1、数学双基研究,华东师范大学数学系 张奠宙 2005,10。 永安,谨慎地接受西方的教育理论！,杜威的教育思想不能照搬,知识必须学生自己发现？必须体现知识的发生过程？一定要结合学生的日常生活经验？非得合作学习？教师只是组织者， 引导者、合作者？这些都是一定条件下成立的命题。不是绝对真理,建构主义的某些主张并不新鲜,知识是学生自己建构的学生不是一张白纸学生的头脑不是一张空桶知识是不能灌输的。建构主义教育建议：自主、探究、合作。我们都同意！以前也是这样提倡的！,能动的反映论,教师为主导， 学生为主体。师傅领进门， 修行在个人。启发式教学，师生讨论， 反对满堂灌。谁说“学生是一张白纸？” “能动的反映
2、论”！知识是不能传授的？科学传授+主动接受是好的教育？,认识论 教学论,教育要讲究效率， 因为我们是把人类几千年积累的知识， 取其精华， 在“很短的时间内， 让学生掌握， 并形成能力。建构主义是认识论。 实践论也是解决认识论问题。建构主义认识论比较精致， 但是有唯心倾向。,建构主义的定义 (http:/www.mathforum）,建构主义是一种科学理论， 不能庸俗化。台湾的失败。（知识是个人学习的， 大白话。） “什么是建构主义？如下的解释能够同意吗?“ 学生需要对每一个数学概念构造自己的理解， 使得“教”的作用不再是演讲、解释、或者企图去“传送”知识， 而是为促使学生进行心智建构创设学习环
3、境和条件。这种教学方法的关键， 是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话,人的知识多半是主动接受而来 大多是间接经验， 少量的直接经验,书籍、报刊的阅读，电视的传播，世纪大讲堂。领导的讲话， 听名人报告。政府颁布的法律，遵守就是了交通规则的遵守， 学开车知道照办这些都是“单向传输的” 为什么教师在课堂讲授就是错误的？西方课堂上教师与学生讲话 8：1 香港是 16：1 （TIMSS调查，1999）,数学教育的核心是让学生掌握数学本质；教育数学的目标是为学生提供优质数学。,第10届国际数学家大会 2004。7月。 哥本哈根,F 克莱因奖和H
4、 弗赖登塔尔奖,三个大会报告：寻求平衡,数学家和数学教育家之间的协调大众数学和精英数学之间的平衡数学教育中理论研究和实践之间的关系,中国大陆的报告,刘意竹（人民教育出版社）：数学教材中练习题的编制张奠宙（华东师范大学）戴再平 （浙江教育学院）“中国双基数学教学和开放题教学”,演讲后提问情况,第三届东亚数学教育会议-2005年8月 主题：基础与创造。东亚数学教育的长处与不足,J Kilpatrick（美国）大会报告,小学课程： 是实践性的： practical.中学课程： 是智力性的： intellectural这表明： 联系生活实际是有限度的。中学数学教学主要是培养智力， 提高理性数学思维。,
5、朴昊美（韩国）大会报告,Teachers mathematical knowledge is a critical foundation in the practice of teaching, and instruction is shaped by what teachers know and do not know about the subject they teach. 教师的数学知识是教学实践的关键。 教学是由教师所教的那些懂和不懂的内容所形成的。pedagogy without mathematics is empty, mathematics without pedagogy
