1、第五章 热力学第一定律51.0.020Kg 的氦气温度由 升为 ，若在升温过程中：（1）体积保持不变；（2）压强保持不变；（3）不与外界交换热量，试分别求出气体内能的改变，吸收的热量，外界对气体所作的功，设氦气可看作理想气体，且 ，解：理想气体内能是温度的单值函数，一过程中气体温度的改变相同，所以内能的改变也相同，为：热量和功因过程而异，分别求之如下：（1）等容过程：V=常量 A0由热力学第一定律， （2）等压过程：由热力学第一定律，负号表示气体对外作功，（3）绝热过程Q0由热力学第一定律 52.分别通过下列过程把标准状态下的 0.014Kg 氮气压缩为原体积的一半；（1）等温过程；（2）绝热
2、过程；（3）等压过程，试分别求出在这些过程中气体内能的改变，传递的热量和外界对气体所作的功，设氮气可看作理想气体，且 ，解：把上述三过程分别表示在 P-V 图上，（1）等温过程理想气体内能是温度的单值函数，过程中温度不变，故由热一、 负号表示系统向外界放热（2）绝热过程由 或 得由热力学第一定律 另外，也可以由 及 先求得 A（3）等压过程，有或 而 所以 由热力学第一定律，也可以由 求之另外，由计算结果可见，等压压缩过程，外界作功，系统放热，内能减少，数量关系为，系统放的热等于其内能的减少和外界作的功。53 在标准状态下的 0.016Kg 的氧气，分别经过下列过程从外界吸收了 80cal 的
3、热量。（1）若为等温过程，求终态体积。（2）若为等容过程，求终态压强。（3）若为等压过程，求气体内能的变化。设氧气可看作理想气体，且 解：（1）等温过程则故（2）等容过程（3）等压过程54 为确定多方过程方程 中的指数 n，通常取 为纵坐标， 为横坐标作图。试讨论在这种图中多方过程曲线的形状，并说明如何确定 n。解： 将 两边取对数或 比较 知在本题图中多方过程曲线的形状为一直线，如图所示。直线的斜率为 可由直线的斜率求 n。或 即 n 可由两截距之比求出。55 室温下一定量理想气体氧的体积为 ，压强为 。经过一多方过程后体积变为 ，压强为 。试求：（1）多方指数 n；（2）内能的变化；（3）
4、吸收的热量；（4）氧膨胀时对外界所作的功。设氧的 。解：（1） 或 取对数得（2） 内能减少。（3） （4）由热力学第一定律也可由 求 56 一摩尔理想气体氦，原来的体积为 ，温度为 ，设经过准静态绝热过程体积被压缩为 ，求在压缩过程中，外界对系统所作的功。设氦气的 。解： 由热力学第一定律57 在标准状态下的 氧气，经过一绝热过程对外作功 。求终态压强、体积和温度。设氧气为理想气体，且 ， 解：绝热 由热力学第一定律58.0.0080Kg 氧气。原来温度为 ，体积为 0.41l，若（1）经过绝热膨胀体积增为 4.1l；（2）先经过等温过程再经过等容过程达到与（1）同样的终态。试分别计算在以上
5、两种过程中外界对气体所作的功。设氧气可看作理想气体，且 。解：如图，将两种过程在 图上表示。（1）绝热过程负号表示系统对外界作功（2） 等容过程外界对气体不作功 5-9.在标准状态下，一摩尔单原子理想气体先经过一绝热过程，再经过一等温过程，最后压强和体积均为原来的两倍，求整个过程中系统吸收的热量。若先经过等温过程再经过绝热过程而达到同样的状态，则结果是否相同？解：（1）先绝热压缩再等温膨胀，从态 1 到态 2 如图，对态 2又，仅等温过程吸热（2）先等温膨胀再绝热压缩，气体从态 1 到态 2，如图由（1）知 又 仅等温过程态 1 到态 4 吸热，8.31273ln166.3 J可见，结果与(1
