1、1第四章 级数本章先介绍复级数的基本概念及其性质，然后从柯西 积分公式 这一解析函数的积分表示式出发， 给出解析函数的级数表示泰勒级数及洛朗级数。然后，以它们为工具，进一步研究了解析函数的性质。4.1 复数项级数1.复数序列给定一列无穷多个有序的复数， ， ，11ibaz22ibaznnibaz称为复数序列，记为 。n定义 4.1.1：给定一个复数序列 ，设 为一复常数。若对于任意给定的正数 ，都存在一个n0 0充分大的正整数 ，使得当 时，有N，|zn则说当 趋向于 时， 以 为极限，或者说复数序列 收敛于极限 ，记为nnz0 nz0z。0limn定理 4.1.1：给定一个复数序列 ，其中
2、， ， ，则znibaz,21iba0的充要条件是0limzn和 。nlinli定理 4.1.2：若 ， ，则znliznlim；zn)(；li， ， 。zznn/)/(li ),21(0n02.复数项级数定义 4.1.2：设有复数序列 ，表达式nz(4.1.1) nnzz21称为复数项级数。定义 4.1.3：若复数项级数(4.1.1)的部分和（也称为前 项和）序列，21nnzzs ,21以有限复数 为极限，即若ibas，snlim则称复数项级数(4.1.1)是收敛的，并称 为级数(4.1.1)的和，记为s；zn1若部分和，2nns ,212无有限极限，则称级数(4.1.1)发散。定理 4.1
3、.3：设 ， ，则,21,nibazn ibaz收敛于 收敛于 ， 收敛于 。11n1nb由此可见，则级数收敛的充分必要条件是级数的实部级数 和虚部级数 都收敛。a1n定理 4.1.4： 收敛 。1nz0limnz收敛的复数级数有如下性质：（1） 收敛 ，使 ；nzMzn),21(（2）若 ， ，则s1szn1， （ 为复常数） ；1)(nnszcszcnn11（3）若在复级数(4.1.1)中增、删有限个项，则所得级数与原级数同为收敛或同为发散。定义 4.1.4：若级数 收敛，则称级数 绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛1nz1nz级数。对于绝对收敛，与定理 4.1.1 类似，我们有
4、：补充定理 1：设 ，级数 绝对收敛的充分必要条件是实数项级数,2,ibaznn 1nz与 都绝对收敛。1na1nb定理 4.1.5：若级数 收敛，则级数 必收敛（即若级数绝对收敛，则级数收敛） ；但反之1nz1nz不一定成立。可见，绝对收敛 收敛，反之不一定。补充定理 2：（1）绝对收敛级数的各项可以重排顺序而不致改变其绝对收敛性与和。（2）两个绝对收敛的级数 ， ，其柯西乘积Sn1Ln1 1)1(21 )()( nkknn 也绝对收敛，且其和为 。LS【注】：上述柯西乘积等式最右边的式子即是按下述对角线方法作出： 1231231233 对于复数项级数，存在类似于实数项级数收敛的充分必要条件
5、：3补充定理 3（柯西收敛准则）：级数(4.1.1)收敛的充分必要条件是，对于任意给定的 ，存在0自然数 ，使得当 时，有Nnpnkz1其中 为任意正整数。p3.复变函数项级数定义 4.1.5：设复函数序列 的各项均在点集 上有定义。若存在一个在 有,21),(nzf CEE定义的函数 ，对 中每一点 ，复函数项级数)(zfE(4.1.2) )()()(211 zfzff nn均收敛于 ，则称级数(4.1.2)在 上收敛，其和函数为 ，记为)(zf。)(1zffn此定义用精确的语言叙述就是：任给 ，以及给定的 ，存在正整数 ，使当0E),(zN时，有),(zNn，)(zSfn其中 。nkfS1
6、)()(上述的正整数 ，一般地说，不仅依赖于 ，而且依赖于 。重要的一种情形是 不,zN EzN依赖于 ，即 ，这就是一致收敛的概念：Ez)(定义 4.1.6：对于级数(4.1.2)，若在点集 上有函数 ，使对任意给定的 ，存在正整数E)(zf 0，当 时，对所有的 ，均有)(Nnz，)(Sfn则称级数(4.1.2)在 上一致收敛于 。补充定理 4（柯西一致收敛准则）：复函数项级数(4.1.2)在点集 上一致收敛于某函数的充要条件E是：任给 ，存在正整数 ，使当 时，对一切 ，均有0)(Nz（ 为任意正整数） 。pnkzf1p由此准则，可得出一致收敛的一个充分条件：定理 4.1.6（Weier
