1、第三节 区间估计,置信区间定义 置信区间的求法 单侧置信区间 课堂练习 小结 布置作业,引言,前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .,譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估计为1000条.,若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.,实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.,也就是说，我们希望确定一个区间，使我们
2、能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.,湖中鱼数的真值, ,这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的 ， 称为置信度或置信水平.,置信水平的大小是根据实际需要选定的.,一、 置信区间定义,这里有两个要求:,可见，,对参数 作区间估计，就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量).,一旦有了样本，就把 估计在区间 内 .,可靠度与精度是一对矛盾，一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度.,在求置信区间时，要查表求分位点.,二、置信区间的求法,若 X 为连续型随机变量 , 则有,所求置信区间为,所求置信区间为, N(0, 1),选 的点估计为 ,明确问题,是求什么 参数的置信区间? 置
3、信水平是多少？,解,寻找一个待估参数和 统计量的函数 ，要求 其分布为已知.,有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.,对给定的置信水平,查正态分布表得,对于给定的置信水平, 根据U的分布，确定一 个区间, 使得U取值于该区间的概率为置信水平.,使,从中解得,对给定的置信水平,查正态分布表得,使,也可简记为,于是所求 的 置信区间为,从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:,1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?,置信水平 是多少?,2. 寻找参数 的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn),3. 寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数 U(T, ),且其分布为已知.,于
4、是 就是 的100( )的置信区间.,可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数 和估计量T 的函数U(T, ), 且U(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未知参数 .,而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.,休息片刻继续,需要指出的是，给定样本，给定置信水平 ，置信区间也不是唯一的.,对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.,由标准正态分布表，对任意a、b，我们可以求得 P( aUb) .,N(0, 1),由 P(-1.75U2.33)=0.95,这个区间比前面一个要长一些.,我们总是希望置信区间尽可能短.,类似地，我们可得到若干个不同的置信区间.,
5、任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u) 下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.,在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时求得的置信区间的长度为最短.,a =-b,即使在概率密度不对称的情形，如 分布， F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.,我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于 1 的置信区间，并且置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长.,也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，区间长度就长，估计的精度就差.这是一对矛盾.,实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些 .,三、单侧置信区间,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人
6、们关心的只是参数在一个方向的界限.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.,这时, 可将置信上限取为+ ，而只着眼于置信下限 ，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.,于是引入单侧置信区间和置信限的定义：,设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均值 的置信水平为0.95的单侧置信下限.,例2 从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下：,1050，1100，1120，1250，1280,方差 未知,解 的点估计取为样本均值 ,对给定的置信水平 ，确定分位点,使,即,于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为,将样本值代入得,的置信水平为0.95
7、的单侧置信下限是,1065小时,的置信水平为 的单侧置信下限为,即,请自己画一张表，将各种情况下的区间估计加以总结.,留作作业,四、课堂练习,随机地取炮弹 10 发做试验，得炮口速度的标准差 , 炮口速度服从正态分布. 求这种炮弹的炮口速度的标准差 的置信水平为0.95 的置信区间.,由,解,随机地取炮弹 10 发做试验，得炮口速度的标准差 , 炮口速度服从正态分布. 求这种炮弹的炮口速度的标准差 的置信水平为0.95 的置信区间.,于是得到 的置信水平为 的置信区间为,这里,可得到 的置信水平为 的置信区间为,同学们可通过练习，掌握各种求未知参数的 置信区间的具体方法.,这一讲，我们介绍了区间估计.,五、小结,六、布置作业,概率论与数理统计标准化作业 (六),