6、)中不同，说明热量是过程量。510.一定量的氧气在标准状态下体积为 10.0l，求下列过程中气体所吸收的热量：（1）等温膨胀到 20.0l；（2）先等容冷却再等压膨胀到（1）所达到的终态。设氧气可看作理想气体，且 。解：（1）等温膨胀1.013 10 702J（2）先等容冷却在等压膨胀对 123 全过程：则 由热力学第一定律507J511.图 511 中的实线表示一任意形状系统的界面。设当系统的界面由实线膨胀到虚线的微元过程中，系统总体积增加 dv，而在这过程界面上各均受到与界面垂直的外界对系统所作体积功为 ；若过程为准静态的，则此功又可表示为 ，其中 P 表示系统内部均匀压强。证：如图，当系
7、统的界面由实线膨胀到虚线的微元过程中，所取面元 ds 移动距离 dl，移动方向与 相反，所以此微元过程中外界压强 对面元 ds 作的功为由于 在界面上各处均匀，且在微元过程中可视为不变，则外界对整个系统所作的体积功为对于无摩擦的准静态过程 故此功又可表为 其中 P 表示系统内部均匀压强。513.某气体服从状态方程 ，内能为： 、 为常数。试证明，在准静态绝热过程中，这气体满足方程：常数其中 证：由热力学第一定律，（1）由 ， 对准静态绝热过程 则（1）式为（2）将 微分代入（2）式得：或 （3）又，该气体有已知 为常数，则 为常数。令 则 为常数代入（3）式 积分得 常数514.在 时水蒸气的
8、饱和气压为 0.029824bar。若已知在这条件下水蒸气的焓是 2545.0KJ ，水的焓是 100.59 KJ ，求在这条件下水蒸气的凝结热。解：在水蒸气凝结为水的等温等压过程中，系统吸收的热量等于其焓的增加，为H 水H 气100.592545.024444.41 KJ 即该条件下水蒸气的凝结热，负号表示水蒸气凝结时放热。515.分析实验数据表明，在 1atm 下，从 300K 到 1200K 范围内，铜的定压摩尔热容量 可表示为其中 a 2.3 ，b5.92， 的单位是 。试由此计算在 1atm 下，当温度从300K 增加到 1200K 时铜的焓的改变。解：铜在升温过程中压强不变，吸收的
9、热量等于其焓的增加，所以= 516.设一摩尔固体的物态方程可写作内能可表示为 其中 a、 b、c 和 均是常数。试求：（1） 摩尔焓的表达式；（2） 摩尔热容量 和 解：（1） （2） 利用 先将 u 表示为 T，v 的函数= = = 注意：这道题目出的有毛病，因为由热力学关系可证但由本题所给条件=aT而T p =aT bp显然不满足（ ）式，即本题条件违背热力学基本关系。5-17 .若把氮气、氢气和氨气都看着作理想气体（p 0）,由气体热力学性质表可查到它们在 298K的焓值分别为 8669J m0 .试求在定压下氨的合成热。氨的合成反应为 解：系统在定压下吸收的热量等于其焓的增加，为= =
10、 即氮的合成热。负号表示此合成反应是放热的。518.料电池是把化学能直接转化为电能的装置。图 5-18 所示是燃料电池一例。把氢气 和氧气连续通入多孔 Ni 电极，Ni 电极是浸在 KOH 电解溶液中的（电极的孔径很小，可使电解液因毛细现象而渗入，但氢和氧气都透不过）。负极上的化学反应是，氢与电解液中的氢氧根离于结合，生成离子和水：电子通过电极跑到外电路去。正极上的化学反应是，氧与电解液中的水、电子结合为氢氧子：这燃料电池反应的总效果是：若一燃料电池工作于 298K 定压下，在反应前后焓的改变为两极电压为 。试求这燃料电池的效率。解：定压下，1 摩尔氢尔和半摩尔氧化合成 1 摩尔水时吸收的热量
11、为负号表示实际放出的热量为 每产生 1 个水分子就有两个电子自阴极跑到阳极，因而生成 1 摩尔的水就有 个电子自阴极跑到阳极。每个电子的电量为 库仑，故总电量为库仑已知两极间电压为 ，故所作电功为焦耳则，这燃料电池的效率为519.大气温度随高度降低的主要原因是，低处与高处各层间不断发生空气交换。由于空气的导热性能不好，所以空气在升高时的膨胀（及下降时的压缩）可认为是绝热过程。若假设过程是准静态的，并注意到大气达到稳定机械平衡时压强差与高度的关系，证明空气的温度梯度为其中 p 为空气压强, 、T 分别为紧度与温度， 是空气的 。证：所谓“大气达稳定机械平衡”，指重力场中的气体分子在热运动和重力两