7、strass M判别法） （优级数准则）：若复函数序列 在点集 上有定义，)(zfnE且存在正数列 ，使对一切 ，有nEz，),21( )(nfn而正项级数 收敛，则复函数项级数 在集 上绝对收敛且一致收敛。1n 1zE这样的正项级数 ，称为复函数项级数 的优级数。1n )(nf例：级数 在闭圆 上一致收敛。0z zz32 rz)1(证：事实上，所述级数有收敛的优级数 。0nr4定义 4.1.7：设 在区域 内有定义，若 在含于 内的任意一个有界闭区),21)(nzf D1)(nzfD域 上都一致收敛，则称级数 在 内闭一致收敛。d1(nzf显然，有如下关系：若 在区域 内闭一致收敛，则 在
8、每一点都是收敛的，但不一定在 一致收敛；1)(nzfD1)(nzf若 在 一致收敛，则 在 内闭一致收敛。简要地说就是：1)(nzf一致收敛 内闭一致收敛 每一点收敛下面是关于函数项级数基本性质的三个定理。定理 4.1.7：若级数 的各项 在区域 内连续，且 一致收敛于1)(nzf ),21)(nzf D1)(nzf，则其和函数 也在 内处处连续。)(zffD定理 4.1.8：设级数 的各项 在曲线 上连续，且 在 上一致收1)(nzf ),21)(nzf C1)(nzfC敛于 ，则沿 可以逐项积分：)(zfC。1)()(nCCdzfdzf定理 4.1.9（Weierstrass 定理）：设级
9、数 的各项 在区域 内解析，且1)(nf ),21)(nf D在 内闭一致收敛于 ，则1)(nzfD)(zf（1） 在 内解析；（2）在 内可逐项求任意阶导数： ；1)()(nppzfzf ),21,pD（3） 在 内闭一致收敛于 。1)(npzf )(4.2 幂级数1 幂级数的概念幂级数定义：当 或 时，就得到复函数项级数的特殊情况：nnazcf)()nzcf)(4.2.1)0 nazca)()(210或(4.2.2)0nzc nzc210这种级数称为幂级数，其中 及 都是复常数。a如果在(4.2.1)中令 ，就得到(4.2.2)。一般地，如果在(4.2.1)中作变换 （变换后把az5仍改写
10、为 ）就可变成那么(4.2.2)；反之还是用这个变换也能把(4.2.2)变回到(4.2.1)的形式。因此，z为了方便，今后就以(4.2.2)形式的复函数项级数来进行讨论而不失一般性。幂级数是最简单的解析函数项函数。为了搞清楚它的收敛情况，先建立下述的阿贝尔定理。定理 4.2.1（阿贝尔(Abel)定理）：（1）若幂级数 在点 处收敛，则它在圆0nzc)0(内收敛且绝对收敛，在所有半径小于 的闭同心圆盘 上一致收敛（也0z|0z )1|即则在圆 内收敛且绝对收敛，且内闭一致收敛） ；（2）若级数 在点 处发散，则00nzc0(它在满足 的点 处发散。z推论 1：若幂级数 在点 处收敛，则正项级数
11、 在 收敛；0nzc00 nrc0z若幂级数 在点 处发散，则它在闭圆 的外部（即在满足 的 处）发散，z0z特别地，这时正项级数 在闭圆 的外部发散。0 nrc0z2 幂级数的收敛圆与收敛半径基于上述阿贝尔定理及其推论，我们也能对复幂级数引出象实幂级数那样的收敛半径的概念及相关定理。为此，我们去考虑与幂级数 相对应的实的幂级数0nzc。 (A)0nr)(由实分析知，对此实的幂级数，存在一非负实数 ，是该实的幂级数(A)的收敛半径，并且具体地有R（1）若 ，则(A)仅在 处收敛；0Rr（2）若 ，则(A)对任意正数 都收敛；（3）若 ，则(A)在 时绝对收敛，在 时发散，在 时可能收敛或发散。
