1、11.证明：在环 到环 的一个同态满射 之下, 的一个子环 的象 是 的一个子环。RRSR证明:为 的一个子环, 0 ,SS而 = , 故 非空。0()对 , ,使得 = , =,abSa()b()由于 是环 的子环，故 , SRbS= - = ()()= = aba故 是 的一个子环。 SR2. 证明：在环 到环 的一个同态满射 之下, 的一个子环 的逆象 是 的一个子RSR环。证明:为 的子环, ,SR0S而 = , 0 ,故 非空。 0()对 ， ,使得 = , = ,abSa()b()由于 是环 的子环，R故 = - = ()()bS= =aba, S故 是 的一个子环。R3.证明：在
2、环 R 到环 的一个同态满射 之下，R 的一个理想 A 的象 是 的一个理想。R证明:为 R 的理想, 0 ,而 = ,故 非空。AA(0)对 , , ,abrabr使得 , ,()()()由于 A 是环 R 的一个理想，故 , ，abArarA2= - =ab()()abA= = , = =rrr()ar()A故 是环 的一个理想。 AR4.证明：在环 R 到环 的一个同态满射 之下， 的一个理想 的逆象 A 是 R 的一个理想。R证明:为环 的理想, ,A0A而 =(0) , 0 A, 故 A 非空。 0对于 ， ， ,abrR,abrR使得 , ,()()()由于 是环 的理想，A故 - ， ， 。 abrAa- = - =()()b= = ， = =rrr()r()aA, ， , abAaA故 A 是 R 的一个理想。
