证券(债权)，人们可以用无风险利率 不受限制地借或贷。因为股票的价格下一期0fr的股价只有两种可能的状态：上升或下降，而且 可能上升到 的概率为 ，下降到SuS的概率为 。其中 。所以 的运动如图 1 所示：dS(1)1furd图 1 股票价格 的一期运动S一个执行价格为 的欧式看涨期权在 时，以 的
26、概率取 ，X1tmax(,0)uCSX的概率取 。 记这个期权在 的价格。1max(,0)dCSC0t命题 3.1：股票价格运动一期的情况下,期权在 的价格为(1)1udfqr8证明：构造一个在 的总投资为 的投资组合，在期权到日 ，它以概0t()SmC1t率 取值 ，以概率 取值 。uSmC(1)d选择 使得这个投资组合在 的两种状态下取值相等，即tudS由此解出(3.1)()udmC为了不存在套利机会，这个投资组合的期初投资 在 时的价值必须等于()S1t(1)fr即 ()f udrSmCSmC由此解(3.2)(1)fufr式(3.2)可改写为(3.3)11f fudfrurCCr如记：
27、1frdqu(3.4)1frd则式(3.3)可记为(3.5)(1)1udfCqCr由命题 3.1 中的式(3.4)知道： 及 ，从而可把 看做一个概0(,1)q率分布，称它为风险中性(Risk Neutral)概率或对冲概率(Hedging Probablity)，从而式(3.5)可改写为 1EfCr:9其中 是指按风险中性概率 ，而不是按实际概率 计算的数学期E: (,1)q(,1)望。从形式上看， 以“概率” 取 ，以“ 概率” 取 。这里概率打引号意指 和1Cu(1)qdCq不是实际概率，是一个人为的概率。一个风险中性的投资者对在任何股票上投资(1)q要求的期望回报率都为无风险利率 ，所
28、以在这种情况下风险中性投资者认为 就是股fr票从 上升到 的概率 。这就是为什么把 称为风险中性概率的原因。Suq这个证明过程对欧式看跌期权也成立。因此当股价运动模式如图 1 所示，欧式看跌期权在 时的价值0t(3.6)11()Eudf fPqPrr:式中： ； ； 由式(3.4)给出。max(,0)uPXSmax,0dXSq3.2.2 二期模型的欧式看涨期权定价接下来考虑的是二期问题，在时刻 时，股价 以概率 上升到 ，以概率1tuS下降到 。在时刻 ，又在 的基础上分别以概率 和 上升和下降。二1dS2t1期股价运动的二项式模式如图 2 所示。图 1 股票价格 的二期运动S命题 3.2：股
29、票价格运动二期的情况下,期权在 的价格为0t。2 21(1)()uuddfCqqCr 证明：假设每一期的无风险利率都是 。在得知二期期权价格 、 和 ，利fruCd10用一期的评价公式来求出 和 ，则有：uCd(3.7)1()uudfqCr(3.8)duddf其中 和 是式(3.4) 的风险中性概率。再用一次一期的评价公式，就推得在 时q(1) 0t期权的价值. 1()udfCqCr把式(3.7) (3.8)代入上式，得(3.9)2 21(1)()uuddfqqr 注意：命题 3.2 的证明过程中的式 (3.10)右边方括号内的系数正好满足,故如果把 ， 和 分别看成 取值222(1)(1)q
30、qq2q(1)2()q2C在 ， 和 的概率，则式(3.10)也可以改写成为uCd 21EfCr:其中数学期望 是按风险中性概率分布 ， ， 计算的。E: 2q()2(1)q和一期模型一样，此推导过程对二期欧式看跌期权定价也同样合适，欧式看跌期权在 时的价值0t(3.10)2 21(1)()uuddfPqqPr 式中： ； ； ， 由式(3.4)2max(,0)uPXuSmax,0udXS2max,0)dXSq给出。3.2.3 多期二项式期权定价公式在了解了一期和二期二项式期权定价公式，现在来推广到 期的情形。T命题 3.3：股票价格运动 期的情况下,期权在 的价格为T0t01!(1)max(