6、is blind. 教学没有数学是空洞的， 数学没有教学是盲目的 （康德）,朴汉植（韩国前数学教育会长）,将教学内容和教学方法整合起来韩国需要解决的问题是：数学教师应当懂得他所教的数学， 遗憾的是， 他们往往做不到。 例如： 所有的抛物线都是相似的， 对吗？,Nagaoka:日本数学教育的危机,TIMSS表明： 日本学生的数学基本知识和基本技能在衰退。缺乏练习，缺乏实践， 缺乏思考； 在东方传统数学教育环境中， “黑板、粉笔”仍然最有效 （较计算机演示）最严重的问题是， 日本的数学教育正在远离数学 - 数学家所从事的数学。,Clarke (澳大利亚）,分析三对相互关联的三个方面：1。 教与学。
7、 不能只讲“学”的重要性， 忽视“教”的重要性。2。 学生中心与教师中心。 这是交替出现的， 不能说那一个是中心 3。 讲还是不讲。 教师必须“讲”， 讲的好。 但是， 不能否定讲,10个神数学教育神话,原载2005年5月31日美国华盛顿邮报。 作者是该报记者Jay Mathews。,神话1。 只有学生自己发现的知识才能真正掌握,反对派：学生们学习的方法是多种多样的。让学生自己发现知识大都需要化费大量的时间，而这不仅不能保证学生在结束时掌握正确的概念，还可能耽误甚至妨碍下一阶段的学习。成功的教学应该让学生发现其中一部分经过精挑细选的知识，而不是全部。 NCTM: 我们从未把发现法作为教学中的唯
8、一方式或者主要方法。事实上，我们也同样认为学生学习的方法是多种多样的，而且只有在恰当的时机采用恰当的方法才能使学习卓有成效。学习的目标不仅是了解数学中的事实和过程，还包括思考、推理和应用数学。学生必须在深刻理解的基础上发展他们的能力。,神话2,我们期待孩子们自己发明、用自己的方法来进行基本算术操作，而不是被动地接受标准的算术算法和理论并付诸操练。 这样，他们对数学的理解会更深刻，有更强的归属感。 争论的焦点是：算法， 例如长除法是否重要？,神话3 通过问题解决来加深概念理解, 只有概念才是重要的. 孩子们不需要化太多的时间来做练习或复习基本的算术操作过程,反对派：学生只能记住他们曾大量练习过的
9、内容只能对那些多年来持续不变的练习内容有长时间的记忆这是无法回避的事实。NCTM：数学教学方式并没有走向两个极端。有许多行之有效的教学方式。任何一个老师都不会每天用同一种方式教学。一个优秀的教师会把各种最好的方法加以综合运用，使学生既能理解数学概念，也能精通数学程序。,关于“双基”的口号,起源：1960年代对1958年大跃进的教育反思。沈阳论数学课程标准， 研究数学双基的继承问题。台湾教改的失败， 引发对双基的思考数学教学改革的平衡， 不能走极端“双基”的与时俱进， 继承与发扬。,双基数学教学引起重视,10月19日， 沈阳举行9年义务教育数学课程标准研讨会。圆桌讨论会的议题之一是“双基”的理解
10、。基本理念：* 双基是优良传统之一* “双基”必须“与时俱进”,台湾教改新闻,建构主义教改失败。理解和记忆的关系。（记忆）九九表： 7 x4 = 28建构（理解） 7 +7 =14， 14+7=21，21+7 =28。民怨沸腾。,台湾教育界认为指挥失当,月亮是外国的圆。 教育理论照搬外国， 不看文化背景。“教改象月亮， 初一十五不一样”， 片面性。 “教育生活化”， 联系学生生活实际和打好双基， 各唱各的调。月亮自己不发光， 照到那里那里亮。 有些教育家自己不会上课， 却指导别人上课。,教师的作用,教师的主导作用， 新标准不提了。教师是数学学习的组织者、引导者、与合作者。（全国标准 第二页）误
