1、消元法的实质是对增广矩阵作初等行交换,而初等变换是可以用矩阵运算来描述的.消元过程相当于下述矩阵乘法运算。,因此，由分块矩阵乘法可得,一 矩阵的LU分解,第四节 矩阵分解,令,可得,可见只要消元过程能进行到底，就有以下等价关系,定理1 若矩阵A非奇异，则A能分解为LU 的充分必要条件是A的顺序主子式不为0，即,定理2 若非奇异矩阵A有LU分解,则此分解是唯一的。,二 LU 分解的计算公式,比较式 A=LU 两端的元素, 按下图所示顺序逐框进行,先求 ukj 后求 lik . 由第一框可得,得,假设前k -1框元素已求出，则由,有了矩阵 A 的LU分解计算公式 , 解线性方程组Ax=b 就转化为
2、依次解下三角方程组 Ly=b 与上三角方程组 Ux=y 其计算公式如下：,解 用紧凑格式,所以,例 3 将矩阵A 进行LU 分解,解,所以,当矩阵 A 对称且 其顺序主子式均不为0时由定理2可知其LU分解必存在。且,三 LDLT (Cholesky) 分解法,于是 A=LU=LDM. 又据A的对称性有,其中 M T 为单位下三角阵, DLT 为上三角阵, 因此上式也是A的 LU 分解.由 LU 分解的唯一性可知, 应有,定理3 设矩阵 A 对称且各阶顺序主子式均不为0时，则必存在单位下三角阵 L 及对角阵D , 使 A=LDLT 上式称为对称矩阵的 LDLT 分解.,同 A 的 LU 分解过程
3、, 可得LDLT分解的计算公式为,此时, 解方程组 Ax=b 等价于解LDLTx=b，而后者可转化为依次解两个三角形方程组 Ly=b , LTx=D-1y，其计算公式如下,这种解方程组的方法称为乔累斯基分解法或 LDLT 分解法。,四 平方根法（LLT 分解法）,当矩阵 A 对称正定时, 其顺序主子式均大于0, 可知其 LDLT 分解存在，且,定理4 设矩阵 A 对称正定,则必存在下三角阵 L, 使 A=LLT 上式称为正定矩阵的 LLT 分解.,同 LU 分解公式的求法,可得LLT分解的计算公式,则,L1为下三角矩阵.,则 A=LDLT =LD1D1LT= (LD1)( LD1)T,当 A 对称正定时, 解方程组 Ax=b 等价于解LLTx=b,而后者可转化为依次解两个三角形方程组 Ly=b , LTx=y，其计算公式如下,这种解方程组的方法称为平方根法或LLT 分解法。,例3 用平方根法分解对称正定矩阵,解,于是 其中,五 追赶法,当矩阵A为三对角矩阵，即,在 A 的LU 分解中, L取下三角阵, U 取单位上三角阵,这样求解方程组Ax=d 的方法称为追赶法.,例4 用追赶法解三对角线方程组,解 由三对角分解公式有,而由“追”公式有,最后，由“赶”公式得原方程组的解,