31、,0)()nTnnTnfCqudSXr11证明：设在 期内股价上升 次(从而下降了 次)，则最终股价为 ，TnTnnTSud从而在 期权的价值为t.max(,0)nTudSX一个有二项分布的随机变量，取 的概率为 ，取 的概率为 ,则取值qd(1)q的概率为nTudS,!B(|)(1)()nTnTnq，其中 为风险中性概率，参见式(3.4)。q由于 可取值 0，1，2，T,所以期权的期望价值为n.T0!E(1)max(,0)()nTnnTnCqudSX:由风险中性评价公式，得期权在 时的价值t(3.11)01!(1)ax(,0)()TnTnnTnf qudSr命题 3.3 的证明过程中(3.1
32、1)式比较复杂，所以要对其进行简化，令 为使得a的最小正整数，则当 ， ，从而式(3.11)可以改写nTudSXam(,)nTX为 01!(1)()()TnTnnfCqudSr(3.12)0 0! !(1)() ()TnT nTnTn nffudXSq qrr 如记， ，1fuqr1fdqr则，()(1)nTnn Tnfqr从而(3.12)可写成为 0!(1)()TnTnnCSq0!(1)()TnTnnfXqr12(3.13)|, |,1TfXSBnaqBnaqr这就是 期二项式模型欧式看涨期权的定价公式 6。T4 Black-Scholes 模型4.1 股票价格的行为模式在第三章我们讨论了期
33、权的离散模型，它只是假设股价在离散的时点上才发生变化没，而且每次变化只能取两个可能的状态之一。接下来的这部分就要考虑期权定价的连续模型，即考虑时间和股价都是连续的。在本节，我们将提供一种循序渐进的方法去了解股票价格遵循的随机过程。定义 4.1：马尔可夫过程，是一种说明只有变量的当前值和未来的预测有关的随机过程。人们通常假设股票价格遵循马尔可夫过程，所以股票价格行为模型通常采用马尔科夫随机过程的一种特殊形式，即维纳过程来表达，也称布朗运动。我们要理解遵循 Wiener 过程的变量 的行为，可以考虑在小时间间隔上变量 值z z的变化。定义 4.2：设一个小的时间间隔长度为 ，定义 为在 时间内 的
34、变化。要使tztz遵循 Wiener 过程， 必须满足:zz(1): 与 的关系满足方程式t(4.1)tz其中 为从 N(0，l) 分布中抽取的一个随机值。(2):对于任何两个不同时间间隔 ， 的值相互独立。t从定义 4.2 中可以看出 本身具有正态分布，即 的均值= ， 的方差= .zz0zt变量 的一般化 Wiener 过程用 定义如下: xd(4.2)bdatx其中 ， 为常数。方程(4.2)给出的一般性 Wiener 过程其漂移率的期望值为 ，方差率ab a的期望值为 。2但是股票期权的价格是该标的股票价格和时间的函数。更一般地，我们可以说任何一个衍生证券的价格都是这些标的衍生债券的随
35、机变量和时间的函数。所有任何研究衍生证券的严谨学者都必须对随机变量函数的行为有所了解，在这一领域内的一个重要结论由一个叫 K.Ito 的数学家在 1951 年发现。因此称为 Ito 定理。13定理 4.1：假设变量 的值遵循 Ito 过程：x(4.3)(,)(,)dxttdz其中 是一个维纳过程， 和 是 和 的函数。变量 的漂移率为 和方差率为 .Itodzx2定理表明 和 的函数 遵循如下过程：xtG(4.4)21()tVGGdabdtztxx由于 是维纳过程，所以 也遵循 Ito 过程。dz4.2 历史回顾1990 年 Louis Bachelier 发表了他的学位论文“投机交易理论”
36、，在论文中首次利用随机游动的思想给出了股票价格运行的随机模型，在这篇论文中，他提到了期权定价问题。1964 年 Paul Samuelson 对 L.Bachelier 的模型进行了修正。以股票的回报代替原模型中的股票价格。若 表示股票价格，那么 表示股票的回报，P.Samuelson 提出的随机tStdS微分方程是 (4.5)tdSdz这个模型克服了原先模型中可能使股票价格 出现负值的不合理情况。t基于这个模型，P.Samuelson 还研究了看涨期权的定价问题，可表述为：设 是看涨期权的期权金， 是股价， 是敲定价， 是到期时间，则CSKT(4.6)12()()cSTCeNd其中 21ln