12、种互相对立的作用下的平衡，平衡时分子数密度随高度减小的规律可由玻尔兹曼分布律给出，结合 p=nkT 可得大气压强差与高度差的关系（等温气压公式）：微分得， 从 有 代入上式得（1）认为一定量的空气上升时经历的过程，是理想气体的准静态绝热膨胀，有取对数，再微分，有或 将（1）代入此式得：即空气的温度梯度。5-20.利用大气压随高度变化的微分公式证明：其中 和 为地面的温度和压强，p 是高度 h 处的压强。假设上升空气的膨胀是准静态绝热过程。证：将 dp 表达式中的变量 T 用绝热方程换掉后积分即得证明，具体作法如下：取一定量空气在地面和高度 z 处两状态，由绝热方程得 代入 dp 的表达式中，得
13、或 积分 整理 而 所以 5-21. 图 5-21 有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分 A 和 B，其中各盛有一摩尔的理想气体氮。今将 80cal 的热量缓慢地同底部供给气体，设活塞上的压强始终保持为 1.00atm,求 A 部和 B 部温度的改变以及各吸收的热量 (导热板的热容量可以忽略).若将位置固定的导热板换成可以自由滑动的绝热隔板,重复上述讨论.解：(1)导热板位置固定经底部向气体缓慢传热时，A 部气体进行的是准静态等容过程， B 部进行的是准表态等压过程。由于隔板导热，A、B 两部气体温度始终相等，因而=6.7K=139.2J（2） 绝热隔板可自由滑动
14、B 部在 1 大气压下整体向上滑动，体积保持不变且绝热，所以温度始终不变。A 部气体在此大气压下吸热膨胀5-22. 图 5-22 所示是一种测定 =CP/CV 的装置。经活塞 B 将气体压入营容器 A 中，使压强略高于大气压（设为 P1）。然后迅速开户再关闭活塞 C，此时气体绝热膨胀到大气压 P0。经过一段时间，容器中气体的温度又恢复到与室温相同，压强变为 P2，假设开启 C 后关闭 C 前气体经历的是准静态绝热过程，试定出求 的表达式。解：由于 P1 略大于 P0，当开启 C 后，将有一部分气体冲出容器 A，把仍留在 A 中的气体作为研究对象，则从开户 C 后到关闭 C 前，系统经历准静态绝
15、热膨胀过程，由状态 1（P 1，T 0）到状态 2（P 0，T 2）；从关闭 C 到留在 A 的气体恢复室温，系统经历准静态等容吸热过程，由状态 2（P 0，T 2）到状 3（P 2，T 0）。两过程可表示如图绝热过程中等容过程中取对数整理得：523.如图 5-23，瓶内盛有气体，一横截面为 A 的玻璃管通过瓶塞插入瓶内。玻璃管内放有一质量为 m的光滑金属小球（象一个活塞）。设小球在平衡位置时，气体体积为 V，压强 为 P=P0+ （P 0 为大气压强）现将小球稍向下移，然后放手，则小球将以周期 T 在平衡位置附近振动。假定在小再教育上下振动的过程中，瓶内气体进行的过程可看作准静态过程，试证明
16、：（1）使小球进行简谐振动的准静态弹性力为这里 =CP/CVy 为位移。（2）小球进行简谐振动的周期为（3）由此说明如何利用这些现象测定 证：（1）取 Y 坐标原点在小球平衡位置处，向下为正。小球所受的大气压力和重力始终为 P0A+mg，方向向下。在平衡位置处，小球所受合力为零，有(1)其中 pA 为小球在平衡位置时，瓶内气体施于小球的向上的压力。当小球离开平衡位置向下至于 y 处，瓶内气体将经历一准静态绝热过程，将 p =C 微分得(2)设土法上马球在 y 处时，瓶内气体的压强为 ,体积为 则小球从 y=0 处至 y 处，瓶内气体体积改变为 V= V=yA，压强的改变面貌为 P= -P,考虑
