1、1 / 6关于积分对称性定理1、 定积分：设 在 上连续，则)(xf,a- 0,d2d,aafxfxfx为 的 奇 函 数 ,为 的 偶 函 数 .2、 二重积分：若函数 在平面闭区域 上连续，则),(yxf D（1）如果积分区域 关于 轴对称， 为 的奇（或偶）函x),(yxf数，即 （或 ） ，则二重积分),(),(yxfxf),(yf 10, ,d2,d,DDfxyfxyfxyf 为 的 奇 函 数 ,为 的 偶 函 数 .其中： 为 满足 上半平面区域。10y（2） 如果积分区域 关于 轴对称， 为 的奇（或偶）函数，D),(yxf即 （或 ） ，则二重积分,fxyf,fxyf2 /
2、6 20, ,d,d,DDfxyfxyfxy 为 的 奇 函 数 ,为 的 偶 函 数 .其中： 为 满足 的右半平面区域。20（3）如果积分区域 关于原点对称， 为 的奇（或偶）函),(yxf,数，即（或 ）则二重积分),(),(yxfxf),(),(yxff 20, ,d,d,DDfxyfxyfxyf 为 的 奇 函 数 ,为 的 偶 函 数 .其中: 为 在 上半平面的部分区域。10y（4）如果积分区域 关于直线 对称,则二重积分xy.（二重积分的轮换对称性） fxyfDDdd,(5)如果积分区域 关于直线 对称,则有x10, (,)(,)(,)2(,),DDfyxfxyfxydfxyd
3、当 时当 时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1） （2）（3）中应同时具有积分域 对称及被积函数 具有奇偶性两yxf,个特性。3 / 63、三重积分：(1)若 为闭区域 上的连续函数，空间有界闭区域zyxf,关于 坐标面对称， 为 位于 坐标面上侧 的部分区域，o1xoy0z则有 10, ,d2,d,fxyzfxyzfxyz 为 的 奇 函 数 ,为 的 偶 函 数 .注： 是 的奇函数：),(zyxf ),(),(zyxfzyxf是 的偶函数：同样，对于空间闭区域 关于 坐标面对称也有类似的性yozx,质。4、 曲线积分（第一类）（1）若分段光滑平面曲线 关于 轴对称，且 在
4、 上为连续函Lyyxf,L数， 为 位于 轴右侧的弧段，则Ly10,d2d,LLfxyfxysfxys为 的 奇 函 数 ,为 的 偶 函 数 .（2）若分段光滑平面曲线 关于 轴对称，且 在 上为连续函yxf,L数， 为 位于 轴上侧的弧段，则 1Lx4 / 610,d2d,LLfxyfxysfxys为 的 奇 函 数 ,为 的 偶 函 数 .（3）若 关于直线 对称，则dsxyfdsyxfLL),(),(其中（3）式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。5、第二类曲线积分（1）设分段光滑的平面曲线 关于 轴对称，且 在 轴的上半部分 与在下LxLx1L半部分的 方向相反，2L则 10, ,d2
5、d,L LPxyyPxyPxy 是 关 于 的 偶 函 数 ,是 关 于 的 奇 函 数 .（2）设分段光滑的平面曲线 关于 轴对称，且 在 轴的右半部分 与在左yLy1L半部分的 方向相反2L则 10,d2d,LLPxyxPxyPxy是 关 于 的 偶 函 数 ,是 关 于 的 奇 函 数 .对于积分 也有类似地结论。上述结论可推广到空间曲线的情形.,LQxy6、 第一类曲面积分：若曲面 关于 坐标面对称， 为 上的连续函数， 为xoyzyxf,15 / 6位于 上侧 的部分曲面，则xoy0z 10, ,d2,d,fxyzfxyzSfxyzS 为 的 奇 函 数 ,为 的 偶 函 数 .曲面
6、关于 坐标平面对称也有类似的性质。xozy,7、第二类曲面积分的对称性设函数 在分片光滑的曲面 上连续，),(,)(,)(zyxRzQzyxP （1）设分片光滑的曲面 关于 坐标面对称，且 在 上半空间的部分oxoy曲面 取上侧，在 下半空间的部分曲面 取定下侧，则o2 10, ,d2,d,RxyzzRxyzRxyz 关 于 是 偶 函 数 ,关 于 是 奇 函 数 .（2）设分片光滑的曲面 关于 坐标面对称，且 在 前半空间的部yozyoz分曲面 取前侧，在 后半空间的部分曲面 取后侧，则1yoz2 10, ,d2,d,PxyzxPxyzPxyz 关 于 是 偶 函 数 ,关 于 是 奇 函 数 .（3）设分片光滑的曲面 关于 坐标面对称，且 在 右半空间的部xozxoz分曲面 取右侧，在 左半空间的部分曲面 取左侧，则1xoz26 / 6 10, ,d2d,QxyzyQxyzQxyz 关 于 是 偶 函 数 ,关 于 是 奇 函 数 .（4）若积分曲面 关于 具有轮换对称性，则 zyx,d,d,d1,d3PxyzPzPzxyxyPzxy