37、(/)()StdT21(4.7)2()xNed这里 ， 分别是原生资产价格 和期权的价格 的回报在 时刻的期望值。这cS tStCtT两个量依赖于投资人的个人爱好，所以美足不足的是它在实际交易中不能运用。1973 年 Fischer Black 和 Myron Scholes 建立了看涨期权定价公式(4.8)12()()rTCSNdKed14和公式比较，这里用无风险利率 代替了 ， ，创新之处在于不依赖于投资r0,1i， S人的偏好，因此他们获得诺贝尔经济学奖。4.3 Black-Scholes 方程基本假设:(1).原生资产价格演化遵循几何 Brown 运动(4.9)tdSdz(2).无风险
38、利率 是常数且对所有到期日都相同。r(3).原生资产不支持股息。(4).不支付交易费和税收。(5).不存在无风险套利机会。(6).允许使用全部所得卖空衍生证券。(7).证券交易是连续的。(8).在衍生证券的有效期内没有红利支付。命题 4.1：Black-Scholes 方程为 。210CCrSrtS证明：设 是欧式看涨期权价格，它在期权的到期日 时，(,)CSt tT，(,)tX这里 是期权的敲定价，现在要求期权在有效时间内的价值。X利用 对冲技巧，我们给出欧式期权定价的数学模型。形成投资组合，CS( 是原生资产的份额) ，选取适当的 使得在 时段内， 是无风险的。(,)td设在时刻 形成投资
39、组合 ，并在时间段 内，不改变份额 。那么由t max,0TX于 是无风险的，因此在时刻 ，投资组合的回报是tdttrd即 (4.10)()tttttdCSrCS由于15，(,)ttCS其中 是由随机微分方程(4.9)确定的方程，因此有 Ito 公式tS.21( )t CddtSzS把它代入式(4.10) 得.2( )()CCStdzt S(4.11)(rd由于等式右端是无风险的，由此等式左端随机项 的系数必为 0，即选取z(4.12)S把它带入式(4.11) ，并消去 得到dt 210CCrrt这就是刻画欧式看涨期权价格变化的偏微分方程Black-Scholes 方程。4.4 Black-S
40、choles 公式(欧式看涨期权的定价)命题 4.2：Black-Scholes 公式为 。()12(,)()rTtCStNdXed证明：为了确定在合约有效期内0,T内期权的价值，就是要在区域 :0,t上求解定解问题：(4.13)210CCrSrtS(4.14)|()tTX作自变数代换 lnxS(4.15)t定解问题(4.13)(4.14)转化为常系数抛物型方程 Cauchy 问题( 初值问题)：(4.16)221()0CCrrx(4.17)0|()eX求解：做函数变换：16(4.18)21()r因为 2xxxxCeu代入(4.16).2222 2()0xxururu取， .21r21()r则
41、(4.16)变为(4.19)20ux相应的初始值为：(4.20)00|()xxeCeX令 (,)(,)(uxxd其中 为初值， 为方程(4.19)的基本解。() 2()1(,Xe则 (4.19) (4.20)表示为 2()1(,)()xuxeeXd2()(1)x 通过以上的变换可以得到：，2211()()12(,) ,rrxCxeuI其中 2 21 2ln1p()()()2rXIexrrd 1722ln11exp()2rXexrd 令，2()xr则，22()ln()12xXreIed令， ，221()xNe则 .21ln()(xXrIe同理得 .22ln()(rxXrIeN由变换(4.15)
42、回到原变量 有(,)St2 2()ln)(ln()(,)( rTtXrtxXrTtCStNXeNTt t令(4.21)21ln()SrTtd(4.22)21()t得到欧式看涨期权的定价公式为(4.23)()12(,)()rTtCStNdXed根据命题 4.3 的证明过程同样可得欧式看跌期权的定价公式：(4.24)()21(,)()rTtPteS这就是 Black-Scholes 公式。184.5 二项式模型和 Black-Scholes 的模型的关系介绍这两个模型之间的关系，也就是介绍他们之间参数的关系。对应与时间间隔 内股票价格变化的均值和标准差，参数 ， 和 必须给出相应tudq的正确值。