11、解：建构主义认为，教师不应该直接告诉任何知识，要学生自己去建构。启发式就是符合建构主义观点的！,“数学教育幽默之一,一。 合作学习 在一堂数学公开课上， 女生：你的头发有点乱。 男生：你的眉毛画得太浓 评课者：这堂课合作学习搞得很好，学生很活跃。,数学教育幽默之二,二 “探究式教学” 数学老师问：“3 4 是多少？” 学生甲：“等于7。” 老师说：“不对， 比答案小了。” 学生乙：“等于34”， 老师说：“不对， 比答案大得多了。” 于是老师左手伸出一个指头，右手伸出两个指头。众学生：“答案是12！” 老师：“你们真聪明， 发现了数学真理！”,数学教育幽默之三,排中律和选择题 四个士兵出外打靶
12、。士兵甲扣动扳机，未打中，偏右。士兵乙打第二枪，偏左。士兵丙开第三枪， 偏上， 也未中靶。 第四位士兵丁， 没有开枪，却胜利高呼了：“我打中了， 我胜利了。”,2003年12月21日文汇报刊登 台湾佛光大学艺术学研究所所长林谷芳在北京大学的演讲,“一种美声唱法， 占据了主流教育系统100年， 这个社会还是部照你们的方式唱歌， 到底是谁出了问题？音乐家说， 我们出问题的几率较大。 如果我们不是受限于西方的结构体系， 我们是否也能象西方音乐家（看到他们的音乐）一样， 看到我们音乐的特质？ 其实我们原本就有一个丰富的系统在那里。 每一次“以西非中“的时候， 一直认为我们不如西方。 当然这种提法不代表
13、我们要固步自封， 而是要在谈发展之前， 我们有没有停下脚步， 看看自己有多少东西。 免得在发展时， 不仅没有把自己的东西好好整理， 甚至把自己的东西丢掉。,教训：要平衡， 不要搞片面性,双基与发展。 中国双基教学是否过时？记忆与理解。 三角公式要不要背？独立思考与合作交流。 数学是个人思考为主？知识积累与探究创新。 公开课课都必须探究？科学模型与日常经验。数学的日常经验是哪些？形式演绎与问题驱动。 冰冷美丽和火热思考艰苦学习与愉快学习。 如何才是愉快？事先探究与事后反思。 反思教学的缺失,高楼是美丽的， 但是基础更重要！,当心在花岗岩基础上只盖茅草房,一。双基数学教学的定义和框架,在掌握“基本
14、知识”“和基本技能”的基础上，注重学生的创新发展。“双基”教学不是只打基础， 成为题海战术的借口,中国“双基”数学教学的框架5层 发展层： 数学建模。 研究性学习。 文化思考。 反思质疑。 开放式教学。 题型改革。 数学思想方法 4层 基础层 “双基模块”与“双基平台”，问题求解 3层 双基内涵。速度与效率、记忆与理解、逻辑表达与思想方法、重复训练与变化。 2层 教学传统 启发式 。 “问题引入”。 “精讲多练”。 变式练习。逻辑辨析。 题型训练。 1层 文化背景 “稻作文化”。 “儒家文化”。 “考试文化”。“考据文化”。“ 熟能生巧”,二。双基教学是 中国固有文化的产物,稻作文化。精耕细作
15、。 与游牧文化的差异。儒家文化。 不能创新， 只能演绎， 侧重基础的把握与训练考试文化。 考试只能检验一部分的知识和能力， 主要是基础部分。考据文化。 重视证据、逻辑推断，着重细枝末节。,三。“双基”教学的传统,教学传统 * 启发式， 帮助学生理解；* 问题引导。 每堂课都重视“问题的引入”* 逻辑辨析。 对概念、命题、推理的逻辑成分十分注意；* 注意表达。 通过提问，学生复述，教师板书。 训练学生的数学表示能力；* 题型训练。 * 提炼数学思想方法,双基教学的模式,常规模式：问题引入 师生讨论 巩固练习三段论教学方式：教师主导的由教师提问、师生讨论的方式。定理证明的教学：小步走， 小转弯，
16、小坡度，提问式教学法练习课复习课：大容量、快节奏、高密度的问题链串接。,三.双基教学的内涵：四个维度,运算速度： 速度赢得效率知识记忆： 记忆通向理解逻辑精确： 必要的形式化变式训练： 变化中求重复,3.1 运算速度整式运算38题(田中),化简 1) (2/3) ab + (3/4) ab + ab = 2) y2 2x2 ( 3y2 ) = 3) 3 x2 y(1/2) x(2xy2) = 4) 3x2 y + (1/3) xy (xy) = 5) (2n) 23 =,因子分解 1) (a + b)2 (x y) 2 2) (x + y)2+ 5 (x + y) + 6 3)(m n)2+