12、rRr借助实幂级(A)的这些特性，同时再根据上述阿贝尔定理及其推论，就容易得出下面的定理：推论 2：对于复幂级数 ，设与之相应实幂级数 的收敛半径是 ，那么按照0nzc0 nc)(不同情况，我们分别有：（1）如果 R=0，那么级数 在复平面上除去原点外每一点发散；0n（2）如果 ，那么级数 在复平面上每一点绝对收敛；nzc（3）如果 ，那么当 时，级数 绝对收敛；当 时，级数 发0R|0nzcRz|0nzc散。该定理中的圆 称为复幂级数 的收敛圆，与之相应的实幂级数 的zK:0n 0 nr)(收敛半径 也就称为复幂级数 的收敛半径。R0nzc6求复幂级数 的收敛半径问题归结为求与之相应的实幂级
13、数 的收敛半径问题。0nzc 0 nrc)(在数学分析中已讲过，在常见情况下，实幂级数 的收敛半径可用达朗贝尔法则或柯西法0 nrc)(则求出；在一般情况下，则可用柯西阿达玛公式求出，由此可立即推出：定理 4.2.23：若幂级数 的系数满足下列条件之一：0nzc（1） （达朗贝尔）,|lim1n（2） （柯西）|nc（3） （柯西阿达玛）,lin则幂级数 的收敛半径0z(4.2.3)当 0/1 ,， 当R对于幂级数(4.2.1)，该定理仍然成立，其收敛圆为 。Raz【注】：上极限的定义如下：已给一个实数序列 ，数 。na),(L若任给 ，（1）至多有有限个 ；（2）有无穷个 ，那么 说序列 的
14、上极限是 ，0n Ln naL记作 ；Lanlim若任给 ，有无穷个 ，那么 说序列 的上极限是 ，记作 ；Mnnanlim若任给 ，至多有有限个 ，那么 说序列 的上极限是 ，记作 。0Maa3 幂级数和的解析性定理 4.2.45：（1）幂级数 的和函数 在其收敛圆 内解析；0)(nnazc)(zf )R(0 :azK（2）在收敛圆 内，幂级数 可以逐项求任意阶导数：K0nnac， (4.2.4) pn pnzpf )(1()( ,210且其收敛半径不变；（3）幂级数 的系数 可以用和函数 在收敛圆心 处的相应阶导数表出：0)(nazcnc)(faz(4.2.5);0,12n ,!1)( a
15、f（4）沿收敛圆 内的任一简单曲线 ，可逐项积分：KK7，0)()(nndzacdzf且收敛半径不变。4 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况注意，前面的讨论没有涉及到幂级数 在收敛圆周 上的收敛性（假设0)(nnazcRaz） 。在 上，幂级数 既可以是点点收敛，也可以是点点发散，还可以在R0Raz一部分点上收敛，在其余的点上发散。可以相应举三个例子，例如， 的收敛半径 。在12nz1上， 收敛，因此 在 上处处绝对收敛；几何级数 在 上点点1z12nz12n12nz 0nz发散，因为这时一般项 的模为 而不趋于零；幂级数 的收敛半径 ，在圆周 上只在1nzR1点 处发散，在其余的点 上， ，
16、其实部和虚部两z )20(iez 1sicosn个实级数都收敛，因此级数 在圆周 上除去点 外处处收敛。1nzz但需特别指出：纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛，其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点。这写成一个定理就是：定理 4.2.6：如果幂级数 的收敛半径 ，且0)(nnazc0R，0nnf ):(azK则 在收敛圆周 上至少有一奇点，即不可能有这样的函数 存在，它在)(zf RzC: (zF内与 恒等，而在 上处处解析。Ra)(f【注】：定理中所说收敛半径 ，并不意味着收 敛半径 还有什么取负值的情况存在。其用意只是为了排除 的情况。0该定理的一个例子如： 虽然在 上处处绝对收敛，从而在
17、闭圆 上一致收敛， 在12nz1z 1z2nz复平面 上都是解析的，因此可以在 内应用 Weierstrass 定理。设 在 内的和函数为C12n，则有)(zf zzf n1231)(当 从单位圆内沿实轴趋于 时， 趋于 。而我们知道，解析函数在其解析点处是无穷次可微的，z1所以 是和函数 的一个奇点。1)(zf4.3 泰勒级数8在前一节已知，任意一个收敛半径为正数的幂级数，其和函数在收敛圆内是解析的。下面的泰勒展开定理是其逆定理。定理 4.3.1（泰勒(Taylor)展开定理）：设 在区域 内解析， ，只要圆 含)(zfDaRazK:于 ，则 在圆 内能展开成幂级数D)(zfK(4.3.1)