43、由于处于风险中性的世界中，所以股票的期望收益是无风险利率 。因此在r时间间隔 段末的股票期望值为 ，其中 为该时间间隔段初始股票价格，因此：t rtSe(4.25)(1)rtquSde(4.26)t在一个小时间段 内股票价格的方差是 ，则t22(1)rtt2 22(1) ()rttSeqSudSqud即(4.27)2 2(1)rteCox， Ross 和 Rubinstein 用的第三个常用的条件是：，ud则通过以上的式子可得出： tetd(4.28)aqu其中 rte因此，只要估计出股票回报率的波动度 ，就可以求出与之相匹配的二项式模型中的 ， 和 78.udq5 欧式期权定价的数值方法在以
44、上两章内容中重点介绍了欧式期权定价的两种模型以及两种模型之间的关系，但是在实际应用中我们掌握这两种模型是不够的，他们都只是给出了欧式期权的显式解，而其他期权诸如美式期权的定价没有显式解，所以接下的这一章内容将介绍期权定价的数值方法，当然对欧式期权定价同样适用。这章介绍的的数值方法分别是二叉树图方法和有限差分法。5.1 二项式模型的数值计算195.1.1 二叉树图方法利用单步和两步二叉树图模型去说明二项式模型是如何对欧式期权进行估值不太符合现实，所以只能用来说明概念，现实的模型就是假设股票价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成的。使用二叉树图模型时的股票价格完整数图如图 3 所示。时间为零时，已
45、知股票的价格为 ；时间为 时，股票价格按照上升比例和下降比例出现两种可能： 和 ，以St Sud此类推，在一般情况下， 时刻，股票价格有 种可能，它们是it 1i， jiSud0,ji，期权的计算是从数图的末端(时刻 T)开始向后倒退进行的，即 T 时刻的期权已知。而前面各个时刻的期权价格均可以通过 ， 和 的值推导出来，这样我们就能求出零q时刻的期权值。图 3 二叉树图模型时的股票价格完整数图5.1.2 实例分析例 5.1：2009 年 10 月 18 日，模拟交易参与者小王认为某只 3 期股票会上涨，于是决定买看涨期权，该股票现在市场价格为 100 元，执行价为 105 元，股票的价格一期
46、只发生两个变动，一个是上涨到 110 元，一个是下降到 90 元，市场的无风险利率为 5%，求该期权当期的理论价格是多少？20我们首先构造一个既可以反映三期的股票价格又可以反映三期( )的期权价格的3t二叉树图( 如图 4)。图 4 三期的股票和三期的期权价格二叉树图解：由题意得01S.1u105X.9dr().7q因为该期权是看涨期权，所以当 T=3 时期权价格 ，33max(,0)jjCSX由此可求得 ， ， ， 。T31.9C3203由公式(3.5) 得当 时 。1(.75*28.10.9)21同理得 ， ， ， ， 。21.786201.6.C0.6所以得到当期期权价格为 。.C现在用
47、 C 语言表示这个过程(程序见附录) 运行程序出现：21图 5 C 语言程序运行的结果输入数据：图 6 输入上述要求的值得出结果：图 7 程序运行之后各时刻期权的价格这个程序不仅仅是解这道题，程序中的期权到期时间 ，股票零时刻价格 ，利T0S率 ，股票价格上升比例 ，股票价格下降比例 ，最后期权执行价格 ，自己可以针rudX对任何题目输入相关数值得出当期的期权价格 。0C在例 5.1 中我们得知了股票价格上升比例 ，股票价格下降比例 ，但是在实际中ud我们能够估计的更多是波动率 ，所以我们来介绍当只知道 时期权的计算。例 5.2：考虑一个不付红利股票的 5 个月期欧式看跌期权，股票价格为 50 元，执行价格为 50，无风险利率为每年 10%,波动率为每年 40%，为构造一个二叉树，我们把