17、4(m n) + 4配方: (1/2) x + x + (2/3),江苏苏州测试年级 8 9 10 11 12 平均 正确率 17.82 20.73 28.11 29.43 31.00 25.78,其他量表,张晓霞(成都教育学院):胡建军(宁波效实中学):李左杰(宁波象山中学):待定: ,3.2 记忆与理解,九九表背诵负负得正, 先做后说, 在运算中加深理解基本公式: 一元二次方程求根公式等计算规则要成为直觉三角公式如“和差化积等, 是否要记忆.(高考题目多, 时间短, 建议延长为3小时).,模式直观与记忆,证明： Cnm = Cn-1m + Cn-1m-1 （m，n 2） 证法1：直接验证
18、证法2：在n个元素中固定一个元a，那么从n个元中取m个元可分为两种情形。一定不取a，共有种取法；一定取a，共有种取法，加起来共个取法。,3.3 精确地表达,几何论证的演绎模式证明的严密性. 勾股定理不能把拼接作为证明.逻辑的训练. 例(1991年高考题): 下列命题中哪一个正确(A) 存在 and , 使得 cos (+)= coscos+ sinsin, (B) 没有无限多个 和 , 使得 cos(+)= coscos+ sinsin, ( C) 对任何的 和 , cos(+)= coscos+ sinsin都成立(D) 不存在 和 , 使得 cos(+)= coscos+ sinsin,(
19、选 A ),3.4 重复与变式,技能的形成必须通过重复的练习.但是我们借助“变式”.顾泠沅黄荣金鲍建生1. 概念变式. 如三角形“高”的位置2. 过程变式. 问题化归过程3. 结构变式(孙旭花, 香港中文大学博士生),结构变式(孙旭花),题组一：2/3 的 3/4 是多少？2的1倍是多少？ 2的2倍是多少？1/2的 1倍是多少？2的1/2倍是多少？ 2/3的1倍是多少？ 2/3的1/2倍是多少？2/3的3倍是多少？2/3 的1/4是多少？2/3的 是多少？,四. 双基数学教学“基础建设”,超经验的知识， 规则， 打好双基的基桩建设。选择典型例题，通过变式手段， 构作“双基模块”。加强数学连接，
20、运用成套题形， 创造“双基平台”,第一层次,知识点，陈述 接受。多数不需要发现知识点之间的连接（connections)往往是最重要的.“连接”把知识点织成一张网。发现“连接”， 理解“连接”是深层次的数学思考。知识点，探究点。,4.1 “双基模块”,用变式奖许多知识串联成一个完整的知识块。双基模块是“中国数学双基”的核心。,双基模块（一）变式串联,答案为（3）。 但是必须去掉 b轴(a不为0）,这是一道错题。,12名院士联名发表声明， 要求国家考试中心认错。 中心至今没有承认。 辩称有“不包含边界”字样。 来源：新华社独家提供高考数学题引来院士质疑一文在本报刊登后，12位院士联名倡议书的发起
21、人、中国科学院力学研究所博士生导师朱如曾教授向记者表示：“我期待教育部看到报道后，再组织一次专家论证，对这道数学题的对与错给出一个客观正确的答案。”,这是一道反映“双基”的好题,y = ax2 +bx +a .判别式 b 4a 2 0.(b 2a) (b+2a) 0得到区域 (x x)但是， 有两个交点意味着a 不能为 0。,xx,xx,xx,双基模块（2）典型例题演变,典型例题（鳖臑）题目：在四面体中，面 问题：（1）有多少对线线垂直？（2）有多少对线面垂直？（3）有多少对面面垂直？,在四面体中ABCD中角BCD 为直角AB垂直面BCD，B在AC，AD上的射影分别为E，F，连接EF，又C在B