18、0)()(nncf其中系数， ； (4.3.2)!)(21)(1afdaficnn,210， ，:R而且展开式是唯一的。显然，幂级数(4.3.1)的收敛半径应大于或等于 （注意，定理 4.3.1 中的 并不指收敛半径） ，否则，(4.3.1)式将不能在圆 内成立。至于幂级数(4.3.1)的收敛半径能取多大，当用(4.3.2)式确定系数K后，可由求收敛半径的公式(4.2.3)确定。另外，前面曾指出：对收敛半径为正数的幂级数，它在收敛nc圆内的和函数在收敛圆周上至少有一奇点。由此可得到确定幂级数收敛半径的另一个新方法：推论：设 在点 解析，点 是 的奇点中距 最近的一个奇点，则 在点 的某邻域内)
19、(zfab)(zfa)(zfa就可展为幂级数 ，且点 与点 间的距离 就是幂级数 的收敛半0(nnzcbb0nnc径。这个推论，一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系，同时，还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄得完全明白。例如，在实数域内便不了解：为什么只当 时1x有展式 64221xx而函数 对于独立变数 的所有的值都是确定的。这个现象从复变数的观点来看，就可以完全解释21xx清楚。实际上，复函数 在 平面上有两个奇点，即 。故我们所考虑的级数的收敛半径等于 。21z iz1定义 4.3.1：(4.3.1)式称为函数 在点 的泰勒展式，(4.3.2) 称为展式
20、的泰勒系数，而由)(zfa(4.3.2)式确定系数的幂级数称为泰勒级数。推论：任何收敛半径为正数的幂级数都是它的和函数在收敛圆内的的泰勒展式。综合定理 4.2.4(1)和泰勒展开定理 4.3.1，就得出刻画解析函数的第四个等价定理：定理 4.3.2：函数 在点 解析 在点 的某一邻域内可展成 的幂级数；)(zfa)(zfaaz函数 在区域 内解析 在 内任一点 的邻域内可展成 的幂级数。DD【注】：在实分析中，将函数在某点的 邻域内展成泰勒级 数时，首先要求函数在 该点的邻域内无穷次可微，而且即使满足无穷次可微条件，其泰勒级数也不一定收 敛，纵令收敛，也不一定就收敛于该点的函数值。但在复变函数
21、中，从上面的讨论我们看到，只需在某点解析，函数就可以在该点的邻域内展开成泰勒级数，并保证所得级数在该邻域内收 敛于被展开的函数。关于解析函数概念的小结：至此，我们已得到函数 在一点 解析的四种等价的概念，它们是：)(zf0（1） 在点 的邻域处处可导；)(zf0（2） 的实、虚部 、 在点 的邻域有连续偏导数且满足 C-R 条件；ivuuvz（3） 在点 的邻域内连续且沿此邻域内任一围线的积分等于零；f9（4） 在点 的邻域内可展成幂级数。)(zf04.4 洛朗级数1 洛朗级数形如 nnazc)(1)(nazc0)(nazc(4.4.1)1nn的级数称为洛朗(Laurent)级数，其中 及 都
22、是复常数。c),1(当 时，洛朗级数就是幂级数。0nc),2(由于这种级数没有首项，所以对它的敛散性我们无法象前面讨论的幂级数那样用前 n 项和的极限来定义。容易看出洛朗级数是双边幂级数，即它是由正幂项( 包含常数项) 级数(4.4.2)0(nnazc和负幂项级数(4.4.3)1)(nn两部分组成。若这两个级数都在点 收敛，则称洛朗级数(4.4.1)在点 收敛。0z 0z级数(4.4.2)就是我们上节所述的幂级数，设其收敛半径为 ，则级数(4.4.2)在圆 内绝对RRa收敛及内闭一致收敛，和函数在圆 内解析。Ra对级数(4.4.3)，若设 ，则(4.4.3)成为 的幂级数z1。 (4.4.4)
