1、1集合思想在小学数学教学中的应用大亚湾区道南小学 吴小锋 著名的集合论的创始人是德国数学家康托(1845 -1918)。自康托创立集合论以来，它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中，成为现代数学的基础。集合思想作为现代数学最重要的思想方法之一，早已渗透到各国的小学数学教材之中。我国小学数学新课程改革，也竭力把集合思想直观地渗透到教材内容中，从而改变了教材的面貌。小学数学新课标要求：结合有关知识的教学，适当渗透集合、函数等数学思想方法，以加深对基础知识的理解。集合论本身的无穷魅力，引起许多学者的浓厚兴趣。集合论与小学数学的教学有着非常微妙的联系，并且在小学数学竞赛领域中得到广泛应用。
2、本文就小学数学课本中(以义务教育课程标准实验教科书为例) 常见的集合思想及其在小学数学竞赛中的应用谈点浅见，主要研究它在小学数学教学中的渗透和应用。一集合思想在小学数学教学中的渗透我们把具有某种属性的一些对象的全体看成一个集合。运用集合的知识去解决有关的问题,这样的思维观点被称为集合的观点。集合思想在小学数学教学中是这样渗透的。（1）集合概念在教学中的渗透小学生在学习数学的开始，教材就通过直观形象的韦恩图渗透了集合的概念。在认识 010 的十一个数字中，每个数字都有一张相应的集合图，也就是告诉学生，一个集合中有几个元素就用“几”来表示。如数学第一册表示“1”的集合图里只有一个元素（一只大象）
3、；表示 4 的集合图里有 4 个元素（4 朵白云） 。这就很形象地把集合中的元素与基数的概念有机地联系起来。在教学“0”时，教材通过三个集合里分别有两个茶杯，一个茶杯、没有茶杯来说明空集这一概念。数学第一册的“分类”一节课中，把两个球圈在一起，还把书包、鸡、气球放在一幅图里，让学生试一试能否把同类物体圈在一起。这部分内容渗透了如何把一些同类的物体组成一个集合的思想。2教学“分数的意义”时，为了突破单位“1”的含义这个难点，教材通过两个实物韦恩图，直观说明把 4 个苹果和 6 只熊猫玩具各作一个整体，都可以用自然数 1 来表示，通常把它叫做单位“1” 。“约数和倍数”一章，集合的渗透更加明显。数
4、学教学中有很多知识除了用语言叙述外，还可以根据知识的特点用集合图来表示，这徉既形象、具体，又能培养学生的整体观念，渗透集合思想。如：表示物体个数的0、1、2、3、4叫做自然数，用集合图可以表示：自然数又如：12 的约数有 1，2，3，4，6，12；12 的倍数有 12，24，36，48用集合图表示为：12 的约数： 12 的倍数：1、2、3、4、6、1212、24、36、48课本在教学一个数的约数的求法时，通过摆彩条和列算式帮助学生理解约数的概念。在摆彩条和列出算式的基础上，用集合圈表示出一个数的全部约数使学生初步体会到一个数的约数的个数是有限的(见图 1)；在教学一个数的倍数的求法时，教材把
5、摆彩条列算式对照起来，也用集合圈把 2 的倍数表示出来，使学生初步体会 2 的倍数是无限的(见图 2)（2）元素与集合之间的关系在教学中的渗透元素与集合之间的关系是属于或不属于。一个元素对一个集合来说，不是0、1、2、3、3属于就是不属于，不能有其它情形。小学数学教材中关于集合与元素之间关系的渗透是结合数的组成及分类来进行的。 数学第二册的练习题：数学第九册的练习题：检查下面各数的约数的个数，指出哪些数是质数,哪些数是合数，分别填在指定的圈内，并用质数表检查。（3） 集合间关系在教学中的渗透集合间的包含关系在小学数学教学中的渗透主要表现在概念系统的构建之中。教师应认识到，用集合韦恩图法来揭示若
6、干概念之间的关系，是一种非常行之有效的方法。因为韦恩图法能使学生清楚和直观地了解各个概念之间的联系和差异，这样有利于学生对概念的理解和掌握。小学数学教材中，有关三角形的分类问题，除用文字说明外,还有用集合形象地表示出来，使学生看清三角形集合与锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各集合之间是整体与部分的关系(见图 3) 。4学生在学习了平行四边形后,会发现长方形、正方形也都具有两组对边分别平行这一特征，所以长方形和正方形都是特殊的平行四边形，那么，正方形、长方形及平行四边形之间的关系是一串包含的关系，表示为图 4。这种直观的表示方法便于学生加深理解，同时渗透了子集、真子集的含义。数学概念体系中，整
7、除和除尽是两个含义相近的概念，学生容易混淆。一般的做法是，教师采用列表的方式从相同点和不同点两个方面对这两个概念进行比较。在实际教学中效果总是不尽如人意。根据小学生的思维带有较大成分的具体形象性的特点，我们不妨利用韦恩图来说明整除与除尽的关系(见图 5) 。（4）集合运算在教学中的渗透教材结合讲解公约数、公倍数等概念，渗透了交集的思想。教学“最大公约数”时，首先利用直观教具和学具，通过学生操作，引出公约数、最大公约数的概念，接着，教材中还用集合图形象地表示出 8 和 12 的约数和公约数(见图 6) 。类似地，在教学“最小公倍数”时，教材也用集合图表示出公倍数 (见图 7) 。5这两个图形虽然