22、D，AD上的射影分别为M，N，连接MN,双基模块（三）基本技能模块,整式的运算。合并同类项、因子分解、配方。 分式化简 根式化简函数作图立体几何作图,4.2 双基平台（一） 连接性平台（抛物线）,（物理）抛物线 高楼放烟火。参数方程。开口向下。（代数）抛物线。 一元二次函数。开口向上。（解析几何）抛物线。 准线、焦点、离心率 开口向右 （圆锥曲线）抛物线。圆锥的截线。无坐标。四个不同的角度， 如何沟通起来， 才是需要“探究”“发现”“体验过程” ！,双基平台（二） 综合性平台,综合练习函数 y = x + 1/x 的研究正比例函数和反比例函数之和函数图象：奇偶性， 单调性几何性质：双曲线不等式
23、极值,双基平台（三）题型平台,参数的取值范围问题。设定义域为R的奇函数f(x)是减函数， 当0/2 时， f(cos2+sin2)+ f(-2m-2) 0, 求m的取值范围 一类不等式的证明解析几何中的定值问题。应用问题的数学建模,五。 双基发展,问题解决套路、推广，自己编题。数学思想方法。理性认识。探究数学的文化价值、美学意义强调应用， 数学建模,双基教学与高考,高考对检验“双基”是合适的。田中等的工作： 对38道整式运算题要求学生在10分钟里尽量做， 看能完成多少。无数的测验和考试成绩， 只能反映双基， 无法衡量“创造”和“探究能力”。考试文化是一把双刃剑。,2003年12月23日文汇报记
24、者报道 弹萧邦要尽量多情。有时技巧是音乐的敌人。,记者：“傅聪先生，您曾经说过，现在的年轻人弹奏技巧越来越好，能不能告诉我们，您的潜台词是什么?” 傅聪：“现在很多孩子都是从3岁就开始练琴，练到10多岁，基础打得很扎实，基本技巧好得不得了，连我也很羡慕。但是呢，音乐其实他们懂的并不多，所以我说技巧有时是音乐的敌人，技巧和音乐根本是两码事。” 数学奥赛得了名次，高考成了状元，其实他们的数学懂得并不多。,“双基”要与时俱进。,继承的基础上要发扬。继承不能保守， 要“推陈出新”。双基不能“骂煞”， 也不能“捧煞”。“双基理论” 的总结， 还没有完成。 “双基教学”的实践， 有待发展。优秀的“双基”教
25、学案例（名师授课录）新时期的“双基”教学案例， 等待发掘。,改进双基的例子： 开放题,戴再平教授领导的开放题教学， 友密切结合双基的好例子。3 x3 y2 z 与 5 a3 b2 c 有什么共同点？钟面问题：在1，2， 12这些数字添上 正负号， 使其代数和为零。简单邮路问题（大家来创造）,第一种解法,第二种解法,第三种解法,第四种解法,Bolyai-Gerwien theorem,任意两个多边形可以割补相等,Any triangle is congruent by dissection to a rectangle of the same area.,Step one,Any two rec
26、tangles of the same area are congruent by dissection.,Step two:,Any two polygons of the same area are congruent by dissection.,Step three:,希尔伯特第三问题（1900）,任意等体积的两个多面体可以割补相等吗？答案： 否！Dehn 反例,There are infinite answers for a regular pyramid,我们应该继承和发扬什么？,问题引入， 问题驱动， 情景创设。启发式。教师主导， 学生主体建构 师生互动。 师生问答， 教师板演。巩固反思，精讲多练， 变式练习小步走， 小转弯， 小坡度新授课。大容量， 快节奏， 高密度复习课。,