23、1nc设(4.4.3)的收敛半径为 。若 ，则(4.4.3)在 内绝对收敛及内闭一致收敛。因此(4.4.3)在0内绝对收敛及内闭一致收敛，和函数在 内解析。azr1 azr显然， 当且仅当 时，级数(4.4.2)与级数(4.4.3)才有公共的收敛区域：圆环 。Rr Razr所以，依据上述分析，对于洛朗级数(4.4.1)，更仔细地说，只有以下两种情况： （1） 。 时洛朗级数(4.4.1)处处发散， 时洛朗级数(4.4.1)除圆周 上的Rr点外是发散的，而在圆周 上则有三种可能性：处处收敛；处处发散；一部分收敛而另一部分发az散。（2） 。这时洛朗级数(4.4.1)在圆环 内绝对收敛及内闭一致收
24、敛（特别，当Rr azrH:， 时，洛朗级数(4.4.1)在复平面 上除点 外处处收敛） ，在 外发散。在这种情况下，0CH洛朗级数(4.4.1)的收敛范围是一个圆环，称为洛朗级数的收敛圆环（当 时，理解为广义圆环R） 。根据 Weierstrass 定理 4.1.9，洛朗级数(4.4.1)的和函数在其收敛圆环 内是解析az的，且可在 内逐项求任意阶导数。H我们称级数(4.4.2)为洛朗级数(4.4.1)的和函数在点 的解析部分或正则部分，称级数(4.4.3) 为a洛朗级数(4.4.1)的和函数在点 的主要部分或奇异部分。a若洛朗级数(4.4.1)的和函数为 ，它在点 的解析部分和主要部分的和
25、函数分别为 ，)(zf )(z10，即)(z，0)()(nnazcz)(Rz，1ar则 在 内解析， 在圆环 内解析，洛朗级数(4.4.1)的和函数)(zRa)(zzr，)()(zf且 在圆环 内解析。fzr综上所述，我们有以下定理：定理 4.4.1：设洛朗级数(4.4.1)的收敛圆环为 ，则(4.4.1)在 内绝对收敛及内RazrH: H闭一致收敛，和函数 在 内解析，且)(zfHnnczf)()(在 内可逐项求任意阶导数，还可以逐项积分。H2 洛朗展开定理下面的洛朗定理是定理 4.4.1 的逆定理：定理 4.4.2（洛朗展开定理）：在圆环 内解析的函数 必可展RazrH: ),0(r )(
26、zf成洛朗级数, (4.4.5)nncf)(其中, (4.4.6)ann dfic1)(21)(Rr并且展式(4.4.5)是唯一的（即 和圆环 唯一地决定了系数 ） 。)(zfHnc定义 4.3.1：式(4.4.5)称为函数 在圆环 内的洛朗展式，式(4.4.6) 称为展式的洛朗系数。【注】：在洛朗定理展开定理 4.4.2 中，当已 给函数 在点 解析时，收 敛圆环 就退化成收敛圆)(zfaH，这时洛朗展开定理就是泰勒展开定理，洛朗系数(4.4.6) 就是泰勒系数(4.3.2)。也只有这时，RazK:洛朗系数除了有积分形式外， 还有微分形式 。也只有 这时，洛朗级数才退化为泰勒级数。因此，!)
27、(nfc泰勒级数是洛朗级数的特殊情形，即 的情形。0n1与幂级数一样，根据洛朗展式的唯一性，任何一个洛朗级数 总是它的和函数 在它nnazc)( )(zf的收敛圆环 内的洛朗展式。Razr3 洛朗展开式的求法洛朗定理给出了将一个在圆环域内解析的函数展开成洛朗级数的一般方法，即按洛朗系数(4.4.6)式求出 代入(4.4.5)即可，这种方法称为直接展开法。但是，当函数复杂时，求 往往是很麻烦的。因nc nc此，常常采用所谓的间接展开法，即通过各种代数运算或分析运算及变量代换等，应用已知的一些初等函数的泰勒展式把问题归结为泰勒级数问题来处理。所以把函数展开成洛朗级数时，泰勒级数仍然是基础。在用间接展开法进行洛朗展开时，常常要用到洛朗级数的的加法和乘法：11洛朗级数的加法：设 在环域 内解析，且 ， 及)(zFRazrH: )()(zgfzFf在环域 内的洛朗展式分别为)(zgH， ，nnf)()( nnabg)(则在 内。nnzazF)()(洛朗级数的乘法：设 在环域 内解析，且 及 在环域)(gfz RrH: )(zfg内的洛朗展式分别为H， ，nnazf)(nnazbzg)(则在 内，ncf)()(其中， ；kknnbac,10或。 nk knknazzzF)()()(
