1、正弦定理教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 = = AasinBbiCcsin2. 三角形面积公式在任意斜ABC 当中 SABC = AbcBacCbsin21sisin213.正弦定理的推论： = = =2R（R 为ABC 外接圆半径）AasinBici4.正弦定理解三角形1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。3）已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况: （多解情况）若 A 为锐角时: 1)( ba ,
2、sin i锐 角一 解 一 钝一 锐二 解 直 角一 解无 解b a b a ba b aa一一一a,b一A一一一一一一一一一一一一一一一一abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1A BACB2CH H H若 A 为直角或钝角时: 2 )( a锐 角一 解无 解1、已知 中， ， ，则角 等于 ( D)A B C D2、 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若 sinA= ， b= sin B，则 a 等于( D ) A3 B C D1. 在 ABC中，若 sin2iB，则 AC一定是( ) A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等
3、腰直角三角形 D、等腰或直角三角形解析： icos(in0,B ,2AB或 3.在 RtABC 中，C= 2，则 i的最大值是_.解析 在 tABC 中，C= ， sinsin()2AsicoA 1sin2A， 0,2 0, 4时， BAi取得最大值 12。4. 若 BC中， 13Bcos,tan，则角 C 的大小是_解析 10101t,s,sin,tan2 3AOBtattant()tan(), 4ACBOC7.在ABC 中，已知 bc， 2siisnC，试判断ABC 的形状。解：由正弦定理 siniinRA得： 2， sin2bBR，si2cCR。所以由 siBC可得： 2()abc，即：
4、 2abc。又已知 abc，所以 24c，所以 4()，即 2()0，因而 。故由 得： 2ab， ab。所以 c，ABC为等边三角形。在 中， 是 成立的 ( C ) ABCAasiniB必要不充分条件 充分不必要条件 充要条件 既不充分也不必要条件1.ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 c= 2，b= 6，B=120,则 a 等于（ ）A. 6B.2 C. 3D.答案 D3.下列判断中正确的是 （ ）A.ABC 中，a=7，b=14，A =30,有两解B.ABC 中，a=30,b=25,A=150 ，有一解C.ABC 中，a=6,b=9，A=45 ，有两解D.ABC
5、中，b=9,c=10,B=60, 无解答案 B4. 在ABC 中，若 2cosBsinA=sinC,则ABC 一定是 （ ）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形答案 B10. 在ABC 中，已知 a= 3,b= 2,B=45,求 A、C 和 c.解 B=4590且 asinBba,ABC 有两解.由正弦定理得 sinA= sin= 245si = 3,则 A 为 60或 120.当 A=60时，C=180-(A+B )=75,c= Bbsin= 45si72= 45sin)30(= 26.当 A=120时，C=180-(A+B )=15,c= bsin= 45i1
6、s2= 45sin)30(= 26.故在ABC 中，A=60,C =75,c= 或 A=120,C=15,c= 26.12. 在ABC 中，a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边，如果（a 2+b2）sin（A -B）=（a 2-b2）sin（A +B） ，判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为 a2sin（A-B）-sin （A+B） =b 2-sin（A+B）-sin(A-B)2a 2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin 2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB )=0sin2A
7、=sin2B ,由 02A,2B2 得 2A=2B 或 2A=-2B,即 A=B 或 A= 2-B,ABC 为等腰或直角三角形 .方法二 同方法一可得 2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得 a2b c2= b2a c2a 2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a 2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b 或 a2+b2=c2ABC 为等腰或直角三角形.2在ABC 中，已知 B45，c 2 ，b ，则 A 等于( )2433A15 B75 C105 D75或 15解析：根据正弦定理 ，sin C .csin C bsin B csin Bb2222433 32C60或 C120，因此 A75或 A15.答案：D例 1 已知 a、b 为ABC 的边，A、B 分别是 a、b 的对角，且 ，求32sinBA的值.解： 23sin,sin,isinba又 (这是角的关系) ， 23ba (这是边的关系)于是，由合比定理得 .25b例 2 已知ABC 中，三边 a、b、c 所对的角分别是 A、B、C ，且 a、b、c 成等差数列求证：sinAsinC2sin B证明：a、b、c 成等差数列，ac2b(这是边的关系) 又 BaCcsin,sinisinB将、代入，得 bAb2sii整理得 sinAsin C2sinB(这是角的关系
