1、概念题一、解释下列概念1. 两个整数的最大公因数。答：设 a,b,d 为整数，若 d 满足2. 模 m 的完全剩余系。 答：若 a1, a2, , am 是 m 个整数，并且其中任何两个关于模 m 不同余，即其中任何两个都不在模 m 的同一个剩余类里，则称 a1, a2, , am 为模 m 的一个完全剩余系。3. 整数 a 是整数 b 的倍数。4. 模 m 的简化剩余系。二、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。答：若 a，b 是两个整数，其中 b0，则存在两个整数 q及 r，使得a=bq+r， r0成立，而且 q及 r是唯一的。下面给出证明：证 作整数序列，3b，2b，b，0，b，2b，3b
2、，则 a必在上述序列的某两项之间，及存在一个整数 q使得 qba(q+1)b 成立。令 aqbr，则 r为整数，且 aqbr，而 。br0设 是满足（2）的另两个整数，则1q，rbb10所以 ，于是 ，故 。由于 r， 都q1 11)(rq11rqb1是小于 b的正整数或零，故 。如果 ，则 ，这是一个rb矛盾。因此 ，从而 。11三、 叙述孙子定理的内容并给出证明。证明：从假设可知，对任何，由于 ，所以 这说明存在整数 使得 这样的 叫做 模的数论倒数。考察乘积 可知：所以 满足： 这说明 就是方程组 的一个解。另外，假设 和 都是方程组 的解，那么：而 两两互质，这说明整除 . 所以方程组 的任何两个解之间必然相差 的整数倍。而另一方面， 是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组 的解。所以方程组所有的解的集合就是：