17、到 V0).证:(1)对于稳定流动的流体 ,虽然整个系统处于非平衡态,但任一微小流块可近似为处于平衡态,其内能为 U,设其质量为 m,则动能 K= 对于小流块的微元过程,其热力学第一定律的表达式由(5.11)式给出:由于不流块处在重力场中,外部对小流块作的功 中还应包括重力对小流块作的功-mgdz,即其中 dA 是除重力外外部对小流块的微功.小流块在微元过程中热力学第一定律的表达式为:(1)(2)(1)式或为注意到 ,由初态到终态积分上式,即得小流块从流进到流出的过程中热力学第一定律的表达式,(2)(3)(2)式中的 A 包括两部分:周围液体对小流块作的功 ,其中 是流入时外界对小流块作的正功
18、, 是流出时外界对小流块作的负功.由于小流块对外作功 ,则 A中包括- 综之, 代入(2)式,有:注意到 H=U+Pv=mh, = ,Q=mq,以 m 除上式,即得:5-27 图 5-27 所示为一摩尔单原子理想气体所经历的循环过程,其中 AB 为等温线.已知3.001, 6.001 求效率.设气体的 解:AB,CA 为吸引过程 ,BC 为放热过程.又 且 故 %5-28 图 5-28(T-V 图)所示为一理想气体( 已知)的循环过程.其中 CA 为绝热过程.A 点的状态参量(T, )和 B点的状态参量(T, )均为已知.(1)气体在 A B,B C 两过程中各和外界交换热量吗 ?是放热还是吸
19、热? (2)求 C 点的状态参量(3)这个循环是不是卡诺循环?(4)求这个循环的效率.解:(1)A B 是等温膨胀过程,气体从外界吸热 ,B C 是等容降温过程,气体向外界放热.从 又得 (3)不是卡诺循环(4) = = 5-29 设燃气涡轮机内工质进行如图 5-29 的循环过程,其中 1-2,3-4 为绝热过程;2-3,4-1 为等压过程.试证明这循环的效率 为又可写为其中 是绝热压缩过程的升压比 .设工作物质为理想气体 , 为常数.证:循环中,工质仅在 2-3 过程中吸热 ,循环中,工质仅在 4-1 过程中放热循环效率为从两个绝热过程,有或 或 由等比定理又可写为5-30 图 5-30 所
20、示为理想气体经在的循环过程,这循环由两个等容过程和两个等温过程组成 .设为已知,设 为已知试证明证:如图,由两等温过程可得两式相除有 即 若本题由两个等容过程和两个绝热过程组成循环,结论不变.5-31 图 5-31 中 ABCD 为一摩尔理想气体氦的循环过程,整个过程由两条等压线和两条等容线组成.设已知 A 点的压强为 2.0tam,体积为 1.01,B 点的体积为 2.01,C 点的压强为 1.0atm,求循环效率.设 解:DA 和 AB 两过程吸热,= = =6.5atml BC 和 CD 两过程放热= = =5.5atml%5-32 图 5-32 所示的循环过程中.设问燃烧 50kg 汽
21、油可得到多少功.已知汽油的燃烧值为4.69 气体可看作理想气体.解:5-29 题已证出:由此 燃烧 50kg 汽油,工质吸收的热量为=4.69 50=2.345 5-33 一制冷机工质进行如图 5-33 所示的循环过程,其中 ab,cd 分别是温度为 , 的等温过程;cb,da 为等压过程.设工质为理想气体,证明这制冷机的制冷系数为证:ab,cd 两过程放热 , 而Cd,da 两过程吸热, ,而则循环中外界对系统作的功为从低温热源 1,(被致冷物体)吸收的热量为 制冷系数为证明过程中可见,由于 ,在计算 时可不考虑 bc 及 da 两过程.5-34 绝热压缩系数 的定义是 ,其中 表示物质 P,V 的经过绝热过程的微量改变(变为 ).设物质为理想气体 ,且服从绝热过程方程 .略去二级无穷小量,证明该理想气体的 证:设气体由状态(P,V)经绝热微过程变到状态() ,由绝热方程,有两边同除以,上式可整理为(1)由于 ,利于二项式公式