8、都渗透了交集的思想，但前者是两个有限集，其交集仍是有限集，而后者是两个无限集，其交集仍是无限集。例如，要求 18 和 30 的最大公约数与最小公倍数，我们可以把每个数的质因数用集合圈图表示出来：18 的质因数用集合圈图表示：30 的质因数用集合圈图表示：那样 18 和 30 的质因数用集合圈图表示：（见图 8） 图 8由最大公约数与最小公倍数的意义可知，求两个数的最大公约数，必须包含它们全部公有的质因数；求两个数、三个数的最小公倍数，必须包含它们全部公有的质因数和它们各独有的质因数。所以，从集合的观点来看，两个数的最大公约数应等于这两个数的质因数集合的交集所含元素的乘积；两数互质时最大公约数为
9、它们的乘积；两个数、三个数的最小公倍数应等于它们的所有质23 3 23 56因数集合的并集所含元素的乘积。于是由图 8 可得：(18,30)=2x3=618,30=2x3x3x5=90二集合思想在小学数学教学中的应用（1）集合思想在教学中的妙用集合之间的交集、并集、补集等运算在教学中有着妙用。实际上，在解题中借助数轴来完成无限数集之间的运算，借助平面直角坐标系中解决数对组成的集合之间的运算，是我们经常采用的“数形结含”的思想方法。但对一些有限数集之间的运算，却住往忽视了“韦恩图”所起到的辅助作用，从而使问题的解答变得抽象而复杂。在问题分析中，若能恰当运用数形结合的思想方法，有效地借助图进行比较
10、、分析、判断，则可化繁为简，化抽象为直观，使问题的求解一目了然，也能加深对集合间各运算关系的认识和理解。例 1、分母是 385 的最简真分数共有多少个？【分析与解先将分母 385 分解质因数得 385=5x7x11，只要分子是 5,7 或11 的倍数的就定不是最简真分数。根据以上计算的数据，可以用三个和互交叉的集合圈来分别表小 5 的倍数，7 的倍数，11 的倍数，交叉部分为两个数或二个数公有的倍数的个数。 （见图8）图 8上图显示的各部分数据就是 5，7，11 的倍数的个数统计，共有:60+40+24+10+6+4=144(个)所以分母为 385 的最简真分数有 384-144=240(个)
11、（2）渗透集合思想开阔解题思路一些小学数学竞赛题和思考题，数量关系比较隐蔽且复杂，若以集合思想7辅以图形分析题意，则可以使数量关系明朗化，进而找出解题方法。 例 1、某小学举办学生画展，展出的画中有 16 幅不是六年级的，有 15 幅不是五年级的，现知道五、六年级共展出 25 幅画，那么其他年级展出的画有多少幅?分析：假设六年级展出的画数为 a，五年级展出的画数为 b，其他年级展出的画数为 c、根据题意可得下图：（见图 9）图 9显然，其他年级展出的画数为：(15+16-25)2=3(幅)例 2、某班有学生 45 人，参加演讲比赛的有 16 人，参加书法比赛的有14 人，如果这两种比赛都没有参
12、加的有 20 人，那么同时参加演讲、书法这两种比赛的有多少人?分析：由题意画图如下：（见图 10）图 10由图可知，参加比赛的人数为：45-20=25(人)而参加演讲比赛的人数+参加书法比赛的人数=16+14=30( 人)，30 人比 25人多，这是因为有部分人既参加了演讲比赛，又参加了书法比赛，这部分人重复计数了故同时参加演讲、书法两种比赛的人数(图中阴影部分)为：30-25=5(人)例 3、有一学校由 50 名同学参加的球类运动队中，喜欢打篮球的有 38 人，8喜欢打排球的有 41 人，喜欢踢足球的有 27 人。既喜欢打篮球又喜欢打排球的有 32 人，既喜欢打排球又喜欢踢足球的有 21 人
13、，既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有 20 人。问同时喜欢这二类球的有多少人? 图 11分析：如上图（见图 12）所示，设同时喜欢二类球的有 X 人(阴影部分)，则只喜欢打篮球的有：(38-32-20+x)人，只喜欢打排球的有：(41-32-21+x) 人，只喜欢踢足球的有：(27-21-20+x)人，根据题意，得：(38-32-20+x)+(41-32-21 +x)+(27-21-20+x)+32+20+21-2x=50解之:x=17故同时喜欢这二类球的有 17 人。由此可见，集合思想已经渗透到小学数学教学中，应用到小学数学教学和数学竞赛活动中。因此在教学中须加强对集合思想的启发，才能提高学生的素质。小学数学中的集合思想，都是依附于教学知识而出现的，教材中没有对任何一个集合下过定义，或出现过任何一个集合符号。正因如此，教学时教师就不必向学生一一介绍这些抽象的名词术语，主要是使学生获得一些对集合的感性认识，形成集合思想的某些初步观念。2009 年 4 月 7 日
